中考数学压轴题 易错题专项训练学能测试试卷

一、中考数学压轴题
1．已知AM //CN ，点B 为平面内一点，AB ⊥BC 于B ．
（1）如图1，直接写出∠A 和∠C 之间的数量关系；
（2）如图2，过点B 作BD ⊥AM 于点D ，求证：∠ABD =∠C ；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E 、F 在DM 上，连接BE 、BF 、CF ，BF 平分∠DBC ，BE 平分∠ABD ，若∠FCB +∠NCF =180°，∠BFC =5∠DBE ，求∠EBC 的度数．
2．如图，已知抛物线()2
y ax bx 2a 0=+-≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物线于点D ，并且()D 2,3，()B 4,0-．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C ，求BMC 面积的最大值；
（3）在（2）中BMC 面积最大的条件下，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
3．我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点，如图1，经过平面内一点P 作坐标轴的平行线PM 和PN ，分别交x 轴和y 轴于点M ，N ．点M 、N 在x 轴和y 轴上所对应的数分别叫做P 点的x 坐标和y 坐标，有序实数对（x ，y ）称为点P 的斜坐标，记为P （x ，y ）
（1）如图2，ω＝45°，矩形OABC中的一边OA在x轴上，BC与y轴交于点D，
OA＝2，OC＝1．
①点A、B、C在此斜坐标系内的坐标分别为A，B，C．
②设点P（x，y）在经过O、B两点的直线上，则y与x之间满足的关系为．
③设点Q（x，y）在经过A、D两点的直线上，则y与x之间满足的关系为．
（2）若ω＝120°，O为坐标原点．
①如图3，圆M与y轴相切原点O，被x轴截得的弦长OA＝23，求圆M的半径及圆心M的斜坐标．
②如图4，圆M的圆心斜坐标为M（23，23），若圆上恰有两个点到y轴的距离为1，则圆M的半径r的取值范围是．
4．如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，平行线AB，CD之间有一动点P．（1）如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为，如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为．
（2）如图3，当∠EPF＝90°，F P平分∠EFC时，求证：EP平分∠AEF；
（3）如图4，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝．
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；
5．如图1，已知，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB=AC=10，BC=12，连接AO 并延长交BC 于点H ．
（1）求外接圆⊙O 的半径；
（2）如图2，点D 是AH 上（不与点A ，H 重合）的动点，以CD ，CB 为边，作平行四边形CDEB ，DE 分别交⊙O 于点N ，交AB 边于点M ．
①连接BN ，当BN ⊥DE 时，求AM 的值；
②如图3，延长ED 交AC 于点F ，求证：NM ·NF=AM ·MB ；
③设AM=x ，要使2ND -22DM <0成立，求x 的取值范围．
6．如图，在平面直角坐标中，点O 为坐标原点，ABC ∆的三个顶点坐标分别为()A O m ,，(),B m O -，(),C n O ，5AC =且OBA OAB ∠=∠，其中m ，n 满足725
m n m n +=⎧⎨-=⎩．
（1）求点A ，C 的坐标；
（2）点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿y 轴负方向运动，设点P 的运动时间为t 秒.连接BP 、CP ，用含有t 的式子表示BPC ∆的面积为S （直接写出t 的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，是否存在t 的值，使得ΔΔ32
PAB POC S S =，若存在，请求出t 的值，并直接写出BP 中点Q 的坐标；若不存，请说明理由．
7．如图，已知正方形ABCD 中，4,BC AC BD =、相交于点O ，过点A 作射线AM AC ⊥，点E 是射线AM 上一动点，连接OE 交AB 于点F ，以OE 为一边，作正方形OEGH ，且点A 在正方形OEGH 的内部，连接DH ．
（1）求证：EDO EAO ∆≅∆；
（2）设BF x =，正方形OEGH 的边长为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；
（3）连接AG ，当AEG ∆是等腰三角形时，求BF 的长．
8．如图一，矩形ABCD 中，AB=m ，BC=n ，将此矩形绕点B 顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A 1BC 1D 1，点A 1在边CD 上．
（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D 到点D 1所经过路径的长度；
（2）将矩形A 1BC 1D 1继续绕点B 顺时针方向旋转得到矩形A 2BC 2D 2，点D 2在BC 的延长线上，设边A 2B 与CD 交于点E ，若161A E EC
=，求n m 的值． （3）如图二，在（2）的条件下，直线AB 上有一点P ，BP=2，点E 是直线DC 上一动点，
在BE左侧作矩形BEFG且始终保持BE n
BG m
，设AB=33，试探究点E移动过程中，PF
是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
9．如图1，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接
FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝1
3
，BC＝8．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径OC；
（3）如图2，⊙O的弦AH经过半径OC的中点F，连结BH交弦CD于点M，连结FM，试求出FM的长和△AOF的面积．
10．如图，在正方形ABCD中，DC=8，现将四边形BEGC沿折痕EG(G，E分别在DC，AB边上)折叠，其顶点B，C分别落在边AD上和边DC的上部，其对应点设为F，N点，且FN交DC于M．
特例体验：
(1)当FD=AF时，△FDM的周长是多少?
类比探究：
(2)当FD≠AF≠0时，△FDM的周长会发生变化吗?请证明你的猜想．
拓展延伸：
(3)同样在FD≠AF≠0的条件下，设AF为x，被折起部分(即：四边形FEGN)的面积为S，试用含x的代数式表示S，并问：当x为何值时，S=26?
11．附加题：在平面直角坐标系中，抛物线21y ax a =-
与y 轴交于点A ，点A 关于x 轴的对称点为点B ，
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求点B 坐标（用含a 的式子表示）；
（3）已知点11,P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，(3,0)Q ，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图像，求a 的取值范围．
12．注意：为了使同学们更好地解答本题的第（Ⅱ）问，我们提供了一种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答，也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可．
如图，将一个矩形纸片ABCD ，放置在平面直角坐标系中，()0,0A ，()4,0B ，()0,3D ，M 是边CD 上一点，将ADM 沿直线AM 折叠，得到ANM ． （Ⅰ）当AN 平分MAB ∠时，求DAM ∠的度数和点M 的坐标；
（Ⅱ）连接BN ，当1DM =时，求ABN 的面积；
（Ⅲ）当射线BN 交线段CD 于点F 时，求DF 的最大值．（直接写出答案） 在研究第（Ⅱ）问时，师生有如下对话：
师：我们可以尝试通过加辅助线，构造出直角三角形，寻找方程的思路来解决问题． 小明：我是这样想的，延长MN 与x 轴交于P 点，于是出现了Rt NAP △．
小雨：我和你想的不一样，我过点N 作y 轴的平行线，出现了两个Rt NAP △．
13．已知：在平面直角坐标系中，抛物线2
23y ax ax a =--与x 轴交于点A ，B （点B 在点A 的右侧），点C 为抛物线的顶点，点C 的纵坐标为-2．
（1）如图1，求此抛物线的解析式；
（2）如图2，点P 是第一象限抛物线上一点，连接AP ，过点C 作//CD y 轴交AP 于点D ，设点P 的横坐标为t ，CD 的长为m ，求m 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t
的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E 在DP 上，且ED AD =，点F 的横坐标大于3，连接EF ，BF ，PF ，且EP EF BF ==，过点C 作//CG PF 交DP 于点G ，若728
CG AG =，求点P 的坐标．
14．如图①，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AC =1，D 为AB 的中点，EF 为△ACD 的中位线，四边形EFGH 为△ACD 的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD 的边上）． （1）计算矩形EFGH 的面积；
（2）将矩形EFGH 沿AB 向右平移，F 落在BC 上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD 重叠部分的面积为3时，求矩形平移的距离； （3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形1111E F G H ，将矩形1111E F G H 绕1G 点按顺时针方向旋转，当1H 落在CD 上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形2212E F G H ，设旋转角为α，求cos α的值．
15．如图①，△ABC 是等腰直角三角形，在两腰AB 、AC 外侧作两个等边三角形ABD 和ACE ，AM 和AN 分别是等边三角形ABD 和ACE 的角平分线，连接CM 、BN ，CM 与AB 交于点P ．
（1）求证：CM＝BN；
（2）如图②，点F为角平分线AN上一点，且∠CPF＝30°，求证：△APF∽△AMC；
（3）在（2）的条件下，求PF
BN
的值．
16．如图，四边形AOBC是正方形，点C的坐标是(82,0)．
（1）正方形AOBC的边长为，点A的坐标是；
（2）将正方形AOBC绕点O顺时针旋转45︒，点A，B，C旋转后的对应点为A'，
B'，C'，求点A'的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；
（3）动点P从点O出发，沿折线OACB方向以1个单位/秒的速度匀速运动，同时，另一动点Q从点O出发，沿折线OBCA方向以2个单位/秒的速度匀速运动，运动时间为t 秒，当它们相遇时同时停止运动，当OPQ
△为等腰三角形时，求出t的值（直接写出结果即可）．
17．如图，在⊙O中，直径AB＝10，tanA
3
（1）求弦AC的长；
（2）D是AB延长线上一点，且AB＝kBD，连接CD，若CD与⊙O相切，求k的值；
（3）若动点P以3cm/s的速度从A点出发，沿AB方向运动，同时动点Q以3
2
cm/s的速
度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t （0＜t＜10
3
），连结PQ．当t为何值时，
△BPQ为Rt△？
18．已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，点M在BC边上，过点M作PM∥AB交对角线BD于点P，连接PC．
（1）如图1，当BM=1时，求PC的长；
（2）如图2，设AM与BD交于点E，当∠PCM=45°时，求证：BE
DE
=
33
；
（3）如图3，取PC的中点Q，连接MQ，AQ．
①请探究AQ和MQ之间的数量关系，并写出探究过程；
②△AMQ的面积有最小值吗？如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由．
19．如图1，以AB为直径作⊙O，点C是直径AB上方半圆上的一点，连结AC，BC，过点C作∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作AB的平行线交CB的延长线于点E．
（1）如图1，连结AD，求证：∠ADC＝∠DEC．
（2）若⊙O的半径为5，求CA•CE的最大值．
（3）如图2，连结AE，设tan∠ABC＝x，tan∠AEC＝y，
①求y关于x的函数解析式；
②若CB
BE
＝
4
5
，求y的值．
20．如图1，D是等边△ABC外一点，且AD＝AC，连接BD，∠CAD的角平分交BD于E．（1）求证：∠ABD＝∠D；
（2）求∠AEB的度数；
（3）△ABC 的中线AF 交BD 于G （如图2），若BG ＝DE ，求AF DE 的值．
21．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=8，点D 在△ABC 外，连接AD 、BD ，且∠ADB=90°，AB 、CD 相交于点E ，AB 、CD 的中点分别是点F 、G ，连接FG ．
（1）求AB 的长；
（2）求证：AD+BD=2CD ；
（3）若BD=6，求FG 的值．
22．综合与探究：
如图1，抛物线24832999
y x x =-
++与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点为D ，P 为对称轴右侧抛物线的一个动点，直线AD 与y 轴于点C ，过点P 作//PF AD ，交x 轴于点F ．
（1）求直线AD 的函数表达式及点C 的坐标；
（2）如图2，当//PC x 轴时，将AOC ∆以每秒1个单位长度的速度沿x 轴的正方向平移，当点C 与点P 重合时停止平移．设平移t 秒时，在平移过程中AOC ∆与四边形AFPC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；
（3）如图3，过点P 作x 轴的平行线，交直线AD 于点E ，直线DF 与PE 交于点M ，设点P 的横坐标为m ．
①当3DM MF =时，求m 的值；
②试探究点P 在运动过程中，是否存在值m ，使四边形AFPE 是菱形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，在ABC 中，35,7,tan 4AB BC B ===
，动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒53个单位长度的速度向终点B 运动，过P 作PQ BC ，交AC 于点Q ，以PQ PB 、为邻边作平行四边形PQDB ，同时以PQ 为边向下作正方形PQEF ，设点P 的运动时间为t 秒()0t >． （1）点A 到直线EF 的距离______________；（用含t 的代数式表示）
（2）当点D 落在落在PF 上时，求t 的值；
（3）设平行四边形PQDB 与正方形PQEF 重叠部分的面积为()0S S >，求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值．
（4）设:PDE APE S S m =△△，当112
m 时，直接写出t 的取值范围．
24．（1）（发现）如图1，在ABC 中，//DE BC 分别交AB 于D ，交AC 于E ．已知CD BE ⊥，3CD =，5BE =，求BC DE +的值．
思考发现，过点E 作//EF DC ，交BC 延长线于点F ，构造BEF ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：BC DE +的值为______．
（2）（应用）如图3，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AD 与BC 不平行且
AD BC =，对角线AC BD ⊥，垂足为O ．若3CD =，5AB =，DAB CBA ∠=∠，求AC 的长．
（3）（拓展）如图4，已知平行四边形ABCD 和矩形ABEF ，AC 与DF 交于点G ，FD FB =，且30BFD ∠=︒，60EBF ∠=︒，判断AC 与DF 的数量关系并证明．
25．对于平面内的点M 和点N ，给出如下定义：点P 为平面内的一点，若点P 使得PMN 是以M ∠为顶角且M ∠小于90°的等腰三角形，则称点P 是点M 关于点N 的锐角等腰点P ．如图，点P 是点M 关于点N 的锐角等腰点．在平面直角坐标系xOy 中，点O 是坐标原点．
（1）已知点(2,0)A ，在点123(0,2),(13),(1
3)P P P -，4(2,2)P -中，是点O 关于点A 的锐角等腰点的是___________．
（2）已知点(3,0)A ，点C 在直线2y x b =+上，若点C 是点O 关于点A 的锐角等腰点，求实数b 的取值范围．
（3）点D 是x 轴上的动点，(,0),(2,0)D t E t -，点(,)F m n 是以D 为圆心，2为半径的圆上一个动点，且满足0n ≥．直线24y x =-+与x 轴和y 轴分别交于点H K ，，若线段HK 上存在点E 关于点F 的锐角等腰点，请直接写出t 的取值范围．
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一、中考数学压轴题
1．A
解析：（1）∠A +∠C =90°；（2）证明见解析；（3）99°．
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；
（2）先过点B 作BG ∥DM ，根据同角的余角相等，得出∠ABD =∠CBG ，再根据平行线的性质，得出∠C =∠CBG ，即可得到∠ABD =∠C ；
（3）先过点B 作BG ∥DM ，根据角平分线的定义，得出∠ABF =∠GBF ，再设∠DBE =a ，∠ABF =b ，根据∠CBF +∠BFC +∠BCF =180°，可得(2a +b )+5a +(5a +b )=180°，根据AB ⊥BC ，可得b +b +2a =90°，最后解方程组即可得到∠ABE =9°，即可得出∠EBC 的度数．
【详解】
解：（1）如图1，设AM 与BC 的交点为O ，
AM //CN ，
∴∠C =∠AOB ，
∵AB ⊥BC ，
∴∠ABO =90°，
∴∠A +∠AOB =90°，
即∠A +∠C =90°，
故答案为：∠A +∠C =90°；
（2）证明：如图2，过点B 作BG //DM ，
∵BD AM ，
∴∠BDM =90°，
∵BG //DM ，
180∴∠+∠=︒BDM DBG ，
∴90∠=︒DBG ，即∠ABD +∠ABG =90°，
∵AB BC ⊥，
∴∠ABC =90°，
∴∠CBG +∠ABG =90°，
∴∠ABD =∠CBG ，
∵AM //CN ，BG //DM ，
∴BG //CN ，
∴∠C =∠CBG ，
∴∠ABD =∠C ；
（3）如图3，过点B 作BG //DM ，
∵BF 平分∠DBC ，BE 平分∠ABD ，
∴∠DBF =∠CBF ，∠DBE =∠ABE ，
由（2）可得∠ABD =∠CBG ，
∴∠-∠=∠-∠DBF ABD CBF CBG ，即∠ABF =∠GBF ，
设∠DBE =a ，∠ABF =b ，
则∠ABE =a ，∠ABD =∠CBG =2a ，∠GBF =∠ABF =b ，∠BFC =5∠DBE =5a ，
∴∠CBF =∠CBG +∠GBF =2a +b ，
∵BG //DM ，
∴∠AFB =∠GBF =b ，
∴∠AFC =∠BFC +∠AFB =5a +b ，
∵AM //CN ，
∴∠AFC +∠NCF =180°，
∵∠FCB +∠NCF =180°，
∴∠FCB =∠AFC =5a +b ，
在△BCF 中，由∠CBF +∠BFC +∠BCF =180°可得：
(2a +b )+5a +(5a +b )=180°，化简得：6=90+︒a b ，
由AB BC ，可得：
b +b +2a =90°，化简得：=45+︒a b ，
联立6=9045a b a b +︒⎧⎨+=︒⎩，解得：=936a b ︒⎧⎨=︒⎩
， ∴∠ABE =9°，
∴∠EBC =∠ABE +∠ABC =9°+90°=99°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．
2．B
解析：（1）213y x x 222
=
+-；（2）4；（3）存在，Q 的坐标为()2,4-或()2,1-- 【解析】
【分析】 ()1根据题意将()D 2,3、()B 4,0-的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
()2由题意设点M 的坐标为213x,x x 222⎛⎫+- ⎪
⎝⎭，则点1K x,x 22⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，BMC 1S MK OB 2
=⋅⋅，即可求解； ()3由题意和如图所示可知，1tan QHN 2∠=，在Rt
QNH 中，QH m 6=+，222QN OQ (2)m m 4==-+=+，2QN m 4sin QHN QH 5
∠+===，进行分析计算即可求解．
【详解】
解：()1将()D 2,3、()B 4,0-的坐标代入抛物线表达式得：422316420a b a b +-=⎧⎨--=⎩，解得：1232
a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 则抛物线的解析式为：213y x x 222=
+-； ()2过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点K ，
将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y k'x b'=+得：04'''2k b b =-+⎧⎨=-⎩
，解得：1'2'2
k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， 则直线BC 的表达式为：1y x 22=-
-， 设点M 的坐标为213x,x x 222⎛
⎫+- ⎪⎝⎭，则点1K x,x 22⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，
22BMC 1113S MK OB 2x 2x x 2x 4x 2222⎛⎫=⋅⋅=----+=-- ⎪⎝⎭
， a 10=-<，BMC S
∴有最大值， 当b x 22a
=-=-时， BMC S 最大值为4，
点M 的坐标为()2,3--；
()3如图所示，存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆，切点为N ， 过点M 作直线平行于y 轴，交直线AC 于点H ，
点M 坐标为()2,3--，设：点Q 坐标为()2,m -，
点A 、C 的坐标为()1,0、()0,2-，OA 1tan OCA OC 2∠==， QH //y 轴，
QHN OCA ∠∠∴=，
1tan QHN 2∠∴=，则sin QHN 5
∠= 将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式：y mx n =+得：02m n n +=⎧⎨
=-⎩
， 则直线AC 的表达式为：y 2x 2=-，
则点()H 2,6--， 在Rt QNH 中，QH m 6=+，222QN OQ (2)m m 4==-+=+
2QN m 4sin QHN QH
5∠+===， 解得：m 4=或1-，
即点Q 的坐标为()2,4-或()2,1--．
【点睛】
本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到解直角三角形、圆的基本知识，本题难点是()3，核心是通过画图确定圆的位置，本题综合性较强．
3．B
解析：（1）①（2，0），（1，2），（﹣1，2）；②y ＝2x ；③y ＝﹣
22
x +2； （2）①半径为2，M （
4323,33
）；②2＜r ＜4 【解析】
【分析】 （1）①如图2−1中，作BE ∥OD 交OA 于E ，CF ∥OD 交x 轴于F ．求出OE 、OF 、CF 、OD 、BE 即可解决问题；
②如图2−2中，作BE ∥OD 交OA 于E ，作PM ∥OD 交OA 于M ．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；
③如图3−3中，作QM ∥OA 交OD 于M ．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题； （2）①如图3中，作MF ⊥OA 于F ，作MN ∥y 轴交OA 于N ．解直角三角形即可解决问题；
②如图4中，连接OM ，作MK ∥x 轴交y 轴于K ，作MN ⊥OK 于N 交⊙M 于E 、F ．求出FN ＝NE ＝1时，⊙M 的半径即可解决问题；
【详解】
解：（1）①如图2﹣1中，作BE ∥OD 交OA 于E ，CF ∥OD 交x 轴于F ．
由题意OC ＝CD ＝1，OA ＝BC ＝2，
∴BD ＝OE ＝1，OD ＝CF ＝BE 2，
∴A(2,0)，2)，C(﹣2，
故答案为：A(2,0)，2)，C(﹣2)．
②如图2﹣2中，作BE ∥OD 交OA 于E ，作PM ∥OD 交OA 于M ．
∵OD∥BE，OD∥PM，∴BE∥PM，
∴
BE OE
PM OM
=，
∴
21
y x
=，
∴y＝2x．
故答案为：y＝2x．
③如图2﹣3中，作QM∥OA交OD于M．
2
22
MQ DM
OA DO
x y
∴=
-
∴=
∴
2
2
y x
=-+
故答案为：y＝﹣
2
2
x+2．
（2）①如图3中，作MF⊥OA于F，作MN∥y轴交OA于N．
∵ω＝120°，OM⊥y轴，
∴∠MOA＝30°，
∵MF⊥OA，OA＝23，∴OF＝FA＝3，
∴FM＝1，OM＝2FM＝2，∴圆M的半径为2
∵MN∥y轴，
∴MN⊥OM，
∴MN＝2
3
3
，ON＝2MN＝
4
3
3
，
∴M
4323
,
33
⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
．
②如图4中，连接OM，作MK∥x轴交y轴于K，作MN⊥OK于N交⊙M于E、F．
∵MK∥x轴，ω＝120°，
∴∠MKO＝60°，
∵MK＝OK＝3
∴△MKO是等边三角形，
∴MN＝3，
当FN＝1时，MF＝3﹣1=2，
当EN＝1时，ME＝3+1=4，
观察图象可知当⊙M的半径r的取值范围为2＜r＜4．
故答案为：2＜r＜4．
【点睛】
本题考查圆综合题、平行线分线段成比例定理、等边三角形的判定和性质、平面斜坐标系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考压轴题．4．E
解析：（1）∠EPF=∠AEP+∠PFC，∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（2）见解析；（3）
①150°，∠EQF=180°－1
2
∠EPF
【解析】【分析】
（1）如下图，过点P作AB的平行线，根据平行线的性质可推导出角度关系；
（2）如下图，根据（1）的结论，可得∠AEP+∠PFC=∠EPF=90°，利用△EPF内角和为180°可推导得出∠PEF+∠PFE=90°，从而得出∠PEF=∠AEP；
（3）①根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=60°，再利用角平分线的性质得出
∠PEQ+∠PFQ=150°，最后在四边形EPFQ中得出结论；
②根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF°，再利用角平分线的性质得出
∠PEQ+∠PFQ=180°－1
EPF
2
，最后在四边形EPFQ中得出结论．
【详解】
（1）如下图，过点P作PQ∥AB
∵PQ∥AB，AB∥CD，∴PQ∥CD
∴∠AEP=∠EPQ，∠QPF=∠PFC
又∵∠EPF=∠EPQ+∠QPF
∴∠EPF=∠AEP+∠PFC
如下图，过点P作PQ∥AB
同理，AB∥QP∥CD
∴∠AEP+∠QPE=180°，∠QPF+∠PFC=180°
∴∠AEP+∠EPF+∠PFC=∠AEP+∠EPQ+∠QPF+∠PFC=360°（2）根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=90°
∵PF是∠CFE的角平分线，∴∠PFC=∠PFE
在△PEF中，∵∠EPF=90°，∴∠PEF+∠PFE=90°
∴∠PEF+∠PFE=∠AEP+∠PFC
∴∠PEF=∠AEP，∴PE是∠AEF的角平分线
（3）①根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=60°∴∠BEP+∠PFD=180°－∠AEP+180°－∠PFC=300°
∵EQ、QF分别是∠PEB和∠PFD的角平分线
∴∠PEQ=QEB，∠PFQ=∠QFD
∴∠PEQ+∠PFQ=150°
在四边形PEQF 中，∠EQF=360°－∠EPF －(∠PEQ+∠PFQ)=360°－60°－150°=150° ②根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF
∴∠BEP+∠PFD=180°－∠AEP+180°－∠PFC=360°－∠EPF
∵EQ 、QF 分别是∠PEB 和∠PFD 的角平分线
∴∠PEQ=∠QEB ，∠PFQ=∠QFD
∴∠PEQ+∠PFQ=()1360EPF 2∠︒－=180°－1EPF 2
∠ ∴在四边形PEQF 中： ∠EQF=360°－∠EPF －(∠PEQ+∠PFQ)=360°－EPF ∠－(180°－
1EPF 2∠)=180°－1EPF 2∠ 【点睛】
本题考查“M ”型模型，解题关键在过两条平行线中间的点作已知平行线的平行线，然后利用平行线的性质进行角度转化可推导结论．
5．A
解析：（1）O 半径为254；（2）①458AM =；②详见解析；③当1251017
x <<时，有2220ND DM -<成立．
【解析】
【分析】
（1）如下图，在Rt △ABH 中，先求得AH 的值，设OA=r ，在Rt △OBH 中，利用勾股定理可求得r 的长；
（2）①如下图，在Rt BCN ，可求得BN 的长，然后在矩形NBHD 中，求得AD 的值，最后利用cos ∠MAD 求得AM ；
②如下图，同过证AMN NFC △∽△可得结论；
③如下图，通过转换，先得出222ND DM -=22AM MB DM ⋅这个等式，然后利用3sin 5
DM MAD AM ∠=
=，设AM=x ，可得到关于x 的方程，进而求出x 的取值范围． 【详解】 解：（1）如图1，连接OB ，
∵AH 过圆心O ，∴AH BC ⊥，
∵AB AC =，∴162
BH CH BC ===，
在Rt ABH △中，221068AH =-=， 设半径OA OB r ==，则8OH r =-，在Rt OBH 中，222(8)6r r -+=， 解得254r =，即O 半径为254
． （2）①如图2，连接CN
在平行四边形CDEB 中，DE BC ∥，∴ENB NBC ∠=∠．
∵BN DE ⊥，即90ENB ∠=︒，∴90NBC ∠=︒．
∴CN 是O 的直径．2522
CN r ==． ∴在Rt BCN 中，2272BN CN BC =-=
． ∵四边形CDEB 是平行四边形，NB ⊥BH ，DH ⊥BH
∴四边形NBHD 是矩形，
∴72DH BN ==，6ND BH ==，∴79822
AD AH DH =-=-=． ∴在Rt ADM △中，4cos 5AD AH MAD AM AB ∠=
==，∴458AM =， ②如图3，连接AN ，CN ，
∵DE BC ∥，∴DNC NCB ∠=∠．
∵NAB NCB ∠=∠，∴NAB DNC ∠=∠．
由DE BC ∥，AB AC =可得AMD ABC ACB AFD ∠=∠=∠=∠，
∴AMN NFC ∠=∠，AM AF =．
∴AMN NFC △∽△，MB CF =．
∴NM NM AM CF MB NF
==，即NM NF AM MB ⋅=⋅． ③∵AH BC ⊥，DE BC ∥，∴AD MF ⊥，∵AM AF =，∴MD DF =，
∴222222ND DM ND DM DM -=--
2()()ND DM ND DM DM =-+-
2NM NF DM =⋅-
22AM MB DM =⋅．
∵AM x =，∴10BM x =-， 由3sin 5DM
MAD AM ∠==，得35
DM x =， ∴22223342(10)10525ND DM x x x x x ⎛⎫-=--=-+ ⎪⎝⎭
．(010)x << 该函数图象的示意图如图4 易求得点P 坐标为125,017⎛⎫
⎪⎝⎭ ∴当1251017
x <<时，有2220ND DM -<成立． 【点睛】 本题考查几何图形的综合，解题过程中用到了勾股定理、相似、三角函数和平行四边形、圆的性质，解题关键是将这些知识点综合起来分析题干．
6．A
解析：（1）A （0，4），C （3，0）；（2）S=()()51004251042
t t t t ⎧-+<<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩；（3）存在，满足条件的t 的值为
3617或36，点Q 的坐标为162,17⎛⎫- ⎪⎝⎭或()2,16--． 【解析】
【分析】
（1）解方程组求出m ，n 即可解决问题．
（2）分两种情形：如图1中，当0＜t ＜4时，如图2中，当t ＞4时，根据S=
12
•BC•OP 求解即可．
（3）分两种情形分别构建方程求解即可．
【详解】
解：（1）由725m n m n +=⎧⎨-=⎩
， 解得：43m n =⎧⎨=⎩
， ∴A （0，4），C （3，0）；
（2）如图1中，当0＜t ＜4时，
S=1
2•BC•OP=12×5×（4-t ）=-52
t+10． 如图2中，当t ＞4时，
S=12•BC•OP=12×5×（t-4）=52
t-10． 综上所述，S=()()51004251042
t t t t ⎧-+<<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩， （3）当04t <<时，由题意，1314(4)3222
t t ⨯⨯=⨯⨯-⨯， 解得3617
t =， 此时，363241717OP =-
=， 32(0,)17
P ∴， (4,0)B -，
BQ ∴的中点Q 的坐标为162,17⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 当4t >时，由题意，1314(4)3222
t t ⨯⨯=⨯⨯-⨯， 解得36t =，
此时36432OP =-=，
(0,32)P ∴-，
(4,0)B -，
BP ∴的中点Q 的坐标为(2,16)--．
综上所述，满足条件的t 的值为
3617
或36．点Q 的坐标为16(2,)17-或(2,16)--． 【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了解方程组，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 7．A
解析：（1）详见解析；（2）y =（04x <<）；（3）当AEG ∆是等腰三角形时，2BF =或
43
【解析】
【分析】 （1）根据正方形的性质得到∠AOD=90°，AO=OD ，∠EOH=90°，OE=OH ，由全等三角形的性质即可得到结论；
（2）如图1，过O 作ON ⊥AB 于N ，根据等腰直角三角形的性质得到
122
AN BN ON AB ====，
根据勾股定理得到OF ===线段成比例定理即可得到结论；
（3）①当AE=EG 时，△AEG 是等腰三角形，②当AE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图2，过A 作AP ⊥EG 于P ③当GE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图3，过G 作GQ ⊥AE 于Q ，根据相似三角形的性质或全等三角形的性质健即可得到结论．
【详解】
（1）∵四边形ABCD 是正方形，
,OA OD AC BD ∴=⊥，
90AOD ∴∠=︒，
∵四边形OEGH 是正方形，
,90OE OH EOH ∴=∠=︒，
AOD EOH ∴∠=∠，
AOD AOH EOH AOH ∴∠-∠=∠-∠，
即HOD EOA ∠=∠，
HDO EAO ∴∆≅∆．
（2）如图1，过O 作ON⊥AB 于N ，
则122AN BN ON AB ====， ∵BF=x，
∴AF=4-x ，
∴FN=2-x ，
∴()222222248OF FN ON x x x =+=-+=-+，
∴248EF y x x =--+，
∵AM⊥AC，
∴AE∥OB，
∴BF OF AF EF
＝， ∴2248448
x x x x y x x -+=---+， ∴()244804x x y x -+≤＝＜； （3）①当AE=EG 时，△AEG 是等腰三角形，则AE=OE ，
∵∠EAO=90°，
∴这种情况不存在；
②当AE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，
如图2，过A 作AP⊥EG 于P ，则AP∥OE，
∴∠PAE=∠AEO，∴△APE∽△EAO，
∴PE AE OA OE
=，
∵AE=AG，
∴
2
4
148
2
x x
PE y
-+
==，
()
2
224
8
x
AE y
x
-
=-=，
∴
()
2
2
22
2
22
4
448
448
x
x x
x
x x
x
x
-
-
-+
=
+
，
解得：x=2，
②当GE=AG时，△AEG是等腰三角形，
如图3，过G作GQ⊥AE于Q，
∴∠GQE=∠EAO=90°，
∴∠GEQ+∠EGQ=∠GEQ+∠AEO=90°，
∴∠EGQ=∠AEO，
∵GE=OE，
∴△EGQ≌△OEA（AAS），
∴22
EQ AO
==
∴
24
242
()x
AE E
x
Q
-
===，
∴
4
3
x=，
∴BF=2或
4
3
．
【点睛】
本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
8．A
解析：（1）
5
6
π；（2）
3
3
；（3
）存在，63
+
【解析】
【分析】
（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．解直角三角形，求出
∠ABA1，得到旋转角即可解决问题；
（2）由△BCE∽△BA2D2，推出22
2
A D
CE n
CB A B m
==，可得CE=2n
m
，由161
A E
EC
=-推出16
A C
EC
=，推出A1C=
2
6
n
m
•，推出BH=A1C=
2
6
n
m
•，然后由勾股定理建立方程，解方程即可解决问题；
（3）当A、P、F，D，四点共圆，作PF⊥DF，PF与CD相交于点M，作MN⊥AB，此时PF 的长度为最小值；先证明△FDG∽△FME，得到
3
FG
F
FM FE
D
==，再结合已知条件和解直角三角形求出PM和FM的长度，即可得到PF的最小值.
【详解】
解：（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．
∴AD=HA1=n=1，
在Rt△A1HB中，∵BA1=BA=m=2，
∴BA1=2HA1，
∴∠ABA1=30°，
∴旋转角为30°，
∵22
125
+=
∴D到点D1所经过路径的长度=
3055
1806
π⋅
=；
（2）∵△BCE∽△BA2D2，
∴22
2
A D
CE n
CB A B m
==，
∴
2
n
CE
m
=，
∵161EA EC =-， ∴16A C EC
=， ∴A 1C=2
6n m
⋅， ∴BH=A 1C=2
22
6n m n m -=⋅， ∴4
22
26n m n m
-=⋅， ∴m 4﹣m 2n 2=6n 4， ∴24
2416n n m m
-=•， ∴3n m =（负根已舍去）． （3）当A 、P 、F ，D ，四点共圆，作PF ⊥DF ，PF 与CD 相交于点M ，作MN ⊥AB ，此时PF 的长度为最小值；
由（2）可知，3BE n BG m ==， ∵四边形BEFG 是矩形，
∴3FG FE = ∵∠DFG+∠GFM=∠GFM+∠MFE=90°，
∴∠DFG=∠MFE ，
∵DF ⊥PF ，即∠DFM=90°，
∴∠FDM+∠GDM=∠FDM+∠DFM=∠FDM+90°，
∴∠FDG=∠FME ，
∴△FDG ∽△FME ，
∴3FG F FM FE D ==，
∵∠DFM=90°，tan 3
FD FMD FM ∠==， ∴∠FDM=60°，∠FMD=30°，
∴FM DM =；
在矩形ABCD 中，有
3AD AB =
3=，则3AD =， ∵MN ⊥AB ，
∴四边形ANMD 是矩形，
∴MN=AD=3，
∵∠NPM=∠DMF=30°，
∴PM=2MN=6，
∴NP=AB =，
∴DM=AN=BP=2，
∴2FM DM ===
∴6PF PM MF =+=
【点睛】
本题考查点的运动轨迹，旋转变换、解直角三角形、弧长公式、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于压轴题，中考常考题型．正确作出辅助线，正确确定动点的位置，注意利用数形结合的思想进行解题.
9．D
解析：（1）见解析；（2）3【解析】
【分析】
（1）由DF=2OD ，得到OF=3OD=3OC ，求得13
OE OC OC OF ==，推出△COE ∽△FOE ，根据相似三角形的性质得到∠OCF=∠DEC=90°，于是得到CF 是⊙O 的切线；
（2）利用三角函数值，设OE=x ，OC=3x ，得到CE=3，根据勾股定理即可得到答案；
（3）连接BD ，根据圆周角定理得到角相等，然后证明△AOF ∽△BDM ，由相似三角形的性质，得到FM 为中位线，即可求出FM 的长度，由相似三角形的性质，以及中线分三角形的面积为两半，即可求出面积.
【详解】
解：（1） ∵DF ＝2OD ，
∴OF ＝3OD ＝3OC ， ∴13OE OC OC OF ==， ∵∠COE ＝∠FOC ，
∴△COE ∽△FOE ，
∴∠OCF ＝∠DEC ＝90°，
∴CF 是⊙O 的切线；
（2）∵∠COD ＝∠BAC ，
∴cos ∠BAC ＝cos ∠COE ＝
13
OE OC =， ∴设OE ＝x ，OC ＝3x ，
∵BC ＝8，
∴CE ＝4，
∵CE ⊥AD ，
∴OE 2+CE 2＝OC 2，
∴x 2+42＝9x 2，
∴x ＝2（负值已舍去），
∴OC ＝3x ＝32，
∴⊙O 的半径OC 为32；
（3）如图，连结BD ，
由圆周角定理，则∠OAF=∠DBM ，2AOF ADC ∠=∠，
∵BC ⊥AD ，
∴AC AB =，
∴∠ADC=∠ADB ，
∴2AOF ADC BDM ∠=∠=∠，
∴△AOF ∽△BDM ；
∵点F 是OC 的中点，
∴AO ：OF=BD ：DM=2，
又∵BD=DC ，
∴DM=CM ，
∴FM 为中位线，
∴
∴S △AOF : S △BDM
=(
2 34=
；
∵11111822222
BDM BCD S S BC DE ∆∆==⨯•=⨯⨯⨯= ∴S △AOF
=34
= 【点睛】
本题考查了圆的综合问题，圆周角定理，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用勾股定理求边长，以及三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的定理和性质，运用属性结合的思想进行解题.
10．F
解析：（1）16；（2）不变，证明见解析；（3）214322S x x =
-+，当x=2或6时，四边形FEGN 的面积为26．
【解析】
【分析】
（1）如图1中，在△AEF 中，设AE=x ，则EF=8-x ，AF=4，∠A=90°，理由勾股定理构建方程求出x ，再根据△AEF ∽△DFM ，可得3124FDM
AE DF C ∆==，由此即可解决问题； （2）△FDM 的周长与（1）中结论相同．证明方法与（1）类似；
（3）作GK ⊥AB 于K ．连接BF 交GE 于P ．由△AFB ≌△KEG ，可得FB=GE ，由（2）可知：AE=21416x -
，设AF=EK=x ，AK=AE+EK=AF+AE=21416x x -+，根据S=82
AE DG +⨯，构建二次函数即可解决问题； 【详解】
解：（1）在△AEF 中，设AE=x ，则EF=8-x ，AF=4，∠A=90°，
由勾股定理，得：42﹢x 2=(8-x)2，
∴x=3，
∴AE=3，EF=5．
∴△AEF 的周长为12，
如图，
∵∠MFE=90°，
∴∠DFM+∠AFE=90°
又∵∠A=∠D=90，∠AFE=∠DMF ，
∴△AEF ∽△DFM ， ∴AE
DF =34=12FDM
C ， ∴△FDM 的周长为16；
（2）△FDM 的周长不会发生变化；
理由：如下图，
设AF=x ，EF=8-AE ，x 2+AE 2=（8-AE ）2，
∴AE=21416
x -， ∵△AEF ∽△DFM ，
∴8FDM
AE x DF C ∆+=， ∴△FMD 的周长：2(8)(8)161416
FDM x x C x ∆-+==-． （3）如图，作GK ⊥AB 于K ．连接BF 交GE 于P ．
∵B 、F 关于GE 对称，
∴BF ⊥EG ，
∴∠FBE=∠KGE ，
在正方形ABCD 中，GK=BC=AB ，∠A=∠EKG=90°，
∴△AFB ≌△KEG ，
∴FB=GE ，
由（2）可知：AE=21416
x -， ∴AF=EK=x ，AK=AE+EK=AF+AE=21416x x -
+， ∴梯形AEGD 的面积为：
22211184(44)432216162
AE DG x x x x x +⨯=⨯-+-+=-++， ∴221188(432)43222
S x x x x =⨯--
++=-+， 当S=26时，有 21432262
x x -+=， 解得：x=2或x=6，
∴当x=2或6时，四边形FEGN 的面积为26．
【点睛】
本题考查四边形综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建二次函数，理由方程解决问题，属于中考压轴题．
11．B
解析：（1）直线x=0；（2）B （0，
1a ）；（3）2-≤a ≤13-或13
≤a 2 【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的表达式直接得出对称轴即可；
（2）根据题意得出点A 的坐标，再利用关于x 轴对称的点的坐标规律得出点B 坐标； （3）分a ＞0和a ＜0两种情况分别讨论，画图图像，求出a 的范围.
【详解】
解：（1）在抛物线21
y ax
a
=-中，
2a
-=，
∴对称轴为直线x=0，即y轴；（2）∵抛物线与y轴交于点A，
∴A（0，
1
a -），
∵点A关于x轴的对称点为点B，
∴B（0，1
a
）；
（3）当a＞0时，点A（0，
1
a
-）在y轴负半轴上，
当点P恰好在抛物线上时，代入得：
11
a
a a -=，
解得：2
a=或2
-（舍），
当点Q恰好在抛物线上时，代入得：
1
90 a
a
-=，
解得：
1
3
a=或
1
3
-（舍），
∴当1
3
≤a≤2时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；
当a＜0时，点A（0，
1
a
-）在y轴正半轴上，
同理可知：
当点P恰好在抛物线上时，代入得：
11
a
a a -=，
解得：2
a=2
-，
当点Q恰好在抛物线上时，代入得：
1
90 a
a
-=，
解得：13a =（舍）或13-， ∴当2-≤a ≤13-时，抛物线与线段PQ 只有一个公共点；
综上：若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，a 的取值范围是2-≤a ≤1
3
-或13
≤a 2. 【点睛】
本题是一道二次函数的综合题目，主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用分类讨论的方法和数形结合的思想解答．
12．A
解析：（I ）30DAM ∠=︒，)3,3M
；（II ）245；（III ）DF 的最大值为47． 【解析】
【分析】
（Ⅰ）由折叠的性质得：△ANM ≌△ADM ，由角平分线结合得：
∠BAM=∠MAN=∠NAB=30°，由特殊角的三角函数可求DM 的长，写出M 的坐标； （Ⅱ）如图2，作辅助线，构建直角三角形，设NQ=x ，则AQ=MQ=1+x ，在Rt △ANQ 中，由勾股定理列等式可得关于x 的方程：（x+1）2=32+x 2，求出x ，得出AB 是AQ 的45，即可得出△NAQ 和△NAB 的关系，得出结论；
（III ）如图3，过A 作AH ⊥BF 于H ，证明△ABH ∽△BFC ，得BH CF AH BC
＝，Rt △AHN 中，AH ≤AN=3，AB=4，可知：当点N 、H 重合（即AH=AN ）时，AH 最大，BH 最小，CF 最小，DF 最大，此时点M 、F 重合，B 、N 、M 三点共线，如图4所示，求此时DF 的长即可．
【详解】
（I ）如图。