七年级数学上册第三章用字母表示数3.6整式的加减典型例题整式的加减

《整式的加减》典型例题
例1 （1）求单项式y x 2、22xy -、y x 23、24xy -的和；
（2）求单项式b a 24、b a 26-、b a 23的和与b a 27-的差．
例2 （1）求多项式4223-+-x x x 与6523+-x x 的和；
（2）求多项式22653x xy x +-与22447x xy y +--的差．
例3 计算 ：
（1）]8)24(3[3)3(24+-----x x x x ；
（2）⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛
---+22224214632x xy xy y x xy xy
例4 求13423-+a a 、32723a a a -+-的和与152
--a a 的差．
例5 求代数式的值： 22222225]})84(213[{4xy y x xy y x xy y x y x -+----，其中3
1,23-=-=y x ．
例6 已知322--=x x A ，522-=x B ，672
12--=x x C ．求C 42-+B A 的值，其中2-=x ． 例7 已知第一个多项式223y xy x +-．第二个多项式是第一个的2倍少3．第三个多项式是前两个多项式的和．求这三个多项式的和．
例8 已知09)3(4
=+++-b a a
求ab a b a ab b a b a -----]4)2(2[32222的值．
例9 多项式 )4
1()32()2181(22123322332233y x y x y y y x y x y y x y x +++------
的值与x 的取值无关，为什么？
参考答案
例1 解：（1）)4(3)2(2222xy y x xy y x -++-+（列式）
2222432xy y x xy y x -+-=（去括号）
2264xy y x -=；（合并同类项）
（2）)7(]3)6(4[2222b a ab b a b a --+-+（列式）
b a ab b a b a 22227]364[++-=（去小括号）
b a ab b a 2227]3[++-=（合并同类项）
b a ab b a 2
22732++-=（去中括号）
2235ab b a +=（合并同类项）
说明： 求若干个单项式和与差的步骤，一般有列式，去括号，合并同类项三步，要注意每一步运算的根据，做到步步有理有据，以保证运算的正确性．
例2 解：（1） （4223-+-x x x ）+（6523+-x x ）
65242323+-+-+-=x x x x x
242323+--=x x x ；
（2） （22653x xy x +-）－（22447x xy y +--）
2222447653x xy y y xy x -+++-=
2213y x x +--=
说明： 本题是求两个多项式的和与差，列式时都要添上括号，把每个多项式分别括起来，再用加减连接；运算时，按去括号法则，先去掉括号，再合并同类项．
例3 分析： 由于题中有多重括号，所以要依次去括号，边去括号边合并同类项，以简便运算． 解：（1）]8)24(3[3)3(24+-----x x x x
[]86123624++--+-=x x x x
[]47362--+=x x
122162+-+=x x
1819+-=x ；
（2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---+2222
4214632x xy xy y x xy xy ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=22224214632x xy xy y x xy xy ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
+-+-+=22224214632x xy xy y x xy xy ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧++-+=22224462
5
2x xy y x xy xy 2222
4462
52x xy y x xy xy ++-+= 22246256x y x xy xy +-+= 说明： 有多重括号时，一般先从内层括号开始，先去掉小括号，合并同类项；再去中括号，合并同类项；最后去大括号，合并同类项．一层一层地去括号不会发生混乱，去括号时一定要注意符号的变号．
例4 分析：此题相当于这样的问题：已知两数的和减去第三个数，求它们的差，由此，我们可先列出相应的代数式，再用整式加减的法则求解．
解：（13423-+a a ）＋（32723a a a -+-）－（152--a a ）
.331
5723134323223+-=++--+-+-+=a a a a a a a a
说明：求若干个整式的和或差，要先用括号把第一个整式括起来，再用加减号连接，然后用去括号法则去括号，最后合并同类项．
例 5 分析：对于此类题，一定要先化简，再代入化简后的式子中求值，化简的过程就是整式加减的运算过程．
解：原式=22222225])84(2
13[4xy y x xy y x xy y x y x -+--+- 2
22222222222225735]423[3xy y x xy y x xy y x xy y x xy y x xy y x +=--+=-++-+= 当3
1,23-=-
=y x 时， 原式=22)3
1()23(2)31()23(2-⨯-⨯+-⨯-⨯ =3123--
=6
11- 说明：代数式的值是由所含字母的取值决定的．因此，不能笼统地说代数式的值等于多少 ，应当说明所含字母的取值是多少，另外，要熟练掌握此类题的解题规范．
例6 分析：A 、B 、C 分别代表三个整式，则只需把这三个整式做为三个整体代入C 42-+B A ．然后再化简求值．在代入时要加上括号，在化简时，再把括号去掉．
解：由题意，则
C 42-+B A
.
132422428252642)672
1(4)52()32(22222222++=++--+--=----+--=x x x x x x x x x x x x
当2-=x 时，
原式=13)2(24)2(22+-⨯+-⨯
.
2713488-=+-= 例7 分析：可设第一个多项式为A ，则第二个、第三个多项式分别为32-A 和)32(-+A A ．那么它们的和即为)]32([)32(-++-+A A A A ．
解：设223y xy x +-
由题意，可得第二个、第三个多项式分别为32-A ，)32(-+A A ．
所以这三个多项式的和为
)]32([)32(-++-+A A A A
618666
)3(66
63
2322222-+-=-+-=-=-++-+=y xy x y xy x A A A A A
说明：字母不但可以表示数，有时还可以表示整个代数式，这种方法称为整体代换．使用整体代换，有时可以使问题得到简化．
例8 分析：任何有理数的偶次幂、绝对值都是非负数，如果这样的两个非负数和为零，那么它们必须都等于零，由此求出a ，b 的值，再代入，为了简化运算过程，在代入前应先化简．
解：∵ 0)3(4≥-a ，09≥++b a ， 由已知09)3(4=+++-b a a ，
∴ 03=-a 且09=++b a ．
∴12,3-==b a
而 原式=ab a b a ab b a b a -+-+-22224)2(23
,4422222ab a ab
a b a ab b a +=-+-+=
当12,3-==b a 时，
原式=)12(3342-⨯+⨯
.0)
36(36=-+=
例9 分析：要想说明这个多项式的值与x 的值无关，只需把该多项式化简，结果不含字母x 即可． 解：原式=y x y x y y y x y x y y x y x 233223322334
1)3241221++--++--- =32--y
所以，原多项式的值与字母x 的取值无关．
七年级下学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．如图，下列条件中，能判断AD∥BC的是（）
A．∠C＝∠CBE B．∠ADB＝∠CBD C．∠ABD＝∠CDB D．∠A﹢∠ADC＝180°
【答案】B
【解析】分析：本题只要根据判定定理分别求出每个选项会使哪两条线段平行即可得出答案．
详解：A、根据内错角相等，两直线平行得出CD∥AB；B、根据内错角相等，两直线平行得出AD∥BC；
C、根据内错角相等，两直线平行得出CD∥AB；
D、根据同旁内角互补，两直线平行得出CD∥AB；故选B．
点睛：本题主要考查的就是平行线的判定定理，属于基础题型．平行线的判定定理有三个：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
2．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（）A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据轴对称图形的概念求解．
【详解】A. 是轴对称图形，故本选项错误；
B. 是轴对称图形，故本选项错误；
C. 是轴对称图形，故本选项错误；
D. 不是轴对称图形，故本选项正确。

故选D.
【点睛】
此题考查轴对称图形，难度不大
3．下列说法错误的是（ ）
A ．等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴
B ．线段和角都是轴对称图形
C ．连接轴对称图形的对应点的线段必被对称轴垂直平分
D ．则ABC DEF ∆∆≌，ABC ∆与DEF ∆—定关于某条直线对称
【答案】D
【解析】依据轴对称图形的概念以及轴对称的性质进行判断即可．
【详解】A ．等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴，正确；
B ．线段和角都是轴对称图形，正确；
C ．连接轴对称图形的对应点的线段必被对称轴垂直平分，正确；
D ．△ABC ≌△DEF ，则△ABC 与△DEF 不一定关于某条直线对称，错误；
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了轴对称图形的概念以及轴对称的性质，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
4．请将0.0029用科学记数法表示应为
A ．2.9×10-3
B ．0.29×10-2
C ．2.9×103
D ．29×10-4 【答案】A
【解析】对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成10n a -⨯ 的形式，其中110a ≤<，n 是正整数，n 等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）.
【详解】0.0029= 2.9×
10-3. 故选A.
【点睛】
本题考查了正整数指数科学计数法,根据科学计算法的要求，正确确定出a 和n 的值是解答本题的关键. 5．若x 2+2（2p ﹣3）x+4是完全平方式，则p 的值等于（ ）
A ．52
B ．2
C ．2或1
D ．52或12
【答案】D
【解析】∵x 2+2（2p ﹣3）x+4是完全平方式，
∴2p −3=±
2，
解得：p=52或12
， 故选D. 点睛：此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.完全平方公式的应用口诀：“首末两项算平方，首末项成绩的2倍中间放，符号随中央” 6．我们定义一个关于实数a,b 的新运算，规定：a ※b=4a -3b.例如：5※6=4×5 -3×6.若m 满足m ※2＜0，且m ※（﹣8）＞0，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ＜32
B ．m ＞-2
C ．-6＜m ＜32
D ．32
＜m ＜2 【答案】C
【解析】根据※的含义得到不等式组，解不等式组即可．
【详解】根据题意得：
432043(8)0m m -⨯<⎧⎨⨯-⨯->⎩
解得：362
m
-< 故选C
【点睛】
此题考查解一元一次不等式组，熟练掌握解方法是解本题的关键．
7．不等式x -2≤0的解集在数轴上表示正确的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】利用一元一次不等式的解法，先求解题干给出的不等式，然后在数抽表示出来的时候，注意空心点和实心点去取舍.
【详解】解不等式x -2≤0得，x ≤2
则在数抽上找到2，并且用实心点表示，小于等于往2的左边画.
故答案应为B
【点睛】
本题解题关键，正确解答出一元一次不等式的解集，并且需要注意的是，在数轴上表示时因为包含了等于的情况，所以要用实心的点表示，而且点的左边表示小于，右边表示大于.
8．如图所示，将含有30°角的三角板(∠A=30°)的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=38°，则∠2的度数（）
A．28°B．22°C．32°D．38°
【答案】B
【解析】延长AB交CF于E，求出∠ABC，根据三角形外角性质求出∠AEC，根据平行线性质得出
∠2=∠AEC，代入求出即可．
【详解】解：如图，延长AB交CF于E，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵∠1=38°，
∴∠AEC=∠ABC-∠1=22°，
∵GH∥EF，
∴∠2=∠AEC=22°，
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，平行线性质的应用，主要考查学生的推理能力．9．从长度分别为2，4，6，8的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为（）
A．1
2
B．
1
3
C．
1
4
D．
1
5
【答案】C
【解析】首先根据题意，可列举出所有等可能的结果，又由能构成三角形的只有4，6，8，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】∵从长度分别为2，4，6，8的四条线段中任选三条作边，等可能的结果有：2，4，6；2，4，8；
2，6，8；4，6，8；
其中能构成三角形的只有4，6，8；
∴能构成三角形的概率为：1
4
．
故选C．
【点睛】
此题考查了列举法求概率的知识．注意不重不漏的列举出所有等可能的结果是关键．
10．如图，已知直线AB∥CD，∠C=115°，∠A=25°，则∠E=
A．70°B．80°
C．90°D．100°
【答案】C
【解析】由AB∥CD可以推出∠EFB=∠C=115°，又因为∠A=25°，所以∠E=∠EFB-∠A，就可以求出∠E．【详解】∵AB∥CD，
∴∠EFB=∠C=115°，
∵∠A=25°，
∴∠E=∠EFB−∠A=115°−25°=90°.
故选C.
【点睛】
考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，掌握两直线平行同位角相等是解题的关键.
二、填空题题
11．当x_____时，式子3x﹣5的值大于5x+3的值．
【答案】＜﹣1．
【解析】由3x－5的值大于5x+3，即3x－5>5x+3
解得4
x<-
12．命题“如果两个数相等，那么它们的倒数相等”的逆命题是_____．
【答案】如果两个数的倒数相等，那么它们也相等．
【解析】交换原命题的题设和结论即可求得原命题的逆命题.
【详解】解：命题“如果两个数相等，那么它们的倒数相等”的逆命题是“如果两个数的倒数相等，那么
它们也相等”.
【点睛】
本题考查了逆命题的概念，弄清逆命题的概念及与原命题的关系是解题的关键.
13．将点（1，2）向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到对应点的坐标是________
【答案】（0，0）
【解析】解：将点（1，2）向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到对应点的坐标是（1-1，2-2），即（0，0）．
故答案填：（0，0）．
点评：此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
14．若两个图形有公共点，则称这两个图形相交，否则称它们不相交．如图，直线PA，PB和线段AB将平面分成五个区域(不包含边界)，当点Q落在区域______时，线段PQ与线段AB相交(填写区域序号)．
【答案】②．
【解析】当点Q落在区域②时，线段PQ与线段AB有公共点，即可得到线段PQ与线段AB相交．
【详解】由图可得：当点Q落在区域②时，线段PQ与线段AB有公共点．
故答案为：②．
【点睛】
本题主要考查了线段、射线和直线，点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．
cm．15．如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个大长方形，则每个长方形地砖的面积为__________2
【答案】192
【解析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意可以列出二元一次方程组方程组，求出其解再根据长方形的面积公式求出其解就可以了．
【详解】设小长方形的长为xcm ，宽为ycm ，由题意得：
3232x y x y x +⎧⎨+⎩
＝＝， 解得：248
x y =⎧⎨=⎩， ∴小长方形地砖的面积为：()
2248192cm ⨯=． 故答案为：192．
【点睛】
本题考查了结合图形列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时大长方形与小长方形之间的长宽关系建立方程组求出小长方形的长与宽是关键．
16．若点A （a ，b ）在第三象限，则点B （﹣a+1，3b ﹣2）在第_____象限．
【答案】四
【解析】根据第三象限内点的横坐标，纵坐标小于零，可得a 、b 的取值范围，根据不等式的性质，可得-a+1＞1，3b-2＜1，根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．
【详解】解：由点（a ，b ）在第三象限，得
a ＜1，
b ＜1．
﹣a ＞1，
﹣a+1＞1，3b ﹣2＜1，
点（﹣a+1，3b ﹣2）在第四象限，
故答案为：四．
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 17．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A′处，折痕为CD ，则∠A′DB 的度数为_____．
【答案】10°
【解析】根据直角三角形两锐角互余求出∠B ，根据翻折变换的性质可得∠CA′D=∠A ，然后根据三角形
的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】∵∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，
∴∠B ＝90°﹣50°＝40°，
∵折叠后点A 落在边CB 上A′处，
∴∠CA′D ＝∠A ＝50°，
由三角形的外角性质得，∠A′DB ＝∠CA′D ﹣∠B ＝50°﹣40°＝10°．
故答案为：10°．
【点睛】
本题考查了翻折变换，直角三角形两锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，翻折前后对应边相等，对应角相等．
三、解答题
18．试说明：不论x 取何值，代数式（x 3+5x 2+4x ﹣1）﹣（﹣x 2﹣3x+2x 3﹣3）+（8﹣7x ﹣6x 2+x 3）的值恒不变．
【答案】说明见解析
【解析】先去括号，再合并同类项，即可得到答案.
【详解】解：（x 3+5x 2+4x ﹣1）﹣（﹣x 2﹣3x+2x 3﹣3）+（8﹣7x ﹣6x 2+x 3）
=x 3+5x 2+4x ﹣1+x 2+3x ﹣2x 3+3+8﹣7x ﹣6x 2+x 3
=x 3﹣2x 3+x 3+5x 2+x 2﹣6x 2+4x+3x ﹣7x+10
=10，
∵此代数式恒等于10，
∴不论x 取何值，代数式的值是不会改变的．
【点睛】
本题考查合并同类项，解题的关键是掌握合并同类项.
19．如图，画图并解答：
（1）画C ∠的平分线交AB 于点D ，过点D 作BC 的平行线DE 交AC 于点E ；
（2）如果60B ︒∠=，48ACB ︒∠=，求EDC ∠与BDC ∠的度数．
【答案】（1）见详解；（2）∠EDC=24°，∠BDC=96°
【解析】（1）利用尺规作出∠ACB的平分线，过点D作DE∥BC交AC于E．（2）利用角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的性质求解即可．
【详解】解：（1）射线CD，射线DE即为所求．
（2）∵∠ACB=48°，CD平分∠ACB，
∴∠DCB=1
2
∠ACB=24°，
∴∠BDC=180°-∠B-∠DCB=180°-60°-24°=96°，
∵DE∥CD，
∴∠EDC=∠DCB=24°
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，平行线的性质角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．为进一步了解某校七年级（2）班同学们的身体素质，体育老师对七年级（2）班的50名学生进行了一分钟跳绳次数测试，以测试成绩为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，请结合两种图表完成下列问题：
（1）表中的a=
（2）把频数分布直方图补充完整
（3）若七年级学生每分钟跳绳的次数不小于120为合格，那么，这个七年级（2）班学生跳绳的合格率为多少？
【答案】（1）12；（2）作图见解析；（3）72%．
【解析】（1）根据频数分布表和题意可以求得a 的值；
（2）根据频数分布表中的数据和a 的值可以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据频数分布表中的数据可以求得合格率．
【详解】（1）a=50﹣6﹣8﹣18﹣6=12，
故答案为：12；
（2）第三组的频数是12，第四组的频数是18，
补充完整的频数分布直方图如右图所示；
（3）5068100%50
--⨯=72%， 答：这个七年级（2）班学生跳绳的合格率是72%．
【点睛】
考查频数分布表、频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
21．解不等式（组）：
（1）3163x x -->
（2）解不等式组，把解集在数轴上表示出来．并写出它的所有整数解．
1x 22113
x +>-⎧⎪-⎨≤⎪⎩
【答案】（1）3x <；（2）32x -<，数轴见解析，整数解为2,1,0,1,2x =--
【解析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解
了确定不等式组的解集．
【详解】（1）
3
1
63
x x
-
->
6-（x-3）＞2x，6-x+3＞2x，
-x-2x＞-3-6，
-3x＞-9，
x＜3；
（2）
1x2 21
1
3
x
+>-
⎧
⎪
⎨-
≤
⎪⎩
①
②
解不等式①，得：x＞-3，
解不等式②，得：x≤2，
则不等式组的解集为-3＜x≤2，
所以其整数解为-2、-1、0、1、2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
22．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？
【答案】木长6.5尺
【解析】设绳子长x尺，长木长y尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论.
【详解】解：设绳子长x尺，长木长y尺，
依题意，得：
4.5
1
1
2
x y
y x
-=
⎧
⎪
⎨
-=
⎪⎩
，
解得：116.5x y =⎧⎨=⎩
， 所以木长6.5尺.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键. 23．对于一个图形,通过两种不同的方法计算它们的面积,可以得到一个数学等式，例如图1可以得到
（1）类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式；
（2）若10a b c ++=, 35ab ac bc ++=,用上面得到的数学等式乘222a b c ++的值；
（3）小明同学用图3中的x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张边长为a 、b 的长方形拼出一个面积为()()7 94a b a b ++的长方形，求()x y z ++的值．
【答案】（1）（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc ；（2）30；（3）1.
【解析】（1）整体计算正方形的面积和分部分求和，二者相等；
（2）依据a 2+b 2+c 2=（a+b+c ）2-2ab-2ac-2bc ，进行计算即可；
（3）依据所拼图形的面积为：xa 2+yb 2+zab ，而（a+7b ）（9a+4b ）=9a 2+67ab+28b 2，可得x ，y ，z 的值，从而得解．
【详解】解：（1）∵图2中正方形的面积有两种算法：①（a+b+c ）2；②a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc ． ∴（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc ．
∴图2表示的数学等式：（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc ．
（2）∵（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc ，
∴a 2+b 2+c 2=（a+b+c ）2-2ab-2ac-2bc
=102-2×35
=30；
（3）由题可知，所拼图形的面积为：xa 2+yb 2+zab ，
∵（a+7b ）（9a+4b ）=9a 2+4ab+63ab+28b 2=9a 2+67ab+28b 2，
∴x=9，y=28，z=67，
∴x+y+z=9+28+67=1．
【点睛】
本题属于整式乘法公式的几何表示及其相关应用，属于基础题目，难度不大．解题的关键是熟练掌握图形的面积计算方法.
24．△ABC在网格中的位置如图所示，请根据下列要求作图：
（1）过点C作AB的平行线；
（2）过点A作BC的垂线段，垂足为D；
（3）将△ABC先向下平移3格，再向右平移2格得到△EFG（点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点G）
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析.
【解析】(1)平移AB，使它经过点C，则可得到直线l满足条件；
(2)利用网格特点作AD⊥BC于D；
(3)根据图形平移的性质画出△EFG即可．
【详解】(1)如图，直线l为所作；
(2)如图，AD为所作；
(3)如图，△EFG为所作．
【点睛】
本题考查了平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
25．在平面直角坐标系中，A 、B 、C 三点的坐标分别为(6,7)-、(3,0)-、(0,3).
（1）画出ABC ∆，并求ABC ∆的面积；
（2）在ABC ∆中，点C 经过平移后的对应点为(5,4)C '，将ABC ∆作同样的平移得到A B C '''∆，画出平移后的A B C '''∆，并写出点A '，B '的坐标；
（3）已知点(3,)P m -为ABC ∆内一点，将点P 向右平移4个单位后，再向下平移6个单位得到点(,3)Q n -，则m =__________，n =__________.
【答案】（1）见解析，15；（2）见解析，(1,8)A '-，(2,1)B '，见解析；（3）3，1．
【解析】（1）根据平面直角坐标系找出点A,B,C 的位置,然后顺次连接即可,再利用所在的矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积列式计算即可得解;
（2）根据网格结构找出点A,B 平移后的对应点A '，B '的位置,然后顺次连接即可,再根据平面直角坐标系写出A '，B '的坐标;
（3）根据向右平移横坐标加,向下平移纵坐标减列出方程求解即可.
【详解】解：（1）如图，ABC ∆如图所示；
ABC ∆的面积11167373346222
=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯， 4210.5 4.512=---，
4227=-，
15=；
（2）A B C '''∆如图所示，
(1,8)A '-，(2,1)B '；
（3）由题意得，34n -+=，63m -=-，
解得3m =，1n =．
【点睛】
本题考查的是平面直角坐标系，熟练掌握画图是解题的关键.
七年级下学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．某同学放学回家，在路上遇到了一个同学，一块去同学家玩了会儿，然后独自回家，下列图象能表示这位同学所剩路程与时间变化关系的是（）
A．B．C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意可以写出各段过程中，所剩路程与时间的关系，从而可以解答本题．
【详解】由题意可得，
这位同学从学校出发到与同学相遇前这一过程中，所剩路程随着时间的增加而减小，
这位同学与同学相遇到在同学家玩这一过程中，所剩路程随着时间的增加不变，
这位同学离开同学家到回到家的这一过程中，所剩路程随着时间的增加而减小，
故选：C.
【点睛】
此题考查函数的图象，解题关键在于根据题意判断出函数图象.
2．已知，如图，∠1＝∠2＝∠3＝55°，则∠4的度数等于（）
A．115°B．120°C．125°D．135°
【答案】C
【解析】分析：根据对顶角相等以及平行线的判定与性质求出∠3=∠6，即可得出∠4的度数．
详解：如图，
∵∠1=∠2=∠3=55°，
∴∠2=∠5=55°，
∴∠5=∠1=55°，
∴l 1∥l 2，
∴∠3=∠6=55°，
∴∠4=180°-55°=125°．
故选C ．
点睛：此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握相关的定理是解题关键．
3．按如下程序进行运算：并规定，程序运行到“结果是否大于 65”为一次运算，且运算进行 3 次才停止。

则可输 入的整数 x 的个数是（ ）
A ．5 个
B ．6 个
C ．7 个
D ．8 个
【答案】D
【解析】根据程序可以列出不等式组，即可确定x 的整数值，从而求解．
【详解】根据题意得：第一次：2x−1
第二次：2(2x−1)−1=4x−3
第三次：2(4x−3)−1=8x−7 根据题意得： 216543658765x x x -≤⎧⎪-≤⎨⎪->⎩
解得：917x <≤
则x 的整数值是：10，11，12，13，14，15，16，17.
共有8个
故选D.
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是正确理解题意，列出不等式组.
4．下列调查中，调查方式选择正确的是( )
A．为了了解1 000个灯泡的使用寿命，选择全面调查
B．为了了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查
C．为了了解生产的一批炮弹的杀伤半径，选择全面调查
D．为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择全面调查
【答案】B
【解析】选项A、C、D，了解1000个灯泡的使用寿命，了解生产的一批炮弹的杀伤半径，了解一批袋装食品是否含有防腐剂，都是具有破坏性的调查，无法进行普查，不适于全面调查，适用于抽样调查．选项B，了解某公园全年的游客流量，工作量大，时间长，需要用抽样调查．故选B．
5．如图，在水平地面上的甲、乙两个区域分别由若干个大小完全相同的正三角形瓷砖组成，小红在甲、乙两个区域内分别随意抛一个小球，（甲）表示小球停留在甲区域中的灰色部分的概率，（乙）小球停留在乙区域中的灰色部分的概率，下列说法正确的是（）
A．（甲）＜（乙）B．（甲）＞（乙）
C．（甲）=（乙）D．（甲）与（乙）的大小关系无法确定
【答案】C
【解析】利用概率的定义直接求出（甲）和（乙）进行比较.
【详解】解：（甲），（乙），所以（甲）=（乙）.
故答案为：C
【点睛】
本题考查了随机事件的概率，掌握概率的定义是解题的关键.
6．如果点在第四象限，那么m的取值范围是（）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】横坐标为正，纵坐标为负，在第四象限．
【详解】解：∵点p （m ，1-2m ）在第四象限，
∴m ＞0，1-2m ＜0，解得：m ＞，故选D ．
【点睛】
坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号各有特点，该知识点是中考的常考点，常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围，比如本题中求m 的取值范围．
7．若满足方程组33221
x y m x y m +=+⎧⎨-=-⎩的x 与y 互为相反数，则m 的值为（ ） A ．11
B ．-1
C ．1
D ．-11 【答案】A
【解析】由x 与y 互为相反数，得到y=-x ，代入方程组计算即可求出m 的值．
【详解】解：由题意得：y= -x ，
代入方程组得：33221x x m x x m -++⎧⎨
-⎩＝①＝② ， 消去x 得：32123
m m +-= ，即3m+9=4m-2， 解得：m=1．
故选A ．
【点睛】
本题考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
8．关于x 的不等式组12x x m
⎧≤-⎪⎨⎪>⎩的所有整数解的积为2，则m 的取值范围为（ ）
A ．m ＞-3
B ．m ＜-2
C ．m -3≤＜-2
D ．m -3＜≤-2 【答案】C
【解析】分析：首先确定不等式组的解集，先利用含m 的式子表示，可表示出整数解，根据所有整数解的积为1就可以确定有哪些整数解，从而求出m 的范围．
详解：原不等式组的解集为m ＜x ≤12
-．整数解可能为－1，－1，－3…等 又因为不等式组的所有整数解的积是1，而1=－1×（－1），由此可以得到-3≤m ＜-1．
故选C ．
点睛：本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，是一道较为抽象的中考题，利用数轴就能直观
的理解题意，列出关于m 的不等式组，要借助数轴做出正确的取舍．
9．用尺规作图法作已知角AOB ∠的平分线的步骤如下:①以点O 为圆心,任意长为半径作弧,交OB 于点D ,交OA 于点E ;②分别以点D ,E 为圆心,以大于12
DE 的长为半径作弧,两弧在AOB ∠的内部相交于点C ;③作射线OC . 则射线OC 为AOB ∠的平分线,由上述作法可得OCD OCE ∆≅∆的依据是( )
A ．SAS
B ．AAS
C ．ASA
D ．SSS
【答案】D 【解析】根据作图得出符合全等三角形的判定定理SSS ，即可得出答案．
【详解】在△OEC 和△ODC 中,
CE CD OC OC OE OD ⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝ , ∴△OEC ≌△ODC （SSS ），
故选D ．
【点睛】
考查的是作图-基本作图及全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．
10．如图，AB=AC ，∠BAC=120°，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，那么∠DAC 的度数为（ ）
A ．90°
B ．80°
C ．70°
D ．60°
【答案】A 【解析】由AB=AC ，∠BAC=120°，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C ，利用三角形内角和定理得到∠B=12
（180°﹣120°）=30°，然后根据线段垂直平分线的性质得到DB=DA ，则∠BAD=∠B=30°，再根据∠DAC=∠BAC ﹣∠BAD 进行计算．
【详解】解：∵AB=AC ，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C ，
∴∠B=12
（180°﹣120°）=30°， ∵AB 的垂直平分线交BC 于点D ，
∴DB=DA ，
∴∠BAD=∠B=30°，
∴∠DAC=∠BAC ﹣∠BAD=120°﹣30°=90°．
故选A ．
考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
二、填空题题
11．分解因是：()()222m x x -+-=__________．
【答案】（x-2）（m+1）（m-1）
【解析】原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】()()222m x x -+-=m 2（x-2）-（x-2）=（x-2）
（m 2-1）=（x-2）（m+1）（m-1）， 故答案为：（x-2）（m+1）（m-1）
【点睛】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．数学活动课上，老师在黑板上画直线平行于射线AN(如图)，让同学们在直线l 和射线AN 上各找一点B 和C ，使得以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰直角三角形．
这样的三角形最多能画___个．
【答案】3
【解析】如图：
①AC 为直角边时，符合等腰直角三角形有2个，一个是以∠BAC 为直角，一个是以∠ACB 为直角；②AC。