河南省郑州市第一中学2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题

2015—2016学年上期末考18届 高一数学试题
说明： 1、试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，满分150分，时间120分钟.
2、将第Ⅰ卷的答案填在第Ⅱ卷的答题栏中.
第Ⅰ卷 （选择题、填空题，共80分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合{1,0,1}M =-，2
{|}N x x x =≤，则M N =（ ）
A.{0}
B.{0,1}
C.{-1,1}
D.{-1,0,1}
2.下列函数中，在()1,∞-内是增函数的是（ ） A ．31x y -= B.x x y +=2 C.x
x
y -=
1 D.x y -=1 3.已知0.6122
log 5,log 3,1,3a b c d -====，那么（ ）
A ．a c b d <<<
B ．a d c b <<<
C ．a b c d <<<
D ．a c d b <<<
4.若函数12)(2
--=x ax x f 在区间（0，1）内恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)1,(--∞
B ．(1,)+∞
C ．(1,1)-
D ．)1,0[
5.下列命题中正确的是（ ）
A ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B ．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥
C ．由五个面围成的多面体一定是是四棱锥
D ．棱台各侧棱的延长线交于一点
6.四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，若CD=2AB ，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角等于（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90° 7.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角的大小是 （ ）
A ．90°
B ．30°
C ．45°
D ．60°
8.矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体
ABCD 的外接球的体积是（ ）
A.
π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3
125
9.函数()log (2)a f x ax =-在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是 （ ）
A ．(1,)+∞
B ．(0,2) C.2
(0,)3
D ．(2,)+∞
10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC ∆的顶点
(2,0),(0,4)A B ，AC BC =，则ABC ∆的欧拉线方程为（ ）
A ．230x y -+=
B ．230x y ++=
C ． 230x y ++=
D ．230x y -+= 11.方程21(1)2x k x -=-+有两个不等实根，则k 的取值范围是（ ） A ．3(,)4+∞ B ．1(,1]3 C ．3(0,)4 D ．3(,1]4
12.设集合{}
22(,)|||||,,A x y x y x y x y R =+≤+∈，则集合A 所表示图形的面积为（ ） A. 1π+ B. 2 C. 2π+ D. π
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 一个几何体的三视图如右图所示，且其侧视图是一个等边三角
形,则这个几何体的体积为________． 14.334
2log 2
20.25log 33log 411()2--⎛⎫-++ ⎪⎝⎭
=______．
15.当(1,3)x ∈时，不等式2
40x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是________．
16.圆C 的方程为22680x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．
2015—2016学年上期末考 18届 高一数学试题答题卷
题号 一
二
三
总分
17 18 19 20 21 22 得分
一、选择题：（共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
二、填空题：（共20分）．
13. 14. 15. 16．
第Ⅱ卷
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本题满分10分）已知集合{}
2120A x x x =--<，集合{
}
0822
>-+=x x x B ，集合
22{|430}(0)C x x ax a a =-+<>.
（Ⅰ）求()R A
C B ；
（Ⅱ）若)(B A C ⊇，试确定正实数a 的取值范围.
18.（本小题满分12分）分别求出适合下列条件的直线方程： （Ⅰ）经过点(3,2)P -且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍；
（Ⅱ）经过直线2x +7y －4=0与7x －21y －1=0的交点，且和A (－3，1)，B (5，7)等距离. .
19.（本小题满分12分）一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的
1
4
，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22
. （Ⅰ）求每年砍伐面积的百分比；
（Ⅱ）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ （III ）今后最多还能砍伐多少年？
20.（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD 中，10AB =，6BC =，将矩形沿对角线BD 把ABD ∆ 折起，使A 移到1A 点，且1A 在平面BCD 上的射影O 恰在CD 上，即1A O ⊥平面DBC ．
座号
A 1
（Ⅰ）求证：1BC A D ⊥；
（Ⅱ）求证：平面1A BC ⊥平面1A BD ； （III ）求点C 到平面1A BD 的距离．
21．（本小题满分12分）如图，已知圆心坐标为(3,1)的圆M 与x 轴及直线3y x =分别相切于A 、B 两点，另一圆N 与圆M 外切，且与x 轴及直线3y x =分别相切于C 、D 两点． （Ⅰ）求圆M 和圆N 的方程；
（Ⅱ）过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长
度．
22.（本小题满分12分）已知函数1
()()2
x f x =, 其反函数为().y g x =
（Ⅰ） 若)12(2
++x mx g 的定义域为R ，求实数m 的取值范围；
（Ⅱ） 当[]1,1x ∈-时，求函数[]2
()2()3y f x af x =-+的最小值)(a h ；
（III ） 是否存在实数2m n >>，使得函数)(x h y =的定义域为[],n m ，值域为22
,n m ⎡⎤⎣⎦，若存在，求出
m 、n 的值；若不存在，则说明理由．
2015—2016学年上期末考 18届 高一数学试题
参考答案
一、选择题：
1-5 BCBBD 6-10 ABCDA 11-12 DC 二、填空题 13.
(8)3
6π+ 14． 54 15． 5m ≤- 16． 125
三、解答题：
17.解:（Ⅰ）依题意得，{}{34,4A x x B x x =-<<=<-或}2x >，()(3,2]R A C B =-.……5分 （Ⅱ）(2,4)A
B =，由于0a >则{}3
C x a x a =<<，由()
C A B ⊇得2,34,
a a ≤⎧⎨≥⎩所以4
2.3a ≤≤
……10分
18. （Ⅰ）解：当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋y
a
＝1，
将(－3,2)代入所设方程，解得a ＝1
2，此时，直线方程为x ＋2y －1＝0.
当直线过原点时，斜率k ＝－23，直线方程为y ＝－2
3
x ，即2x ＋3y ＝0，
综上可知，所求直线方程为x ＋2y －1＝0或2x ＋3y ＝0. ……6分 （Ⅱ） 解：有274072110
x y x y +-=⎧⎨
--=⎩解得交点坐标为(1，72
)，
当直线l 的斜率k 存在时，设l 的方程是y －
7
2
=k (x －1)，即7kx －7y +(2－7k )=0， 由A 、B 两点到直线l 的距离相等得
2
2
|217(27)|
|3549(27)|
4949
4949
k k k k k k --+--+-=
++，
解得k =
4
3
，当斜率k 不存在时，即直线平行于y 轴，方程为x =1时也满足条件. 所以直线l 的方程是21x －28y －13=0或x =1. ……12分
19.解：（Ⅰ）设每年降低的百分比为(01)x x <<． 则a x a 21)
1(10
=
-，即2
1
)1(10=-x ，解得101
)2
1
(1-=x . ……4分
（Ⅱ）设经过m 年剩余面积为原来的22，则a x a m
22)1(=
-， 即21
10)21()21(=m
，2
110=m ，解得5=m ，故到今年为止，已砍伐了5年． ……8分
（III ）设从今年开始，以后砍了n 年，则n 年后剩余面积为
n x a )1(2
2
-, 令n x a )1(22-≥a 41，即n x )1(-≥42，10)21(n
≥23
)21(，10n ≤2
3
，解得n ≤15故今后最多还能砍伐
15年． ……12分 20.解：（Ⅰ）∵ 1A O ⊥平面DBC ，∴ 1A O ⊥BC ，
又 ∵ BC DC ⊥，1A O
DC O =，
∴ BC ⊥平面1A DC ，∴ 1BC A D ⊥． ……4分 （Ⅱ）∵ 1BC A D ⊥，11A D A B ⊥，1BC
A B B =，
∴ 1A D ⊥平面1A BC ， 又 ∵ 1A D ⊂平面1A BD ，
∴平面1A BC ⊥平面1A BD ． ……8分 （III ）设C 到平面1A BD 的距离为h ，则
∵ 11C A BD A DBC V V --=， ∴ 1111
33A BD DBC S h S AO ∆∆⋅=⋅，
又 ∵ 1A BD
DBC S S ∆∆=，1
6824105AO ⨯==，∴ 245
h =． ……12分 21.解：（Ⅰ）由于⊙M 与∠BOA 的两边均相切，故M 到OA 及OB 的距离均为⊙M 的半径，则M 在∠BOA 的
平分线上，同理，N 也在∠BOA 的平分线上，即O ，M ，N 三点共线，且OMN 为∠BOA 的平分线．
∵M 的坐标为(3，1)，∴M 到x 轴的距离为1，即⊙M 的半径为1，则⊙M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2
＝1，
设⊙N 的半径为r ，其与x 轴的切点为C ，连接MA 、NC ， 由Rt △OAM ∽Rt △OCN 可知，OM ∶ON ＝MA ∶NC ，
即23＋r ＝1r
⇒r ＝3，则OC ＝33， 故⊙N 的方程为(x －33)2
＋(y －3)2
＝9. ……6分
（Ⅱ）由对称性可知，所求的弦长等于点过A 的直线MN 的平行线被⊙N 截得的弦长，此弦的方程是y ＝3
3
(x －3)，即x －3y －3＝0，
圆心N 到该直线的距离d ＝32
，则弦长为2r 2－d 2
＝33. ……12分
22.解 ：（Ⅰ）12
()log g x x =，22
12
(21)log (21)g mx x mx x ++=++定义域为R ，
2210mx x ++>恒成立，所以0,
440,
m m >⎧⎨∆=-<⎩(1,)m ∈+∞. ……4分
（Ⅱ）令11(),[,2]22
x
t t =∈，222
23()3y t at t a a =-+=-+-，
当2,2a t >=时，min 74.y a =-当2,2a t >=时，min 74.y a =-
当2,2a t >=时，min 74.
y a =-
274,21()3,2213
1,42
a a h a a a a a ⎧
⎪->⎪
⎪
=-≤≤⎨⎪
⎪-<⎪⎩. ……8分
（III ）()74,(2,)h x x x =-∈+∞，且()h x 在(2,)x ∈+∞上单调递增.
所以2
2
()74,()74,
h n n m h m m n ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩两式相减得，4m n +=，与2m n >>矛盾，所以不存在,m n 满足条件. ……12分。