【北师大版】高中数学必修五期末试题(含答案)(1)

一、选择题
1．设0,0a b >>，若4a b +=.则49
a b
+的最小值为（ ） A ．
254
B
．
252 C ．
85
D ．
125
2．当x ，y 满足不等式组11y x y x y ≤⎧⎪
≥-⎨⎪+≤⎩
时，目标函数2=+t x y 最小值是（ ）
A ．-4
B ．-3
C ．3
D ．
32
3．在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于D .若3
BAC π
∠=，4AB AC +=，则AD 长
度的最大值为（ ） A ．3
B ．2
C ．3
D ．33
4．已知,20a b c a b c >>++=，则c
a
的取值范围是（ ） A ．31c
a
-<
<- B ．113c a -<
<- C ．21c
a
-<
<- D ．112
c a -<
<- 5．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106 m （如图），则旗杆的高度为（ ）
A ．10 m
B ．30 m
C ．3m
D ．6 m
6．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若
222sin sin sin 3sin sin A C B A C +-=，1b =，则23a c -的最小值为（ ）
A ．4-
B ．3-
C ．2-
D ．3-7．在ABC 中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C 的对边，若cos cos a A b B =，则
ABC 一定是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角
三角形
8．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若22b c ac =+，则角C 的取值范围是（ ）
A ．π(0,)4
B ．ππ(,)42
C ．ππ(,)43
D ．π,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭
9．已知数列{}n a 中，11n n a a n +-=+，11a =，设数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ，则满足143n S n n ⎛
⎫≥- ⎪⎝
⎭)的n 的最大值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
10．在等比数列{}n a 中，48,a a 是关于x 的方程21040x x ++=的两个实根，则2610a a a =（ ） A ．8
B ．8-
C ．4
D ．88-或
11．正整数数列{}n a 满足：1,2(*)22,21n n n k a k
a k N k a k +=⎧=∈⎨
+=-⎩
，则（ ） A ．数列{}n a 中不可能同时有1和2019两项 B ．n a 的最小值必定为1 C ．当n a 是奇数时，2n n a a +≥
D ．n a 的最小值可能为2
12．已知数列{}n a 中，11a =，又()1,1n a a +=，()21,1n b a =+，若//a b ，则4a =（ ） A ．7
B ．9
C ．15
D ．17
二、填空题
13．设实数s ，t 满足0t >，且24s t +=，则
1
28s s t
+的最小值是____________. 14．已知对满足4x y xy +=的任意正实数x ，y ，都有22210x xy y ax ay ++--+≥，则实数a 的取值范围为___________.
15．已知实数x ，y 满足约束条件20
20220x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =+的最小值为________.
16．已知60A =︒，ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中
7a =
，sin sin B C +=
bc 的值为______. 17．ABC 中，a ，b ，c 分别是,,A B C ∠∠∠的对边，222
4
ABC
a b c S
+-=
，则C =_________.
18．某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地A 、
B 两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量
点D 、C 、E ，从D 点测得67.5ADC ∠=，从点C 测得45ACD ∠=，75BCE ∠=，从
点E测得60
BEC
∠=，并测得
23
DC=，2
CE=（单位：千米），测得A、
B两点的距离为___________千米.
19．数列{}n a中，11
a=，
2
1
2
a=，
11
211
(2)
n n n
n
a a a
+-
=+≥，则{}
1
n n
a a
+
⋅的前n项和n
S=__________．
20．若数列{}n a满足12
a=，
1
441
n n n
a a a
+
=++，则使得2
2020
n
a≥成立的最小正整数n的值是______.
三、解答题
21．已知关于x的一元二次不等式2(1)0
ax a x b
-++<的解集为
1
1
2
x x x
⎧⎫
-
⎨⎬
⎩⎭
或．（Ⅰ）求,a b的值；
（Ⅱ）若不等式2(2)30
bx m a x m
+++-≥对任意实数[0,4]
m∈恒成立，求实数x的取值范围．
22．已知2
()(1)1
f x ax a x
=+--
（1）若()0
f x>的解集为
1
1,
2
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
，求关于x的不等式
3
1
ax
x
+
≤
-
的解集；
（2）解关于x的不等式()0
f x≥.
23．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
3
cos sin
b C C a
⎛⎫
+=
⎪
⎪
⎝⎭
.（1）求角B的值；
（2）若2
c=，2222
c a b ab
=+-，求ABC的面积.
24．如图，在ABC中，AB AC
⊥，2
AB AC
==，点E，F是线段BC（含端点）上的动点，且点E在点F的右下方，在运动的过程中，始终保持
π
4
EAF
∠=不变，设EABθ
∠=弧度．
（1）写出θ的取值范围，并分别求线段AE，AF关于θ的函数关系式；
（2）求EAF
△面积S的最小值．
25．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2
22n n n S a a =+-.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2
32n n
n a a b --=
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 26．数列{}n a 的前n 项之和为n S ，11a =，11n n a pa +=+(p 为常数) （1）当1p =时，求数列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项之和； （2）当2p =时，求证数列{}1n a +是等比数列，并求n S .
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式可得最小值． 【详解】
0,0,4a b a b >>+=
()(49149149125
13134444b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛
⎫∴+=++=++≥⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 当且仅当
49b a
a b =，即812,55
a b ==时取等号. 故选：A ． 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
2．B
解析：B 【详解】
绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可得2=+t x y 在点
(1,1)A --处取得最小值()()min 2113t =⨯-+-=-，
本题选择B 选项.
点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.
3．A
解析：A 【分析】
根据题意，设,,,AD t AB c AC b ===由三角形面积公式1
sin 2
S a b θ=
⋅⋅可表示出,,ACD ABD ABC ∆∆∆三者之间的关系，进而得边长关系为3,4
t bc =最后通过基本不等
式求得AD 的最大值。

【详解】
根据题意，如图所示：
AD 平分CAB ∠,
30CAD BAD ∴∠=∠=, 设,,,AD t AB c AC b ===
则4b c +=,
ACD ADB ABC S S S ∆∆∆+=,
111
sin 30sin 30sin 60222bt ct bc ∴⋅+⋅=⋅, 113
()422
t b c bc ∴+=⋅
,
即,4
t =
2
()42
b c bc +≤=, 当且仅当2b c ==时等号成立，
t ∴≤
所以AD 故选：A 【点睛】
本题主要考查三角形面积公式的应用，通过面积之间的关系得到边长的关系，最终利用基本不等式求得最值。

4．A
解析：A 【分析】
先将20a b c ++=变形为2b a c =--，再代入不等式a b >，b c >，解这两个不等式，即可得a 与c 的比值关系，联立可求c
a
的取值范围 【详解】
解：因为,20a b c a b c >>++=， 所以0,0a c ><，2b a c =--， 因为a b c >>，
所以2a c a --<，即3a c >-，解得
3c
a
>-， 将2b a c =--代入b c >中，得2a c c -->， 即a c <-，得1c
a
<-， 所以31c
a
-<<-， 故选：A 【点睛】
此题考查一元一次不等式的应用，考查不等式性质的应用，考查转化思想，属于中档题
5．B
解析：B 【分析】
作图，分别求得∠ABC ，∠ACB 和∠BAC ，然后利用正弦定理求得AC ，最后在直角三角形ACD 中求得AD ． 【详解】 解：如图，
依题意知∠ABC ＝30°+15°＝45°，∠ACB ＝180°﹣60°﹣15°＝105°， ∴∠BAC ＝180°﹣45°﹣105°＝30°， 由正弦定理知
BC AC
sin BAC sin ABC
=∠∠，
∴AC BC sin BAC
=∠•sin ∠ABC
1062
2
=
=3m ）， 在Rt △ACD 中，AD 3=
AC 3=3=30（m ） 即旗杆的高度为30m ． 故选B ． 【点睛】
本题主要考查了解三角形的实际应用．结合了正弦定理等基础知识，考查了学生分析和推理的能力．
6．A
解析：A 【分析】
由222sin sin sin 3sin sin A C B A C +-=
，利用正弦定理和余弦定理，可得6
B π
=
，再
根据正弦定理、三角形内角和及两角和的余弦公式，得到23a c -4cos 3C π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，借助角C 的范围，即可求得结果. 【详解】
222sin sin sin 3sin sin A C B A C +-=， ∴2223a c b ac +-=，
∴222
32a c b ac +-=， ∴3cos 2
B =，又0B π<<，∴6B π=，
1
2
sin sin sin sin 6b A C B a c π====， ∴2sin a A =，2sin c C =，
∴
24sin a A C -=-
4sin()B C C =+-
4sin()6
C C π
=+-
1
4cos 2C C C ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭
2cos C C =-
14cos 2C C ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 4cos 3C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
因为506C π
<<，所以7336
C πππ<+<，
所以当
3
C π
π+=时，2a -取得最小值，且最小值为4-.
故选：A. 【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理的应用、三角形内角和的应用、两角和的余弦公式及余弦型函数的最值问题，考查学生对这些知识的掌握能力，属于中档题.在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，一 般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.
7．D
解析：D 【分析】
根据cos cos a A b B =，利用正弦定理将边转化为角得到sin cos sin cos A A B B =，然后再利用二倍角的正弦公式化简求解. 【详解】
因为cos cos a A b B =，
由正弦定理得：sin cos sin cos A A B B =， 所以sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-， 即A B =或2
A B π
+=
所以ABC 一定是等腰三角形或直角三角形， 故选：D 【点睛】
本题主要正弦定理，二倍角公式的应用，属于中档题.
8．D
解析：D 【分析】
由22b c ac =+，并结合余弦定理，可求得2cos c a c B =-，进而结合正弦定理可得
sin sin 2sin cos C A C B =-，由()sin sin A B C =+，代入并整理得
sin C ()sin B C =-，结合△ABC 为锐角三角形，可得出2B C =，从而可得
π02
ππ2
B B
C ⎧
<<⎪⎪⎨
⎪<+<⎪⎩，即可求出答案. 【详解】
由余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-，
所以2222cos a c ac B c ac +-=+，即2cos c a c B =-， 由正弦定理可得，sin sin 2sin cos C A C B =-， 又()sin sin sin cos sin cos A B C B C C B =+=+， 所以
sin sin cos sin cos 2sin cos C B C C B C B =+-()sin cos sin cos sin B C C B B C =-=-，
因为π,0,2B C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，所以
ππ,22B C ⎛⎫
-∈- ⎪⎝⎭， 所以C B C =-，即2B C =.
在锐角△ABC 中，π02ππ2B B C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩，即π022
π3π
2
C C ⎧
<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得ππ64C <<.
故选：D. 【点睛】
本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的运用，考查两角和的正弦公式的运用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
9．C
解析：C 【分析】
利用累加法可求得数列{}n a 的通项公式，利用裂项求和法可求得n S ，然后解不等式
143n S n n ⎛
⎫≥- ⎪⎝
⎭即可得解.
【详解】
因为2132
123n n a a a a a a n --=⎧⎪-=⎪⎨⋅⋅⎪⎪-=⎩，所以123n a n a =+-+
+，()11232
n n n a n +∴=+++
+=
,
()1211211n a n n n n ⎛⎫∴
==- ⎪++⎝⎭，所以11111221223
11
n n
S n n n ⎛⎫=⨯-+-++
-=
⎪++⎝⎭， 由21413n n S n n n ⎛
⎫=
≥- ⎪+⎝
⎭，化简得2311200n n --≤，解得453n -≤≤， *n ∈N ，所以，满足143n S n n ⎛
⎫≥- ⎪⎝
⎭的n 的最大值为5.
故选：C. 【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；
（4）对于11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法
求和.
10．B
解析：B 【分析】
结合根与系数关系，根据等比中项满足的性质，计算6a ，代入，计算式子，即可． 【详解】
48,a a 是关于x 的方程21040x x ++=的两实根，所以24821064a a a a a ===，由48480,100a a a a >+=-<得480,0a a <<，所以2640a a q =<，即62a =-，所以26108a a a =-.故选B
【点睛】
本道题考查了等比中项的性质，关键利用好该性质，计算结果，即可，难度中等．
11．A
解析：A 【分析】
根据题意知，数列{}n a 中的任意一项都是正整数，利用列举法直接写出数列中的项，进而可得结论.
【详解】
对于选项A ，假设：12019a =，则后面依次为：2022，1011，1014，507，510，255，258，129，132，66，33，36，18，9，12，6，3，6，3…循环； 假设：11a =，则后面依次为：4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2……循环， 综上，数列{}n a 中不可能同时有1和2019两项，故选项A 正确； 由选项A 知，选项B 、D 都不对；
对于选项C ，令11a =，则24a =，32a =，所以13a a <，故选项C 不正确. 故选：A. 【点睛】
本题考查数列中的项数的求法，考查数列的递推公式求通项公式，属于基础题.
12．C
解析：C 【分析】
利用向量平行的坐标运算公式得出121n n a a +=+，可得出11
21
n n a a ++=+，所以数列{}1n a +是以2为首项，公比为2的等比数列，然后求解4a . 【详解】
因为//a b ，所以121n n a a +=+，则()112221n n
n a a a ++=+=+，即11
21n n
a a ++=+， 又11a =，所以112a +=，所以数列{}1n a +是以2为首项，公比为2的等比数列， 所以4
41216a +==，得415a =. 故选：C. 【点睛】
本题考查向量的平行，考查数列的通项公式求解及应用，难度一般. 一般地，若{}n a 满足
()10,1,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠，则只需构造()1n n a x p a x ++=+，其中1
q x p =
-，然后转化为等比数列求通项.
二、填空题
13．【分析】变换得到利用均值不等式计算得到答案【详解】当且时即时等号成立故答案为：【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值意在考查学生的计算能力和转化能力 解析：
716
【分析】
变换得到22816132s t
s s s t s s t
+=++，利用均值不等式计算得到答案. 【详解】
24s t +=，
22217
832116321616
2s s s s t s t s s t s s t t +=+=++≥-+=+， 当232t s s t =且0s <时，即23s =-，163
t =时等号成立. 故答案为：7
16
. 【点睛】
本题考查了利用均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.
14．【分析】利用基本不等式求得的取值范围对不等式分离常数结合函数单调性求得的取值范围【详解】依题意则当且仅当时等号成立由为正实数得令在上递增所以时有最小值所以故答案为：【点睛】利用基本不等式求最值要注意 解析：829
a ≤
【分析】
利用基本不等式求得x y +的取值范围，对不等式2
2
210x xy y ax ay ++--+≥分离常数
a ，结合函数单调性求得a 的取值范围.
【详解】
依题意4x y xy +=，则
14
1y x
+=，
()144559x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
，
当且仅当
4,26x y x y y x
===时等号成立. 由2
2
210x xy y ax ay ++--+≥，,x y 为正实数得
()()2
10x y a x y +-++≥，1
a x y x y
≤++
+， 令9t x y =+≥，
1t t +在[)9,+∞上递增，所以9t =时1t t +有最小值182999
+=， 所以82
9
a ≤
故答案为：829
a ≤ 【点睛】
利用基本不等式求最值，要注意掌握“1”的代换的方法.
15．【解析】作可行域如图则直线z=x+2y 过点A （20）时z 取最小值2点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化即数形结合的思想需要注意的是：一准确无误地作出可行域；二画目标函数所对应的直线时要注意与约束条
解析：【解析】
作可行域，如图，则直线z=x+2y 过点A （2，0）时z 取最小值2.
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
16．40【分析】首先根据正弦定理求并表示最后根据余弦定理求的值【详解】根据正弦定理可知根据余弦定理可知得解得：故答案为：40【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更适合或
解析：40 【分析】
首先根据正弦定理求2R ，并表示sin sin 22b c B C R R
+=+，最后根据余弦定理求bc 的值. 【详解】
143
22sin 3
a R R A =⇒==， 根据正弦定理可知
1331322b c b c R R +=⇒+=， 根据余弦定理可知()2
222222cos 3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-， 得249133bc =-，解得：40bc =. 故答案为：40 【点睛】
方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定
理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．
17．【分析】由结合余弦定理得到求解【详解】因为所以即：因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查三角形面积公式与余弦定理的应用还考查了运算求解的能力属于中档题
解析：4
π
【分析】
由222
1sin 24
+-==ABC a b c S ab C ，结合余弦定理得到tan 1C =求解.
【详解】
因为222
1sin 24
+-==
ABC
a b c S
ab C ， 所以222
sin cos 2a b c C C ab
+-==，
即：tan 1C =， 因为()0,C π∈， 所以4
C
π
，
故答案为：4
π 【点睛】
本题主要考查三角形面积公式与余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
18．【分析】在中分析边角关系可得在中由正弦定理可求得的值然后在中利用余弦定理可求得的长【详解】在中则在中则由正弦定理得可得在中由余弦定理得因此（千米）故答案为：【点睛】本题考查距离的测量问题考查了利用正 解析：3
【分析】
在ACD △中，分析边角关系可得AC CD ==BCE 中，由正弦定理可求得
BC 的值，然后在ABC 中，利用余弦定理可求得AB 的长. 【详解】
在ACD △中，45ACD ∠=，67.5ADC ∠=，CD =
67.5CAD ∴∠=，则AC CD ==
在BCE 中，60BEC ∠=，75BCE ∠=，CE 45CBE ∠=，
由正弦定理得
sin 45sin 60
CE BC
=
，可得2sin 60sin 452
CE BC =
==
在
ABC 中，AC =BC =，18060ACB ACD BCE ∠=-∠-∠=， 由余弦定理得2222cos609AB AC BC AC BC =+-⋅=，因此，3AB =（千米）. 故答案为：3. 【点睛】
本题考查距离的测量问题，考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.
19．【分析】根据利用等差中项得到是等差数列然后由利用裂项相消法求和【详解】∵∴是等差数列又∴∴∴∴故答案为：【点睛】本题主要等差中项以及裂项相消法求和还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：
1
n n + 【分析】 根据
11
211(2)n n n n a a a +-=+≥，利用等差中项得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是等差数列，然后由 1111
(1)1
n n a n n a n n +=
=-++⋅，利用裂项相消法求和.
【详解】
∵
11
211(2)n n n n a a a +-=+≥， ∴1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列， 又11a =，2
1
2a =， ∴21
11
1d a a =-=， ∴
1n
n a ，1n a n
=，
∴1111
(1)1
n n a n n a n n +==-++⋅
∴11111111 (1111)
1223341n n
S n n n n -
+-+-++--=+=+=+． 故答案为：
1
n
n +
【点睛】
本题主要等差中项以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
20．【分析】根据递推关系式可证得数列为等比数列根据等比数列通项公式求得代入不等式结合可求得结果【详解】数列是以为首项为公比的等比数列由得：即且满足题意的最小正整数故答案为：【点睛】本题考查根据数列递推关 解析：11
【分析】
根据递推关系式可证得数列
}
1
，代
入不等式，结合n *∈N 可求得结果. 【详解】
(
)
2
1411n n a a +=+=
，1=
，
)12
1=，
∴
数列}1
11=为首项，2为公比的等比数列，
)1
112n -+=⨯
，)
1121n -=
⨯-，
由2
2020n a ≥
2020≥
，即)
1
220211837n -≥
=⨯≈，
92512=，1021024=且n *∈N ，∴满足题意的最小正整数11n =.
故答案为：11. 【点睛】
本题考查根据数列递推关系式求解数列通项公式并解不等式的问题，关键是能够通过构造的方式，通过递推关系式得到等比数列的形式，进而利用等比数列通项公式来进行求解.
三、解答题
21．（Ⅰ）2,1a b =-=；（Ⅱ）{}(,1]1[3,)-∞-⋃⋃+∞． 【详解】
试题分析：（1）一元二次不等式的解集的端点即相应的二次方程的根；（2）二次不等式恒成立问题结合相应的函数图象特征，抓端点值即可. 试题
（Ⅰ）由根与系数的关系得1
1122,1112
a a
a b b a +⎧-+=⎪⎪⇒=-=⎨
⎪-⨯=⎪⎩ （Ⅱ）由题意()2
430x m x m +-+-≥对任意[]
0,4m ∈恒成立，即
()21430m x x x -+-+≥
令()()2
143g m x m x x =-+-+，即()()22
0430410g x x g x ⎧=-+≥⎪
⎨=-≥⎪⎩
， 故(]{}[
),113,x ∈-∞-⋃⋃+∞.
22．（1）3
(,1),2
⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭
；（2）当0a =时，解集为(,1]-∞-，当0a >时，解集为
1(,1],a ⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭，当1a <-时，解集为11,a ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦，当1a =-时，解集为{}1-，当
10a -<<时，解集为1,1a ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
.
【分析】
（1）根据不等式的解与方程的根的关系，利用韦达定理列出方程组，求得a 的值，代入求得不等式的解集.
（2）对参数a 分情况讨论，分别求得不等式的解集. 【详解】
解：（1）由题意得11121112a a a -⎧--=-⎪⎪
⎨-⎛⎫⎪-⨯-=
⎪⎪⎝⎭⎩
，
解得2a =-，
故原不等式等价于23
01x x -+-，即(23)(1)010x x x --⎧⎨-≠⎩
所以不等式的解集为3(,1),2
⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭
.
（2）当0a =时，原不等式可化为10x +≤，解集为(,1]-∞-; 当0a >时，原不等式可化为1(1)0x x a ⎛⎫-+ ⎪⎝
⎭，解集为1(,1],a ⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭
; 当0a <时，原不等式可化为1(1)0x x a ⎛
⎫
-+ ⎪⎝
⎭
, 当11a >-，即1a <-时，解集为11,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
; 当1
1a
=-，即1a =-时，解集为{}1-; 当
11a <-，即10a -<<时，解集为1,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法及分式不等式的解法，意在考查学生的分类讨论思想及数学运算的学科素养，属中档题.
23．（1）π3B =；（2 【分析】
（1sin cos sin B C B C =，即得tan B =可求出；
（2）由余弦定理求出cos 2
C =，得π4C =，计算出sin A ，再由正弦定理求出b ，即
可求出面积. 【详解】
解：（1）因为cos b C C a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，
则由正弦定理得sin cos sin B C C A ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭
.
由πA B C ++=得()sin cos sin sin sin cos cos sin B C B C B C B C B C =+=+，
sin cos sin B C B C =.
因为sin 0C ≠，故tan B = 又0πB <<，所以π3
B =
.
（2）由余弦定理及2
2
2
c a b =+得222cos 22
a b c C ab +-==
. 又0πC <<，所以π
4
C =
， 则()ππsin sin sin 34A B C ⎛⎫
=+=+ ⎪⎝⎭
ππππsin cos cos sin 3434
=+
12=
+=
由正弦定理得sin sin c B
b C
=
=
所以11sin 22ABC S bc A ===
△. 【点睛】
关键点睛：本题正余弦定理的应用，解题的关键是正确利用正弦定理边角互化的作用对条件进行化简.
24．（1）π04θ≤≤
，πsin 4AE θ=⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭
；AF =；（2
）)
21．
【分析】
（1）依据直角三角形直接写出θ的范围，然后根据正弦定理可得AE ，AF 关于θ的函数关系式.
（2）根据（1）的条件可得EAF S △，并结合辅助角公式，简单计算以及判断即可. 【详解】
（1）由题意知π
04
θ≤≤
，
πππsin sin sin 444AE AB AE θθ=⇒=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
ππcos sin sin 42AF AC AF θθ=⇒=⎛⎫- ⎪⎝⎭
． （2
）
1π2cos 22sin 422EAF S θθ=⋅
⋅⋅=⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎝⎭
△
)122
1
11cos 2πsin 221224θθθ=
=≥=+⎛⎫+++ ⎪⎝
⎭．
当且仅当π
8
θ=
时，取“=”． 25．（1）1n a n =+；（2）12
n n n T -=. 【分析】
（1）根据2
22n n n S a a =+-可得211122n n n S a a +++=+-，两式作差证明{}n a 为等差数
列，由此求解出{}n a 的通项公式； （2）先根据232
n n
n a a b --=求解出{}n b 的通项公式，然后采用错位相减法进行求和，由此求
解出n T . 【详解】
（1）因为2
22n n n S a a =+-，所以211122n n n S a a +++=+-， 所以两式作差有：22
1112n n n n n a a a a a +++=+--，
所以()()22
1111n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-，且0n a >，所以10n n a a ++>，
所以11n n a a +-=，所以{}n a 是公差为1的等差数列，
且2
1111222S a a a ==+-，所以12a =或11a =-（舍），
所以()2111n a n n =+⋅-=+； （2）因为232n n n a a b --=，所以1
22
n n n
b --=， 所以01211012...2222n n n T ---=
++++，所以12311012...22222n n
n T --=++++， 两式作差可得：012311
111112+ (2)
222222
n n n n T ------=
++++-， 所以1
1
11122
2221212
n n
n n T --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
-⎝⎭=---，所以11112221222n n n n n n T ---⎛⎫-⎛⎫=---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】
思路点睛：满足等差乘以等比形式的数列{}n a 的前n 项和n S 的求解步骤（错位相减法）：
（1）先根据数列的通项公式写出数列n S 的一般形式：123...n
n S a a a a =++++；
（2）将（1）中的关于n S 等式的左右两边同时乘以等比数列的公比()1q ≠；
（3）用（1）中等式减去（2）中等式，注意用（1）中等式的第一项减去（2）中等式的第2项，依次类推，得到结果；
（4）利用等比数列的前n 项和公式以及相关计算求解出n S . 26．（1）21
n n +；（2）证明见解析，1
22n n S n +=--. 【分析】
（1）由已知条件判定数列为等差数列，求得通项公式，进而得到n S ，利用裂项求和法进一步求得n T ；
（2）在已知递推关系两边同时加上1，可以证得数列{}1n a +为等比数列，求得通项公式，进而利用分组求和法和等比数列的求和公式计算n S . 【详解】
（1）当1p =, 11n n a a +=+,
∴数列{}n a 为等差数列，公差1d =,又
11a =，
∴1(1)1(1)n a a n d n n =+-=+-=，()()112
2
n n a a n n n S ++∴=
=,
()122211
n S n n n n ∴
==-++,
∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项之和 121112222222221334111
n n n T S S S n n n n =++⋯+=-+-+⋯+-=-=+++； （2）当2p =时，121n n a a +=+，1211)12(1n n n a a a +=++=++，又11a =，∴112a +=，
∴数列{}1n a +是首相为2，公比为2的等比数列，∴12n n a +=，∴21n n a =-，
∴1212(21)(21)...(21)22...2n n n S n
=-+-++-=+++-()12122212
n n n n +-=-=---.
【点睛】 本题考查等差数列的判定与求和，等比数列的判定与求和，裂项求和法和分组求和法，难度不大.关键是掌握裂项相消求和方法和利用定义证明等比数列.。