江苏连云港市2021年中考数学真题及答案

2021年江苏省连云港市中考数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.3-相反数是（
）A.1
3 B.3- C.13- D.3
【答案】D
【解析】
【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的两个数称为相反数．
【详解】解：3-的相反数是3．
故选：D ．
2.下列运算正确的是（
）A.325a b ab
+= B.22523a b -=C.2
77a a a += D.()22112x x x
-+-=【答案】D
【解析】
【分析】根据同类项与合并同类项、全完平方差公式的展开即可得出答案．
【详解】解：A ，3a 与2b 不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；
B ，25a 与22b 不是同类项，不能合并得到常数值，故选项错误，不符合题意；
C ，合并同类项后2787a a a a +=≠，故选项错误，不符合题意；
D ，完全平方公式：()22211221x x x x x =-++-=-，故选项正确，符合题意；故选：D ．
3.2021年5月18日上午，江苏省人民政府召开新闻发布会，公布了全省最新人口数据，其中连云港市的常住人口约为4600000人．把“4600000”用科学记数法表示为（
）A.7
0.4610⨯ B.74.610⨯ C.64.610⨯ D.5
4610⨯【答案】C
【解析】
【分析】根据公式10n a ⨯（110a ≤<，n 为正整数）表示出来即可．
【详解】解：4600000=6
4.610⨯故选：C ．
4.正五边形的内角和是（
）A.360︒
B.540︒
C.720︒
D.900︒
【答案】B
【解析】
【分析】n 边形的内角和是()2180n -⋅︒，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
【详解】（5﹣2）×180°=540°．
故选B ．
5.如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在点1D 、1C 的位置，1ED 的延长线交BC 于点G ，若64EFG ∠=︒，则EGB ∠等于（）
A.128︒
B.130︒
C.132︒
D.136︒
【答案】A
【解析】【分析】由矩形得到AD //BC ，∠DEF =∠EFG ，再由与折叠的性质得到∠DEF =∠GEF =∠EFG ，用三角形的外角性质求出答案即可．
【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD //BC ，
∵矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，
∴∠DEF =∠GEF ，
又∵AD //BC ，
∴∠DEF =∠EFG ，
∴∠DEF =∠GEF =∠EFG =64︒，
∵EGB ∠是△EFG 的外角，
∴EGB ∠=∠GEF +∠EFG =128︒
故选：A ．
6.关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．
甲：函数图像经过点(1,1)-；
乙：函数图像经过第四象限；
丙：当0x >时，y 随x 的增大而增大．
则这个函数表达式可能是（
）A.y x =- B.1
y x = C.2y x = D.1
y x
=-【答案】D
【解析】
【分析】根据所给函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：A .对于y x =-，当x =-1时，y =1，故函数图像经过点(1,1)-；函数图象经过二、四象限；当0x >时，y 随x 的增大而减小．故选项A 不符合题意；
B .对于1y x
=，当x =-1时，y =-1，故函数图像不经过点(1,1)-；函数图象分布在一、三象限；当0x >时，y 随x 的增大而减小．故选项B 不符合题意；
C .对于2y x =，当x =-1时，y =1，故函数图像经过点(1,1)-；函数图象分布在一、二象限；当0x >时，y 随x 的增大而增大．故选项C 不符合题意；
D .对于1y x
=-，当x =-1时，y =1，故函数图像经过点(1,1)-；函数图象经过二、四象限；当0x >时，y 随x 的增大而增大．故选项D 符合题意；
故选：D
7.如图，ABC 中，BD AB ⊥，BD 、AC 相交于点D ，47
AD AC =，2AB =，150ABC ∠=︒，则DBC △的面积是（）
A.33
14 B.93
14 C.33
7 D.63
7
【答案】A
【解析】
【分析】过点C 作CE AB ⊥的延长线于点E ，由等高三角形的面积性质得到:3:7DBC ABC S S = ，再证明ADB ACE V :V ，解得47
AB AE =，分别求得AE 、CE 长，最后根据ACE 的面积公式解题．【详解】解：过点C 作CE AB ⊥的延长线于点E
，
DBC 与ADB △是等高三角形，
43:::4:377
ADB DBC S S AD DC AC AC ==
= :3:7
DBC ABC S S ∴= BD AB
⊥ ∴ADB ACE V :V 2
2416749ADB ACE AC S AD S AC AC ⎛⎫ ⎪⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ 47
AB AE ∴=2
AB = 7
2AE ∴=
73222BE ∴=-=
150,
ABC ∠=︒Q 18015030CBE ∴∠=︒-︒=︒
tan 302
CE BE ∴=︒⋅=设4,3ADB DBC S x S x
== 494
ACE S x ∴=
∴49174222
x ∴=⨯⨯
14
x ∴=33314x ∴=
，故选：A ．
8.如图，正方形ABCD 内接于O ，线段MN 在对角线BD 上运动，若O 的面积为2π，1MN =，则AMN 周长的最小值是（）
A.3
B.4
C.5
D.6
【答案】B
【解析】【分析】利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算．
【详解】如图所示，
（1）N 为BD 上一动点，A 点关于线段BD 的对称点为点C ，连接CN ，则=CN AN ，过A 点作CN 的平行线AG ，过C 点作BD 的平行线CG ，两平行线相交于点G ，AG 与BD 相交于点M ．
//,//,
CN MG NM CG ∴四边形CNMG 是平行四边形
∴MG CN
=∴MG AN
=则=1
AMN C AN AM NM MG AM ++=++ （2）找一点'N ，连接'CN ，则'='CN AN ，过G 点作'CN 的平行线MG ，连接'AM 则
''=''''''''''1AM N C AN AM N M AN AM CG AN AM NM AN AM ++=++=++=++ ．
此时1''1
AN AM AN AM ++<++∴''
AMN AM N C C < ∴（1）中AMN 周长取到最小值
四边形CNMG 是平行四边形
∴CNM NMA
∠=∠ 四边形ABCD 是正方形
∴CO OA =，AC BD
⊥又 CNM NMA ∠=∠，NOC MOA ∠=∠，CO OA
=∴()
CNO AOM AAS ≅ ∴ON OM
=
又AC BD
^ ∴AN AM
=∴ANM 是等腰三角形
22S r ππ==
，则圆的半径r =1111222
OM MN ==⨯=2222219+
24AM r OM ⎛⎫==
+= ⎪⎝⎭3
2AM ∴=3=2+1=42
AMN C ∴⨯ 故选：B ．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9.一组数据2，1，3，1，2，4的中位数是______．
【答案】2
【解析】
【分析】先排序，再进行计算；
【详解】解：从小到大排序为：1，1，2，2，3，4，
∵数字有6个，∴中位数为：
2222+=，故答案是2．
10.=__________．【答案】5
【解析】
【分析】直接运用二次根式的性质解答即可．
=5．
故填5．
11.分解因式：2961x x ++=____．
【答案】（3x ＋1）2
【解析】
【分析】原式利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：原式＝（3x ＋1）2，
故答案为：（3x ＋1）2
12.已知方程230x x k -+=有两个相等的实数根，则k =____．【答案】
94【解析】
【分析】
【详解】试题分析：∵230x x k -+=有两个相等的实数根，
∴△=0，
∴9-4k=0，∴k=94
．故答案为94
．13.如图，OA 、OB 是O 的半径，点C 在O 上，30AOB ∠=︒，40OBC ∠=︒，则OAC ∠=______︒．
【答案】25
【解析】
【分析】连接OC ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOC =100°，求出∠AOC ，根据等腰三角形的性质计算．
【详解】解：连接OC ，
∵OC =OB ，
∴∠OCB =∠OBC =40°，
∴∠BOC =180°-40°×2=100°，
∴∠AOC =100°+30°=130°，
∵OC =OA ，
∴∠OAC =∠OCA =25°，
故答案为：25．
14.如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OE AD ⊥，垂足为E ，8AC =，6BD =，则OE 的长为______．【答案】
125
【解析】【分析】直接利用菱形的性质得出AO ，DO 的长，再利用勾股定理得出菱形的边长，进而利用等面积法得出答案．
【详解】解：∵菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC =8，DB =6，∴AO =4，DO =3，∠AOD =90°，
∴AD =5，
在Rt ADO 中，由等面积法得：
1122
AO DO AD OE =g g ,∴341255AO DO OE AD ´===g 故答案为：125．15.某快餐店销售A 、B 两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A 种快餐的利润，同时提高每份B 种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A 种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B 种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．
【答案】1264
【解析】
【分析】根据题意，总利润=A 快餐的总利润＋B 快餐的总利润，而每种快餐的利润=单件利润×对应总数量，分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可．
【详解】解：设A 种快餐的总利润为1W ，B 种快餐的总利润为2W ，两种快餐的总利润为W ，设A 快餐的份数为x 份，则B 种快餐的份数为()120x -份．据题意：2140112122032222x x W x x x x -⎛
⎫⎛⎫=-⨯=-+⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()()22801201=812072240022x W x x x --⎡⎤+-=-+-⎢⎥⎣⎦
∴()22121042400=521264W W W x x x =+=-+---+∵10
-<∴当52x =的时候，W 取到最大值1264，故最大利润为1264元故答案为：1264
16.如图，BE 是ABC 的中线，点F 在BE 上，延长AF 交BC 于点D ．若3BF FE =，则BD DC
=
______．【答案】
32
【解析】【分析】连接ED ，由BE 是ABC 的中线，得到BE BCE S S =△A △，AED EDC S S = ，由3BF FE =，得到3,3ABF BFD AFE FED S S S S == ，设=,AEF EFD S x S y = ，由面积的等量关系解得53
x y =，最后根据等高三角形的性质解得ABD ADC S BD S DC
= ，据此解题即可．【详解】解：连接ED
BE 是ABC 的中线，
ABE BCE S S ∴= ，AED EDC
S S = 3BF FE
= 3,3ABF BFD AFE FED
S S S S ∴== 设=,AEF EFD S x S y = ，
33ABF BFD S x S y
∴== ，4,4,4ABE BEC BED S x S x S y
∴=== 44EDC BEC BED S S S x y
∴=-=- ADE EDC
S S = 44x y x y
∴+=-53
x y ∴= ABD 与ADC 是等高三角形，
53+33333833=516445325333ABD ADC y y S BD x y x y y S DC x y x y x y y y y ⨯++∴====++--⨯- ，故答案为：32
．三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.2
3862+--．【答案】4．
【解析】
，-6=6，计算出结果．
【详解】解：原式2644
=+-=故答案为：4．
18.解不等式组：311442x x x x -≥+⎧⎨+<-⎩
．【答案】x >2
【解析】
【分析】按照解一元一次不等式组的一般步骤进行解答即可．
【详解】解：解不等式3x ﹣1≥x +1，得：x ≥1，
解不等式x +4<4x ﹣2，得：x >2，
∴不等式组的解集为x >2．
19.解方程：
214111
x x x +-=--．【答案】无解
【解析】
【分析】将分式去分母，然后再解方程即可．
【详解】解：去分母得：()22141
x x +-=-整理得22x =，解得1x =，
经检验，1x =是分式方程的增根，
故此方程无解．
20.端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某食品厂为了解市民对去年销量较好的A 、B 、C 、D 四种粽子的喜爱情况，在端午节前对某小区居民进行抽样调查（每人只选一种粽子），并将调查情况绘制成如下两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，D种粽子所在扇形的圆心角是______︒；
（3）这个小区有2500人，请你估计爱吃B种粽子的人数为______．
【答案】（1）见解析；（2）108；（3）500
【解析】
【分析】（1）由A种粽子数量240除以占比40%可得粽子总数为600个，继而解得B种粽子的数量即可解题；
（2）将D种粽子数量除以总数再乘以360°即可解题；
（3）用B种粽子的人数除以总数再乘以2500即可解题．
【详解】解：（1）由条形图知，A种粽子有240个，由扇形图知A种粽子占总数的40%，
可知粽子总数有：240=600 40%（个）
B种粽子有60024060180120
---=（个）；
（2）180360=108 600⨯︒︒，
故答案为：108；
（3）1202500=500
600⨯（人），
故答案为：500．
21.为了参加全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛．
（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是______；（2）求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率．
【答案】（1）1
3；（2）
2
3
【解析】
【分析】（1）由一共有3种等可能性的结果，其中恰好选中女生乙的有1种，即可求得答案；
（2）先求出全部情况的总数，再求出符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：（1）∵已确定女生甲参加比赛，再从其余3名同学中随机选取1名有3种结果，其中恰好选中女生乙的只有1种，
∴恰好选中乙的概率为1 3；
故答案为：1 3；
（2）分别用字母A，B表示女生，C，D表示男生
画树状如下：
4人任选2人共有12种等可能结果，其中1名女生和1名男生有8种，
∴P（1女1男）
82 123 ==．
答：所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率是2 3．
22.如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）如果AB AE
=，求证：四边形ACED是矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形ACED 是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，且AD =BC ．
∵点C 是BE 的中点，
∴BC =CE ，
∴AD =CE ，
∵AD ∥CE ，
∴四边形ACED 是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB =DC ，
∵AB =AE ，
∴DC =AE ，
∵四边形ACED 是平行四边形，
∴四边形ACED 是矩形．
23.为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A 型消毒液和3瓶B 型消毒液共需41元，5瓶A 型消毒液和2瓶B 型消毒液共需53元．
（1）这两种消毒液的单价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B 型消毒液的数量不少于A 型消毒液数量的
13
，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．
【答案】（1）A 种消毒液的单价是7元，B 型消毒液的单价是9元；（2）购进A 种消毒液67瓶，购进B 种23瓶，最少费用为676元
【解析】
【分析】（1）根据题中条件列出二元一次方程组，求解即可；
（2）利用由（1）求出的两种消毒液的单价，表示出购买的费用的表达式，根据购买两种消毒液瓶数之间的关系，求出引进表示瓶数的未知量的范围，即可确定方案．
【详解】解：（1）设A 种消毒液的单价是x 元，B 型消毒液的单价是y 元．由题意得：23415253x y x y +=⎧⎨+=⎩，解之得，79x y =⎧⎨=⎩
，答：A 种消毒液的单价是7元，B 型消毒液的单价是9元．
（2）设购进A 种消毒液a 瓶，则购进B 种()90a -瓶，购买费用为W 元．
则()79902810=+-=-+W a a a ，
∴W 随着a 的增大而减小，a 最大时，W 有最小值．又1903
-≥a a ，∴67.5a ≤．由于a 是整数，a 最大值为67，
即当67a =时，最省钱，最少费用为810267676-⨯=元．
此时，906723-=．
最省钱的购买方案是购进A 种消毒液67瓶，购进B 种23瓶．
24.如图，Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，以点C 为圆心，CB 为半径作C ，D 为C 上一点，连接AD 、CD ，AB AD =，AC 平分BAD ∠．
（1）求证：AD 是C 的切线；
（2）延长AD 、BC 相交于点E ，若2EDC ABC S S = ，求tan BAC ∠的值．
【答案】（1）见解析；（2）
2
【解析】【分析】（1）利用SAS 证明≌∆∆BAC DAC ，可得90ADC ABC ∠=∠=︒，即可得证；
（2）由已知条件可得EDC EBA ∆∆∽，可得出:=DC BA :=CB BA 即可求得tan BAC ∠；
【详解】（1）∵AC 平分BAD ∠，
∴BAC DAC ∠=∠．
∵AB AD =，AC AC =，
∴≌∆∆BAC DAC ．
∴90ADC ABC ∠=∠=︒．
∴CD AD ⊥，
∴AD 是C 的切线．
（2）由（1）可知，90EDC ABC ∠=∠=︒，
又E E ∠=∠，
∴EDC EBA ∆∆∽．
∵2∆∆=EDC ABC S S ，且≌∆∆BAC DAC ，
∴:1:2∆∆=EDC EBA S S ，
∴:1:=DC BA ．
∵DC CB =，
∴:=CB BA ．
∵90ABC ∠=︒
∴tan 2
∠==CB BAC BA 25.我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．
小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB 摆成如图1所示．已知 4.8m AB =，鱼竿尾端A 离岸边0.4m ，即0.4m AD =．海面与地面AD 平行且相距1.2m ，即1.2m DH =．
（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC 与海面HC 的夹角37BCH ∠=︒，海面下方的鱼线CO 与海面HC 垂直，鱼竿AB 与地面AD 的夹角22BAD ∠=︒．求点O 到岸边DH 的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角53BAD ∠=︒，此时鱼线被拉直，鱼线 5.46m BO =，点O 恰好位于海面．求点O 到岸边DH 的距离．（参考数据：3sin 37cos535︒=︒≈，4cos37sin 535
=︒︒≈，3tan 374︒≈，3sin 228︒≈，15cos 2216︒≈，2tan 225︒≈）
【答案】（1）8.1m ；（2）4.58m
【解析】
【分析】（1）过点B 作BF CH ⊥，垂足为F ，延长AD 交BF 于点E ，构建Rt ABE △和Rt BFC △，在Rt ABE △中，根据三角函数的定义与三角函数值求出BE ,AE ;再用BE EF +求出BF ，在Rt BFC △中，根据三角函数的定义与三角函数值求出FC ，用CF AE AD CH +-=;
（2）过点B 作⊥BN OH ，垂足为N ，延长AD 交BN 于点M ，构建Rt ABM 和Rt BNO ，在Rt ABM 中，根据53°和AB 的长求出BM 和AM ，利用BM +MN 求出BN ，在Rt BNO 中利用勾股定理求出ON ，最后用HN +ON 求出OH ．
【详解】
（1）过点B 作BF CH ⊥，垂足为F ，延长AD 交BF 于点E ，
则AE BF ⊥，垂足为E ．由cos AE BAE AB ∠=，∴cos 22 4.8
︒=AE ，∴1516 4.8
=AE ，即 4.5AE =，∴ 4.50.4 4.1=-=-=DE AE AD ，
由sin BE BAE AB ∠=，∴sin 22 4.8
︒=BE ，∴38 4.8
=BE ，即 1.8BE =，∴ 1.8 1.23=+=+=BF BE EF ．又tan ∠=BF BCF CF ，∴3tan 37︒=CF
，∴334=CF
，即4CF =，∴4 4.18.1=+=+=+=CH CF HF CF DE ，
即C 到岸边的距离为8.1m ．
（2）过点B 作⊥BN OH ，垂足为N ，延长AD 交BN 于点M ，则AM BN ⊥，垂足为M ．由cos ∠=AM BAM AB ，∴cos53 4.8︒=AM ，∴35 4.8
=AM ，即 2.88=AM ，∴ 2.880.4 2.48=-=-=DM AM AD ．由sin ∠=BM BAM AB ，∴sin 53 4.8︒=BM ，∴45 4.8
=BM ，即 3.84=BM ，∴ 3.84 1.2 5.04=+=+=BN BM MN ．
∴ 2.1===
=ON ，∴ 4.58=+=+=OH ON HN ON DM ，
即点O 到岸边的距离为4.58m ．
26.如图，抛物线()
223(69)y mx m x m =++-+与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，已知(3,0)B ．（1）求m 的值和直线BC 对应的函数表达式；
（2）P 为抛物线上一点，若PBC ABC S S =△△，请直接写出点P 的坐标；
（3）Q 为抛物线上一点，若45ACQ ∠=︒，求点Q 的坐标．
【答案】（1）1m =-，3y x =-；（2）()2,1P ，317717,22⎛+-+ ⎝⎭P ，317717,22⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭
P ；（3）75,24⎛⎫- ⎪⎝⎭
Q 【解析】
【分析】（1）求出A ，B 的坐标，用待定系数法计算即可；
（2）做点A 关于BC 的平行线1AP ，联立直线1AP 与抛物线的表达式可求出1P 的坐标，设出直线
1AP 与y 轴的交点为G ，将直线BC 向下平移，平移的距离为GC 的长度，可得到直线23P P ，联立方程组即可求出P ；
（3）取点Q ，连接CQ ，过点A 作AD CQ ⊥于点D ，过点D 作DF x ⊥轴于点F ，过点C 作CE DF ⊥于点E ，得直线CD 对应的表达式为132y x =
-，即可求出结果；【详解】（1）将()3,0B 代入()()22369=++-+y mx m x m ，
化简得20m m +=，则0m =（舍）或1m =-，
∴1m =-，
得：243y x x =-+-，则()0,3C -．
设直线BC 对应的函数表达式为y kx b =+，
将()3,0B 、()0,3C -代入可得033k b b =+⎧⎨-=⎩
，解得1k =，则直线BC 对应的函数表达式为3y x =-．
（2）如图，过点A 作1AP ∥BC ，设直线1AP 与y 轴的交点为G ，将直线BC 向下平移GC 个单位，得到直
线23P P
，
由（1）得直线BC 的解析式为3y x =-，(
)1,0A ，∴直线AG 的表达式为1y x =-，
联立2143y x y x x =-⎧⎨=-+-⎩
，解得：10x y =⎧⎨=⎩（舍），或21x y =⎧⎨=⎩
，∴()12,1P ，
由直线AG 的表达式可得()1,0G -，
∴2GC =，2CH =，
∴直线23P P 的表达式为5y x =-，
联立2543y x y x x =-⎧⎨=-+-⎩
，
解得：1132717x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
，2232717x y ⎧-=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩
，
∴3317717,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，2317717,22P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭
，∴()2,1P ，317717,22⎛+-+ ⎝⎭P ，317717,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭
P ．（3）如图，取点Q ，连接CQ ，过点A 作AD CQ ⊥于点D ，
过点D 作DF x ⊥轴于点F ，过点C 作CE DF ⊥于点E ，
∵45ACQ ∠=︒，
∴AD=CD ，
又∵90ADC ∠=︒，
∴90ADF CDE ∠+∠=︒，
∵90CDE DCE ∠+∠=︒，
∴DCE ADF ∠=∠，
又∵90E AFD ∠=∠=︒，
∴CDE DAF ∆∆≌，则AF DE =，CE DF =．
设==DE AF a ，
∵1OA =，OF CE =，
∴1CE DF a ==+．
由3OC =，则3=-DF a ，即13+=-a a ，解之得，1a =．
所以()2,2D -，又()0,3C -，
可得直线CD 对应的表达式为132y x =
-，
设1,32Q m m ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
，代入243y x x =-+-，得213432-=-+-m m m ，2142=-+m m m ，2702
-=m m ，又0m ≠，则72m =．所以75,24⎛⎫- ⎪⎝⎭Q ．27.在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
（1）ABC 是边长为3的等边三角形，E 是边AC 上的一点，且1AE =，小亮以BE 为边作等边三角形BEF ，如图1，求CF 的长；
（2）ABC 是边长为3的等边三角形，E 是边AC 上的一个动点，小亮以BE 为边作等边三角形BEF ，如图2，在点E 从点C 到点A 的运动过程中，求点F 所经过的路径长；
（3）ABC 是边长为3的等边三角形，M 是高CD 上的一个动点，小亮以BM 为边作等边三角形BMN ，如图3，在点M 从点C 到点D 的运动过程中，求点N 所经过的路径长；
（4）正方形ABCD 的边长为3，E 是边CB 上的一个动点，在点E 从点C 到点B 的运动过程中，小亮以B 为顶点作正方形BFGH ，其中点F 、G 都在直线AE 上，如图4，当点E 到达点B 时，点F 、G 、H 与点B
重合．则点H 所经过的路径长为______，点G 所经过的路径长为______．
【答案】（1）1；（2）3；（3（4）34π；324【解析】
【分析】（1）由ABC ∆、BEF ∆是等边三角形，BA BC =，BE BF =，ABE CBF ∠=∠，可证ABE CBF ∆∆≌即可；
（2）连接CF ，ABC ∆、BEF ∆是等边三角形，可证ABE CBF ∆∆≌，可得BCF ABC ∠=∠，又点E 在C 处时，CF AC =，点E 在A 处时，点F 与C 重合．可得点F 运动的路径的长3==AC ；（3）取BC 中点H ，连接HN ，由ABC ∆、BMN ∆是等边三角形，可证≌∆∆DBM HBN ，可得
NH BC ⊥．又点M 在C 处时，2==HN CD ，点M 在D 处时，点N 与H 重合．可求点N 所经过
的路径的长==CD （4）连接CG ,AC ，OB ，由∠CGA =90°，点G 在以AC 中点为圆心，AC 为直径的 BC
上运动，由四边形ABCD 为正方形，BC 为边长，设OC =x ，由勾股定理222CO BO BC +=即，可求322
x =，点G 所经过的路径长为 BC 长=324
，点H 所经过的路径长为»BN 的长34π=．【详解】解:（1）∵ABC ∆、BEF ∆是等边三角形，∴BA BC =，BE BF =，60∠=∠=︒ABC EBF ．∴∠+∠=∠+∠ABE CBE CBF CBE ，
∴ABE CBF ∠=∠，
∴ABE CBF ∆∆≌，
∴1CF AE ==；
（2）连接CF ，
∵ABC ∆、BEF ∆是等边三角形，
∴BA BC =，BE BF =，60∠=∠=︒ABC EBF ．∴∠+∠=∠+∠ABE CBE CBF CBE ，
∴ABE CBF ∠=∠，
∴ABE CBF ∆∆≌，
∴CF AE =，60∠=∠=︒BCF BAE ，∵60ABC ∠=︒，
∴BCF ABC ∠=∠，
∴//CF AB ，
又点E 在C 处时，CF AC =，点E 在A 处时，点F 与C 重合．∴点F 运动的路径的长3==AC ；
（3）取BC 中点H ，连接HN ，∴12
BH BC =，∴12
=BH AB ，∵CD AB ⊥，∴12BD AB =，
∴BH BD =，
∵ABC ∆、BMN ∆是等边三角形，
∴BM BN =，60∠=∠=︒ABC MBN ，∴∠+∠=∠+∠DBM MBH HBN MBH ，∴∠=∠DBM HBN ，
∴≌∆∆DBM HBN ，
∴=HN DM ，90∠=∠=︒BHN BDM ，∴NH BC ⊥，
又点M 在C 处时，332
==HN CD ，点M 在D 处时，点N 与H 重合，
∴点N 所经过的路径的长==
CD （4）连接CG ,AC ，OB ，
∵∠CGA =90°，∴点G 在以AC 中点为圆心，AC 为直径的 BC
上运动，∵四边形ABCD 为正方形，BC 为边长，∴∠COB =90°，设OC =x ，
由勾股定理222CO BO BC +=即2223x x +=，∴322
x =，点G 所经过的路径长为 BC
长=132322424π⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，点H 在以BC 中点为圆心，BC 长为直径的弧»BN
上运动，点H 所经过的路径长为»BN
的长度，∵点G 运动圆周的四分之一，
∴点H 也运动圆周的四分一，
点H 所经过的路径长为»BN
的长=1332424ππ⨯⨯=，故答案为34π；324π．。