最新人教版高中数学必修第二册第三单元《立体几何初步》测试(包含答案解析)(1)

一、选择题
1．平面α⊥平面 β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α，β所成的角分别为4π和6π，过 A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为 ,A B ''，则:AB A B ''等于( )．
A ．3∶2
B ．3∶1
C ．2∶1
D ．4∶3 2．球面上有,,,A B C D 四个点，若,,AB AC AD 两两垂直，且4AB AC AD ===，则该球的表面积为（ ）
A ．803π
B ．32π
C ．42π
D ．48π 3．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，4BC =，60ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC 的距离为22，则该球的体积为（ ）
A ．323
π B ．86π C ．36π D ．323π 4．已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形，SA ⊥底面ABCD ，点E 在线段BC 上，以AD 为直径的圆过点E .若33SA AB ==，则SED ∆的面积的最小值为（ ）
A ．9
B ．7
C ．92
D ．72
5．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,2,4AA AB AD ===，点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足12AN NA =，P 是侧面四边形11ADD A 内的一动点（含边界），若1//C P 平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是（ ）
A ．17]
B ．[2,3]
C ．6,22]
D ．[17,5] 6．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法正确的是（ ）
A ．平面PA
B ⊥平面PBC
B ．异面直线AD 与PB 所成的角为60︒
C ．二面角P BC A --的大小为60︒
D ．在棱AD 上存在点M 使得AD ⊥平面PMB
7．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D －中，M 为AB 的中点， 则点C 到平面1A DM 的距离为（ ）
A ．63a
B ．66a
C ．22a
D ．12
a 8．已知平面α，β，γ和直线l ，下列命题中错误的是（ ）
A ．若αβ⊥，//βγ，则αγ⊥
B ．若αβ⊥，则存在l α⊂，使得//l β
C ．若a γ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥
D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥
9．在长方体1111ABCD A B C D -中，P 为BD 上任意一点，则一定有（ ）
A ．1PC 与1AA 异面
B ．1P
C 与1A C 垂直 C ．1PC 与平面11AB
D 相交 D ．1PC 与平面11AB D 平行
10．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱11C D 和11C B 的中点，则经过点,,B E F 的平面截正方体所得的封闭图形的面积为（ ）
A ．92
B ．310
C ．32
D 10 11．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝8，AB ＝3，AD ＝8，点M 是棱AD 的中点，点N 是棱AA 1的中点，P 是侧面四边形ADD 1A 1内一动点（含边界），若C 1P ∥平面CM N ，则线段C 1P 长度的取值范围是（ ）
A ．17,5⎡⎤⎣⎦
B ．[4，5]
C ．[3，5]
D ．3,17⎡⎤⎣⎦
12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．186+
B ．206+
C ．2010+
D ．1810+ 13．已知三棱锥S ABC -的体积为4，且4AC =，2224SA BC +=，30ACB ∠=︒，则三棱锥S ABC -的表面积为（ ）
A ．103
B ．123
C ．76或123
D ．96或103 14．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得的圆台上、下底面的面积之比为1:16，截去的圆锥的母线长是3cm ，则圆台的母线长是（ ）
A ．9cm
B ．10cm
C ．12cm
D ．15cm
二、解答题
15．如图，三棱柱111ABC A B C -的棱长均相等，113CC B π∠=，平面ABC ⊥平面
11BCC B ，,E F 分别为棱11A B 、BC 的中点.
（1）求证：//BE 平面11A FC ；
（2）求二面角111F AC B --的大小.
16．在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，BC CD ⊥，120ABC ∠=︒，4=AD ，3BC =，=2AB ，3=CD CE ，⊥AP ED ．
（1）求证：DE ⊥面PEA ；
（2）已知点F 为AB 中点，点P 在底面ABCD 上的射影为点Q ，直线AP 与平面ABCD 所成角的余弦值为
3，当三棱锥-P QDE 的体积最大时，求异面直线PB 与QF 所成角的余弦值．
17．如图，在长方形ABCD 中，4AB =，2AD =，点E 是DC 的中点.将ADE 沿AE 折起，使平面ADE ⊥平面ABCE ，连结DB 、DC 、EB .
（1）求证：AD ⊥平面BDE ；
（2）点M 是线段DA 的中点，求三棱锥D MEC -的体积.
18．如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AD ，BD 的中点，∠ABD =∠BCD =90°，EC =2，AB =BD =2，直线EC 与平面ABC 所成的角等于30°.
（1）证明：平面EFC ⊥平面BCD ；
（2）求点F 到平面CDE 的距离.
19．如图，在正三棱柱111ABC A B C -（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，16AC CC ==，M 是棱1CC 的中点.
（1）求证：平面1AB M ⊥平面11ABB A ；
（2）求1A M 与平面1AB M 所成角的正弦值.
20．ABC 是正三角形，线段EA 和DC 都垂直于平面ABC .设
2,EA AB a DC a ===，且F 为BE 的中点，如图.
（1）求证：//DF 平面ABC ；
（2）求证：AF BD ⊥；
（3）求平面BDF 与平面ABC 所成锐二面角的大小.
21．如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，
90//22ADE AF DE DE DA AF ∠====，，.
（1）求证：AC ⊥平面BDE ；
（2）求证：//AC 平面BEF ；
（3）若AC 与BD 相交于点O ，求四面体BOEF 的体积.
22．如图，在梯形ABCD 中，//BC AD ，E 在AD 上，且2BC BE ED ===．沿BE 将ABE △折起，使得AB CE ．
（1）证明：AD CE ⊥；
（2）若在梯形ABCD 中，π3ADC ∠=，折起后π3ABD ∠=，点A 在平面BCDE 内的射影H 为线段BD 的一个四等分点（靠近点B ），求三棱锥D ABC -的体积． 23．如图，在直三棱柱111ABC A B C －中，E ，F 分别为11A C 和BC 的中点．
（1）求证：//EF 平面11AA B B ；
（2）若13AA ＝，23AB =，求EF 与平面ABC 所成的角．
24．如图四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是等腰梯形，//CD AB ，AC 平分BAD ∠且AC BC ⊥，PC ⊥平面ABCD ，平面PAB 与平面ABCD 所成角为60°．
（1）求证：PA BC ⊥．
（2）求二面角D PA C --的余弦值．
25．如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，D 为BC 上一点，1A B 平面1AC D ．
（1）求证：D 为BC 的中点;
（2）若平面ABC ⊥平面11BCC B ，求证：1AC D ∆为直角三角形.
26．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C ．
（1）证明：1B C AB ⊥；
（2）若1AC AB ⊥，160CBB ∠=︒，1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
结合题意分别在直角三角形中求出各边之间的数量关系，从而计算出结果
【详解】
在Rt ABB '∆中，cos
42AB AB AB π'=⋅= 在Rt ABA '∆中，1sin
62AA AB AB π'=⋅=,
在Rt AA B ''∆中，12A B AB ''=
=
, 所以:2:1AB A B ''=
故选C
【点睛】
本题运用线面角来解三角形的边长关系，较为基础 2．D
解析：D
【分析】
分析：首先求得外接球半径，然后求解其表面积即可.
详解：由题意可知，该球是一个棱长为4的正方体的外接球，
设球的半径为R ，由题意可得：()2
2222444R =++,
据此可得：212R =，外接球的表面积为：2441248S R πππ==⨯=.
本题选择D 选项.
点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 3．D
解析：D
【分析】
先判断出底面三角形的形状，然后从球心作截面的垂足，确定垂足的位置后，再利用勾股定理得到半径，再求体积即可.
【详解】
由2AB =，4BC =，60ABC ∠=︒及余弦定理得，
2222cos 416224cos6012AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=+-⨯⨯︒=，
所以222BC AB AC =+，即A 是直角，BC 是底面圆的直径，
过球心O 作OD ⊥平面ABC ，D 即为BC 的中点，所以22OD =，122BD BC =
= 连接OB ，OB 即为半径，由勾股定理得2223OB OD BD =+=，
所以球的体积为34(23)3233
V ππ=
=， 故选：D.
【点睛】
本题考查了球的外接问题，确定球心在截面上的射影的位置是关键，属于基础题. 4．C
解析：C
【分析】
根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到,BE EC 之间的等量关系，再用,BE EC 表示出
SED 的面积，利用均值不等式即可容易求得.
【详解】
设BE x =，EC y =，则BC AD x y ==+.
因为SA ⊥平面ABCD ，ED ⊂平面ABCD ，所以SA ED ⊥.
又AE ED ⊥，SA AE A ⋂=，所以ED ⊥平面SAE ，则ED SE ⊥. 易知23AE x =+23ED y =+ 在Rt AED ∆中，222AE ED AD +=，
即222
33()x y x y +++=+，化简得3xy =. 在Rt SED ∆中，212SE x =
+22933ED y x =+=+. 所以221110834522SED S SE ED x x ∆=
⋅=++. 因为22221081083336x x x x
+≥⋅=， 当且仅当6x =
6y =19364522SED S ∆≥+=. 故选：C.
【点睛】
本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判定和性质，属中档题.
5．C
解析：C
【分析】
首先找出过点1C 且与平面CMN 平行的平面，然后可知点P 的轨迹即为该平面与侧面四边形11ADD A 的交线段，进而可以利用解三角形的知识求出线段1C P 长度的取值范围．
【详解】 如图所示：，
取11A D 的中点G ，取MD 的中点E ，1A G 的中点F ，1D D 的三等分点H 靠近D ，并连接起来．
由题意可知1//C G CM ，//GH MN ，所以平面1//C GH 平面CMN ．
即当点P 在线段GH 上时，1//C P 平面CMN ．
在1H C G 中，2212222C G =+=2212222C H =+=22GH =， 所以1H C G 为等边三角形，取GH 的中点O ，1226C O ==
故线段1C P 长度的取值范围是6,22]．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查线面平行，面面平行的判定定理和性质定理的应用，以及解三角形，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．
6．D
解析：D
【分析】
根据线面垂直，异面直线所成角的大小以及二面角的求解方法分别进行判断即可．
【详解】
解：对于D ，取AD 的中点M ，连PM ，BM ，侧面PAD 为正三角形，
PM AD ∴⊥，
又底面ABCD 是60DAB ∠=︒的菱形，
∴三角形ABD 是等边三角形，
AD BM ∴⊥，
PM BM M =，PM ⊂平面PBM ，BM ⊂平面PBM
AD ∴⊥平面PBM ，故D 正确，
对于B ，AD ⊥平面PBM ，
AD PB ∴⊥，即异面直线AD 与PB 所成的角为90︒，故B 错误，
对于C ，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，平面PAD ⊥平面ABCD ，
AD ⊥平面PBM ，//AD BC ，BC PB ∴⊥，BC BM ⊥，”
则PBM ∠是二面角P BC A --的平面角，
设1AB =，则3BM =，3PM =， 在直角三角形PBM 中，tan 1PM PBM BM
∠==， 即45PBM ∠=︒，故二面角P BC A --的大小为45︒，故C 错误，
对于A ，
AD ⊥平面PBM ，//AD BC ，
所以BC ⊥平面PBM ，BC ⊂平面PBC ，
所以面PBC ⊥平面PBM ，显然平面PAB 与平面PBC 不垂直，故A 错误； 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查空间直线和平面位置关系以及二面角的求解，根据相应的判断和证明方法是解决本题的关键．综合性较强，属于中档题．
7．A
解析：A
【分析】
根据等体积法有11A CDM C A DM V V --=得解.
【详解】
画出图形如下图所示，设C 到平面1A DM 的距离为h ，
在△1A DM 中115,2,2
A M DM a A D a === 1A ∴到DM 的距离为32
a
则根据等体积法有11A CDM C A DM V V --=，即11113232322
a a a a a h ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，解得6h a =， 故选:A.
【点睛】
本题考查利用等体积法求距离，属于基础题.
8．D
解析：D
【分析】
根据面面垂直的判定定理即可判断A 正确；根据线面平行的判定定理可知B 正确； 根据面面垂直的性质定理可知C 正确；根据线面垂直的判定定理可知D 错误．
【详解】
对于A ，因为αβ⊥，所以存在直线a ⊂
α，使a ⊥β，又β∥γ，所以a ⊥γ，有α⊥γ，正确；
对于B ，α⊥β，设α∩β＝m ，则在平面α内存在不同于直线m 的直线l ，满足l ∥m ， 根据线面平行的判定定理可知，l ∥β，正确；
对于C ，过直线l 上任意一点作直线m ⊥γ，根据面面垂直的性质定理可知，
m 既在平面α又在平面β内，所以直线l 与直线m 重合，即有l ⊥γ，正确；
对于D ，若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β不一定成立，D 错误．
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查线面位置关系的判断，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题． 9．D
解析：D
【分析】
取P 为BD 的中点可判断A 、B 、C 选项的正误；证明平面1//BC D 平面11AB D ，可判断D 选项的正误.
【详解】
如下图所示：
对于A 选项，当点P 为BD 的中点时，1PC ⊂平面11AAC C ，则直线1PC 与1AA 相交，A 选项错误；
对于B 选项，当点P 为BD 的中点时，1AC P ∠为锐角，1PC 与1A C 不垂直，B 选项错误；
对于C 选项，当点P 为BD 的中点时，连接11A C 、11B D 交于点O ，则O 为11A C 的中点， 在长方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边形11AAC C 为平行四边形，
11//AC AC ∴且11AC A C =， O 、P 分别为11A C 、AC 的中点，则1//AP OC 且1AP OC =，
∴四边形1OAPC 为平行四边形，1//PC AO ∴，
AO ⊂平面11AB D ，1PC ⊄平面11AB D ，1//PC ∴平面11AB D ，C 选项错误； 对于D 选项，在长方体1111ABCD A B C D -中，11//BB DD 且11BB DD =，
则四边形11BB D D 为平行四边形，11//BD B D ∴，
BD ∴⊄平面11AB D ，11B D ⊂平面11AB D ，//BD ∴平面11AB D ，同理可证1//BC 平面11AB D ，
1BD BC B ⋂=，∴平面1//BC D 平面11AB D ，1PC ⊂平面1BC D ，1//PC ∴平面11AB D .
D 选项正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题. 10．A
解析：A
【分析】
画出所截得的封闭图形，根据正方体的性质可求.
【详解】
如图所示，经过点,,B E F 的平面截正方体所得的封闭图形为四边形BDEF .
,E F 分别是棱11C D 和11C B 的中点，//EF BD ∴，且12EF BD =
. 正方体棱长为2，22,2BD EF ∴==
∴四边形BDEF 是一个等腰梯形.
在1Rt BB F 中，22215BF =+= 223252⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭
. 所以梯形BDEF 的面积为
322+229222
=. 故选：A .
【点睛】
本题考查正方体的性质，属于基础题. 11．A
解析：A
【分析】
取A 1D 1中点E ，取DD 1中点F ，连接EF 、C 1E 、C 1F ，则平面CM N ∥平面C 1EF ，推导出P ∈线段EF ，当P 与EF 的中点O 重合时，线段C 1P 长度取最小值PO ，当P 与点E 或点F 重合时，线段C 1P 长度取最大值PE 或PF ，由此能求出线段C 1P 长度的取值范围．
【详解】
解：取A 1D 1中点E ，取DD 1中点F ，连接EF 、C 1E 、C 1F ，
则//,EF MN EF ⊄面MNC ，MN ⊂面MNC ，所以//EF 面MNC ，
同理1//EC 面MNC ，又1EF
EC E =，
则平面MNC ∥平面C 1EF ，
∵P 是侧面四边形内一动点（含边界），C 1P ∥平面MNC ，
∴P ∈线段EF ，
∵在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝8，AB ＝3，AD ＝8， 则2211345C E C F ==+=，所以1EC F ∆为等腰三角形，
∴当P 与EF 的中点O 重合时，线段C 1P 长度取最小值PO ，
当P 与点E 或点F 重合时，线段C 1P 长度取最大值PE 或PF ，
∴1max 115C P C E C F ===，224442EF =
+=， ()222min 1112522
17C P C O C E EO ==-=-=．
∴线段C 1P 长度的取值范围是17,5⎡⎤⎣⎦．
故选：A ．
【点睛】
本题考查线段的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．
12．B
解析：B
【分析】
根据所给三视图，还原出空间几何体，即可求得几何体的表面积.
【详解】
根据三视图，还原空间几何体如下图所示：
在正方体中，去掉三棱锥111B A C M -，
正方体的棱长为2，M 为1BB 的中点，
则111111111B MC A B C A B M A C M S S S S S S =---+正方体
()()22211116212221222522222⎛⎫=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯- ⎪ ⎪⎝
⎭
206=+，
故选：B.
【点睛】 本题考查了空间几何体三视图的简单应用，关键是能够正确还原出空间几何体，属于中档题.
13．B
解析：B
【分析】
设h 为底面ABC 上的高，,SA m BC n ==，根据体积可得12nh =，结合222m n mn +≥及基本不等式等号成立条件，可得12m n h ===，进而可得SA ⊥面ABC ，再通过计算求出每个面的面积即可.
【详解】
解：如图：h 为底面ABC 上的高，
设,SA m BC n ==，则1114sin 304332
S ABC ABC V S h n h -=
=⨯⨯⨯⨯︒⨯=， 得12nh =， ,12m h mn ≥∴≥，
又22242m n mn =+≥，得12mn ≤，
所以12mn =，故12m n h ===，
SA ∴⊥面ABC ，
在ABC 中22341224124AB =+-⨯=，则2AB =， 在Rt ABS 中22124SB =+=，
在Rt ACS 中121628SC =+=
所以在SBC 中，222SC SB BC =+，则SBC 为直角三角形，
三棱锥S ABC -的表面积
11111=223+423+423+423=12322222
S ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯. 故选：B.
【点睛】
本题考查棱锥表面积的计算，关键是通过基本不等式的等号成立条件得到SA ⊥面ABC ，是中档题.
14．A
解析：A
【分析】
计算得到12:1:4r r =，根据相似得到
3134l =+，计算得到答案. 【详解】
圆台上、下底面的面积之比为1:16，则12:1:4r r =.
设圆台母线长为l ，根据相似得到：
3134
l =+，故9l =. 故选：A .
【点睛】
本题考查了圆台的母线长，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 二、解答题
15．（1）证明见解析；（2）
4π. 【分析】
（1）要证明线面平行，根据判断定理，需证明线线平行，取11A C 的中点G ，连接,EG FG ，通过构造平行四边形，证明//BE FG ；（2）根据二面角的定义，可证明1FGB ∠就是二面角11F A C B --的平面角，1FGB 中，根据边长求角.
【详解】
证明：
（1）取11A C 的中点G ，连接,EG FG ，
于是111//2EG B C ，又111//2
BF B C ， 所以//BF EG ，
所以四边形BFGE 是平行四边形，
所以//BE FG ，而BE ⊄面11A FC ，FG ⊆面11A FC ，
所以直线//BE 平面11A FC ；
（2）连接11,FB B G ，∵ 四边形11BCC B 为菱形，01160CC B ∠=，
F 为BC 的中点，∴111FB B C ⊥，∵平面ABC ⊥平面11BCC B ，
且平面//ABC 平面111A B C ，∴平面111A B C ⊥平面11BCC B ，
且平面111A B C 平面1111BCC B B C =，
∴1FB ⊥平面111A B C ，又111B G AC ⊥，∴11FG AC
⊥， ∴1FGB ∠就是二面角11F A C B --的平面角，设棱长为2，
则11
FB BG ==∴14FGB π∠=， ∴二面角11F A C B --的大小为
4π. 【点睛】
方法点睛：本题考查了线面平行的判断定理，以及二面角的求法，意在考查转化与化归和计算求解能力，不管是证明面面平行，还是证明线面平行，都需要证明线线平行，证明线线平行的几种常见形式，1.利用三角形中位线得到线线平行；2.构造平行四边形；3.构造面面平行.
16．（1）证明见解析；（2）
14． 【分析】
（1）在直角梯形ABCD 中先求出,,CD CE BE ，然后可求得,DE AE ，从而可证明DE AE ⊥，由线面垂直判定定理证明线面垂直；
（2）由（1）得面面垂直，知Q 在AE 上，PAQ ∠为直线AP 与平面ABCD 所成的角，
cos 3
AQ PAQ AP ∠==，设AQ x =（0x <≤-P QDE 的体积，由二次函数知识求得最大值，及此时x 的值，得Q 为AE 中点，从而有//FQ BE ，PBE ∠为异面直线PB 与QF 所成角（或补角），由余弦定理可得．
【详解】
（1）证明：//AD BC ，BC CD ⊥，120ABC ∠=︒，4=AD ，3BC =，=2AB ，
∴
CD ===CD ，∴1CE =，CD =2BE =， 由余弦定理得
222cos120AE BE AB BE B =+-⋅︒22122222232⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 又2222(3)12DE CD CE =+=+=，
∴22
2DE AE AD ，∴AD DE ⊥，
∵AP DE ⊥，又AP AE A =，AP AE ⊂、平面APE ，
∴DE ⊥平面APE ．
（2）由（1）DE ⊥平面APE ．DE ⊂平面ABCD ，
∴平面ABCD ⊥平面PAE ，∴Q 点在AE 上，PAQ ∠为直线AP 与平面ABCD 所成的角， 3cos AQ PAQ AP ∠==， 设AQ x =（023x <≤），则2PQ x =
，23QE x =-， 12(23)232
QDE S x x =⨯⨯-=-△， 212(23)33P QDE QDE V PQ S x x -=⋅=--△22(3)223
x =--+≤，当且仅当3x =时等号成立，
则当P QDE V -最大时，3AQ =，∴Q 为AE 中点，
∵F 为AB 中点，∴//FQ BC ，
∴PBE ∠为异面直线PB 与QF 所成角（或补角），
1,3QB QE ==，则由PQ ⊥平面ABCD 得3,7PE PB ==，又2BE =，
则2227cos 214
PB BE PE PBE PB BE +-∠==⋅， ∴异面直线PB 与QF 所成角的余弦值为714
．
【点睛】
本题考查线面垂直的判定定理，考查直线与平面所成的角，异面直线所成的角，三棱锥的体积等，旨在考查学生的空间想象能力，运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．
17．（1）证明见解析；（2）23. 【分析】 （1）先利用勾股定理得出AE BE ⊥，再利用面面垂直的性质定理得到BE ⊥平面ADE ，进而得到AD BE ⊥，利用线面垂直的判定定理即可得证；（2）利用
1122
D MEC M DEC A DEC D AEC V V V V ----===，取A
E 的中点O ，连接DO ，用面面垂直的性质定理得到DO ⊥平面ABCE ，利用体积公式求解即可.
【详解】
（1）证明：∵2AD DE ==，90ADE ∠=︒，
∴22AE BE ==，
4AB =，
∴222AE BE AB +=，
∴AE BE ⊥，
又平面ADE ⊥平面ABCE ， 平面ADE
平面ABCE AE =， ∴BE ⊥平面ADE ，
又AD ⊂平面ADE ，
所以AD BE ⊥，
又
AD DE ⊥，DE BE E ⋂=，
所以AD ⊥平面BDE.
（2）∵M 是线段DA 的中点，
∴1122
D MEC M DEC A DEC D AEC V V V V ----===， 取A
E 的中点O ，连接DO ，
∵DA DE =∴DO AE ⊥，
又平面DAE ⊥平面ABCE ，
∴DO ⊥平面ABCE ，
又2DO =，
1sin13522
AEC S AE EC =⨯⨯⨯︒=，
∴1
23D AEC V -=⨯=
∴3D MEC V -=
. 【点睛】
方法点睛：
证明线面垂直的常用方法：
利用线面垂直的判定定理；
利用面面垂直的性质定理；
利用面面平行的性质；
利用垂直于平面的传递性.
18．（1）证明见解析；（2 【分析】
（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，根据垂直关系证明EF ⊥平面BCD ；（2）首先作辅助线，取AC 的中点M ，连结EM ，首先证明ECM ∠是直线EC 与平面ABC 所成的角，再利用等体积转化求点到平面的距离.
【详解】
（1）F 是斜边BD 的中点，
∴FC=12
BD=1 ∵E ，F 是AD 、BD 的中点，
∴EF=
1
2
AB=1，又∵ ∵EF 2+FC 2=EC 2 ∴EF ⊥FC
又∵AB ⊥BD ，EF ∥AB
∵EF ⊥BD ，又BD∩FC=F
∴EF ⊥平面BCD
∴平面EFC ⊥平面BCD
(2）取AC 的中点M ，连结EM
∵AB=BD=2且∠ABD=90°，
∴AD=22∵2=
12AD ， ∴ΔACD 为直角三角形且∠ACD=90°， ∴DC ⊥AC ，又DC ⊥BC ，
∴AC∩BC=C ，
又∵AC ，BC ⊂面ABC ，
∴DC ⊥面ABC ，
又E ，M 分别为AC ，AD 中点，
∴EM ∥CD
∴EM ⊥平面ABC ，
∴∠ECM 为EC 与平面ABC 所成的夹角，∠ECM=30°，
∴ME=12CE=22
∴2S ΔFCD =
11122222⨯= ∵V E-FCD =
13EF×S ΔFCD =1111236⨯⨯=，在RtΔECD 中，2， ∴S ΔECD =133222=，设点F 到平面CDE 的距离为h ， ∵V E-FCD =V F-ECD ，
11363=，解得3即点F 到平面CDE 3. 【点睛】 方法点睛：本题考查面面垂直和点到平面的距离，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直.
19．（1）证明见解析；（2）105
. 【分析】 （1）连接1A B 交1AB 于O ，连接MO ，证明1MO AB ⊥，1MO A B ⊥，然后得到MO ⊥平面11ABB A 即可；
（2）首先证明1A O ⊥平面1AB M ，然后可得1A MO ∠即为1A M 与平面1AB M 所成的角，然后利用111sin A O MO M
A A ∠=
算出答案即可. 【详解】
（1）证明：连接1A B 交1AB 于O ，连接MO ，易得O 为1A B ，1AB 的中点
∵1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC
∴1CC AC ⊥
又M 为1CC 中点，16AC CC ==
∴223635AM =+=同理可得135B M =∴1MO AB ⊥
连接MB ，同理可得135A M BM ==1MO A B ∴⊥
又11AB A B O ⋂=，1AB ，1A B ⊂平面11ABB A
∴MO ⊥平面11ABB A
又MO ⊂平面1AB M
∴平面1AB M ⊥平面11ABB A
（2）解：易得11A O AB ⊥
又由（1）平面1AB M ⊥平面1ABB A
平面1AB M 平面111ABB A AB =，1
AO ⊂平面11ABB A ∴1A O ⊥平面1AB M
∴1A MO ∠即为1A M 与平面1AB M 所成的角
在11Rt AA B △中，22111663
222
AB AO ==+= 在1Rt AOM 中，1113210sin 5
35AO MO A A M ∠=== 故1A M 与平面1AB M 所成角的正弦值为
10 【点睛】
方法点睛：几何法求线面角的步骤：（1）作：作出辅助线，构成三角形；（2）证：利用线面角的定义证明作出的角即为所求角；（3）求：在直角三角形中求解即可.
20．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）45︒.
【分析】
（1）利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理即可证明；
（2）利用线面、面面垂直的判定和性质定理即可证明；
（3）延长ED 交AC 延长线于G ′，连BG ′，只要证明BG ′⊥平面ABE 即可得到∠ABE 为所求的平面BDE 与平面ABC 所成二面角，在等腰直角三角形ABE 中即可得到．
【详解】
（1）证明：如图所示，取AB 的中点G ，连接,CG FG .
∵,EF FB AG GB ==，
//FG EA ∴，1=2
FG EA 又//DC EA ，1=2
DC EA ，//FG DC ∴，=FG DC ， ∴四边形CDFG 为平行四边形，
故//DF CG .
∵DF ⊄平面,ABC CG ⊂平面ABC ，
∴//DF 平面ABC .
（2）证明：∵EA ⊥平面ABC ，∴EA CG ⊥.
又ABC 是正三角形，
∴CG AB ⊥.
∴CG ⊥平面AEB .
∴CG AF ⊥.
又∵//DF CG ，
∴DF AF ⊥.
又AE AB =，F 为BE 中点，
∴AF BE ⊥.又BE DF F ⋂=，
∴AF ⊥平面BDE .
∴AF BD ⊥.
（3）延长ED 交AC 延长线于G '，连接BG '. 由12
CD AE =，//CD AE 知D 为EG '中点， ∴//FD BG '.
由CG ⊥平面,//ABE FD CG ，
∴BG '⊥平面ABE .
∴EBA ∠为所求二面角的平面角.
在等腰直角三角形AEB 中，易求45ABE ∠=︒.
【点睛】
熟练掌握三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理与线面、面面垂直的判定和性质定理及二面角的求法是解题的关键．
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
23. 【分析】
（1）证明DE AC ⊥，AC BD ⊥，AC ⊥平面BDE 即得证；
（2）设AC BD O =，取BE 中点G ，连接FG ，OG ，证明//AO 平面BEF ，即证//AC 平面BEF ；
（3）先求出四面体BDEF 的体积43V =，再根据12
BOEF BDEF V V =求解. 【详解】
（1）证明：平面ABCD ⊥平面ADEF ，90ADE ∠=︒， DE ∴⊥平面ABCD ，DE AC ∴⊥． ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，
因为,BD DE ⊂平面BDE ,BD DE D ⋂=,
AC ∴⊥平面BDE .
（2）证明：
设AC BD O =，取BE 中点G ，连接FG ，OG ， OG 为BDE 的中位线
1//2
OG DE ∴ //AF DE ，2DE AF =，//AF OG ∴，
∴四边形AFGO 是平行四边形，
//FG AO ∴．
FG ⊂平面BEF ，AO ⊂/平面BEF ，
//AO ∴平面BEF ，即//AC 平面BEF ． 3（）平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB AD ⊥，
AB ∴⊥平面.ADEF 因为//9022AF DE ADE DE DA AF ∠=︒===，，， DEF ∴的面积为122
DEF S ED AD =⨯⨯=， ∴四面体BDEF 的体积1433
DEF V S AB =⋅⨯= 又因为O 是BD 中点，所以1223
BOEF BDEF V V == 2.3
BOEF V ∴= 【点睛】
方法点睛：求几何体的体积的方法：方法一：对于规则的几何体一般用公式法.方法二：对于非规则的几何体一般用割补法.方法三：对于某些三棱锥有时可以利用转换的方法. 22．（1）证明见解析；（2）3V =
. 【分析】
（1）设BD 与EC 交于点O ，连接AO ，由四边形BCDE 为菱形，可得BD EC ⊥，再利用线面垂直的判定定理即可证明.
（2）求出四棱锥A BCDE -的高为
32
，即三棱锥A BCD -的高，再利用等体积法即可求解.
【详解】
（1）设BD 与EC 交于点O ，连接AO ．
因为BC BE ED ==，//BC DE ，所以四边形BCDE 为菱形，
所以BD EC ⊥，又AB EC ⊥，AB BD B =，所以EC ⊥平面ABD ，
因为AD ⊂平面ABD ，所以EC AD ⊥． （2）因为在菱形BCDE 中，π3EDC ∠=
，2BC BE ==， 所以2CE =，23BD =
因为H 为线段BD 的一个四等分点（靠近点B ），所以134BH BD =
=． 因为AH ⊥平面BCDE ，所以AH ⊥ BD ， 又π3ABD ∠=，所以3tan 2
AH BH ABD =∠=，所以四棱锥A BCDE -的高为32． 即三棱锥D ABC -的高为32
. 易得BCD 的面积11231322
BCD S BD OC =⋅=⨯=， 所以三棱锥D ABC -的体积133332A BCD D ABC V V --==
= 【点睛】
方法点睛：本题考查了证明异面直线垂直以及求三棱锥的体积，常用方法如下：
（1）证明线线垂直的常法：①利用特殊图形中的垂直关系；②利用等腰三角形底边中线的性质；③利用勾股定理的逆应用；④利用直线与平面垂直的性质.
（2）求体积的常用方法：①直接法；②割补法；③等体积法.
23．（1）证明见解析；（2）60°．
【分析】
（1）取AB 中点D ，连结1A D 、DF ，推导出四边形1DFEA 是平行四边形，从而1//A D EF ，由此能证明//EF 平面AA 11B B ．
（2）取AC 中点H ，连结HF ，则EFH ∠为EF 与面ABC 所成角，由此能求出EF 与平面ABC 所成的角．
【详解】
（1）取AB 中点D ，连结1A D 、DF ，
在ABC ∆中，D 、F 为中点，1//2DF AC =∴， 又11//A C AC ，且11112
A E AC =，1//DF A E =∴， ∴四边形1DFEA 是平行四边形，1//A D EF ∴，
1A D ∴⊂平面11AA B B ，EF ⊂/平面11AA B B ，
//EF ∴平面AA 11B B ．
（2）取AC 中点H ，连结HF ，
1//EH AA ，1AA ⊥面ABC ，EH ∴⊥面ABC ，
EFH ∴∠为EF 与面ABC 所成角，
在Rt EHF ∆中，3FH =，13EH AA ==，
tan 3tan 603HFE ∴∠===︒，
60HFE ∴∠=︒，
EF ∴与平面ABC 所成的角为60︒．
【点睛】
本题考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、数形结合思想，是中档题． 24．（1）证明见解析；（2）
34
. 【分析】
（1）根据PC ⊥平面ABCD ，得PC BC ⊥,又BC AC ⊥，得BC ⊥平面PCA ，得证. （2）以C 为原点建立空间直角坐标系,求平面ABCD 法向量，设()0,0,P a ，设平面PAB 法向量,根据平面PAB 与平面ABCD 所成角为60°得到a ,可得平面PAC 和平面PAD 的法向量，利用向量公式可得结果.
【详解】
（1）证明：因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC BC ⊥．
又因为BC AC ⊥，PC AC C ⋂=，所以BC ⊥平面PCA ， PA ⊂平面PCA ，所以BC PA ⊥．
（2）证明：等腰梯形ABCD 中，设1BC =．
因为BC AC ⊥且AC 平分BAD ∠，12BAC DAC CBA ∠=∠=∠， 13+=+==9022CBA BAC CBA CBA CBA ∠∠∠∠∠︒，则=60CBA
∠︒，30CAB ∠=︒， 所以2AB =，3AC =．
30BAC DCA CAD ∠=∠=∠=︒，则DCA △中1CD AD ==．
以C 为原点，以CB ，CA ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．
()0,0,0C ，()1,0,0B ，()
0,3,0A ，13,,022D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,P a ，
平面ABCD 法向量()00,0,1n =，设平面PAB 法向量为()1,,n x y z =,
()1,0,PB a =-，()
1,3,0AB =-有1100n PB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即030x az x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令3z =， 所以()1=33n a a ,,，1223
1cos60cos ,243n n a ︒===+，所以32a =， 平面PAC 法向量()21,0,0n =，
133,,222PD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝
⎭,30,3,2PA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,平面PAD 法向量()3111,,n x y z =， 3300n PD n PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111
1113302223302x y z y z ⎧-+-=⎪⎪⎪-=⎪⎩，令12z =，所以()
3-3,3,2n =． 233cos ,4
934n n ==++， 所以二面角D PA C --的余弦值为
34．
【点睛】
本题考查利用线面垂直证明线线垂直,考查利用空间向量求二面角的夹角的余弦值,考查空间思维能力和转化能力,属于中档题.
25．(1)见解析(2)见解析
【分析】
（1）连接A 1C 交AC 1于O ，连接OD ，利用线面平行的性质定理和中位线的定义，即可证明D 为BC 的中点；
（2）由等腰三角形的性质和面面垂直的性质定理，证明AD ⊥C 1D 即可．
【详解】
证明:(1) 联结1A C 交1AC 于O ，联结OD .
∵四边形11ACC A 是棱柱的侧面， ∴四边形11ACC A 是平行四边形.
∵O 为平行四边形11ACC A 对角线的交点， ∴O 为1A C 的中点.
∵1A B 平面1AC D ，平面1A BC ⋂平面1AC D OD =，
1A B ⊂平面1A BC ，∴1A B OD
∴OD 为1A BC ∆的中位线， ∴D 为BC 的中点.
（2）∵AB AC =，D 为BC 的中点，
∴AD BC ⊥.
∵平面ABC ⊥平面
11BCC B ,AD ⊂平面ABC ，平面ABC
平面11BCC B BC =， ∴AD ⊥平面11BCC B .
∵1C D ⊂平面11BCC B ，∴AD ⊥ 1C D ，
∴1AC D ∆为直角三角形.
【点睛】
本题考查线面平行的性质定理和面面垂直的性质定理的应用.
26．（1）证明见解析；（2）
217． 【分析】
（1）连接1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点，证明1B C ⊥平面ABO ，可得1B C AB ⊥； （2）作OD BC ，垂足为D ，连接AD ，作OH AD ⊥，垂足为H ，证明1CBB 为等边三角形，求出1B 到平面ABC 的距离，即可求三棱柱111ABC A B C -的高．
【详解】
（1）证明：连接1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点，
侧面11BB C C 为菱形，
11BC B C ∴⊥，
AO ⊥平面11BB C C ，
1AO B C ∴⊥，
1AO BC O =，AO ⊂平面ABO ，1BC ⊂平面ABO
1B C ∴⊥平面ABO ，
AB ⊂平面ABO ，
1B C AB ⊥∴；
（2）解：作OD BC ，垂足为D ，连接AD ，作OH AD ⊥，垂足为H ， BC AO ⊥，BC OD ⊥，AO OD O ⋂=，AO ⊂平面AOD ，OD ⊂平面AOD BC ∴⊥平面AOD ，
OH BC ∴⊥，
OH AD ⊥，BC AD D ⋂=，BC ⊂平面ABC ，AD ⊂平面ABC OH ∴⊥平面ABC ，
160CBB ∠=︒，
1CBB ∴△为等边三角形，
1BC =，3OD ∴=， 1AC AB ⊥，11
122OA B C ∴==，
由OH AD OD OA =，可得227AD OD OA =+=，21OH ∴=， O 为1B C 的中点，
1B ∴到平面ABC 的距离为217
， ∴三棱柱111ABC A B C -的高21．
【点睛】
本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能
力，属于中档题．。