相似三角形难题集锦(含答案)

一、相似三角形中的动点问题
1.如图,在Rt△AＢC中，∠ACB=9０°,AＣ=3,BC=４,过点B作射线ＢB１∥ＡＣ.动点Ｄ从点A出发沿射线AC方向以每秒５个单位的速度运动,同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点Ｄ作ＤH⊥ＡＢ于H，过点E作EF⊥AC交射线BＢ１于Ｆ，G是EＦ中点，连接DG.设点D运动的时间为t秒．
(1)当ｔ为何值时，AD=ＡB，并求出此时DE的长度；
(２）当△DEG与△ACB相似时,求ｔ的值.ﻭﻭ
2．如图,在△AＢC 中，AＢC＝
９0°，AB=6m，BC=８ｍ,动点P
以2ｍ/s的速度从A点出发,沿ＡＣ向点Ｃ移动．同时,动点Q以1m/ｓ的速度从C点出发,沿CB向点B移动.当其中有一点到达终点时,它们都停止移动.设移动的时间为t秒．ﻭ(1)①当ｔ=2．5s时，求△CPQ的面积；
②求△ＣPQ的面积S(平方米）关于时间t(秒）的函数解析式;
(2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出ｔ的值.ﻭ
3.如图1,在Rt△ＡBC中,ACＢ=
９０°，AC＝６,BＣ=８,点D在边
AB上运动,ＤE 平分CＤB交边BC
于点E,EＭ⊥BＤ，垂足为M,EN⊥CＤ，垂足为N．ﻭ(1）当AＤ＝CD时,求证：DE∥ＡＣ;ﻭ(2）探究:AD为何值时，△BME与△CNＥ相似?ﻭ
4.如图所示，在△ABC中,ＢＡ=ＢC=20cｍ,AC=30cm，点Ｐ从A点出发，沿着AＢ以每秒
４cm的速度向B点运动；同时
点Q从Ｃ点出发，沿CＡ以每秒
3ｃm的速度向A点运动,当Ｐ点
到达B点时,Q点随之停止运
动．设运动的时间为x.
(1）当x为何值时,ＰQ∥ＢC?
(2)△APQ与△ＣQB能否相似?若能，求出AＰ的长;若不能说明理由. 5.如图,在矩形ＡBＣD中，AＢ＝1２cｍ,BＣ=6cm，点P沿AB边从A开始向点B
以２ｃm/s的速度移动;点
Q沿DA边从点D开始向点
A以1cm/s的速度移动.如
果P、Q同时出发，用t（ｓ)
表示移动的时间(０＜t＜
6)。

（1）当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形?ﻭ（２)当t为何值时,以点Q、Ａ、P为顶点的三角形与△ABC 相似？
二、构造相似辅助
线——双垂直模型
6.在平面直角坐标系xOｙ中,点A的坐标为(２，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式.
７.在△ABC中,AB=，
AC=4,BＣ=2,以ＡB为边在C点
的异侧作△AＢD，使△ABD为等
腰直角三角形，求线段CD的长.
--
8.在△ABC中，AＣ＝BC，∠ＡCB＝90°,点M是AC上的一点,点Ｎ是BC上的一点,沿着直线MN折叠，使得点C 恰好落在边AＢ上的P
点．求证:MC：NC=AP:PＢ.
9．如图,在直角坐标系中，矩形ABＣO的边ＯA在x轴上，边ＯＣ在y轴上,点B的坐标为(1,3）,将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置,且ＡD交y轴于点E.那么D 点的坐标为（）
A.
B.ﻭ
C.
Ｄ.
1０..已知，如图，直线ｙ＝﹣２ｘ＋2与坐标轴交于A、B两点．以ＡB为短边在第一象限做一个矩形ABＣD,使得矩形的两边之比为１﹕2。

求C、Ｄ两点的坐标。

三、构造相似辅
助线——A、X字型
11．如图：△ABC中,D是AB
上一点,AD＝AC,ＢC边上的中线AE交ＣD于Ｆ。

ﻭ求证:ﻭ
12.四边形ABCD中，ＡC为
ＡB、ＡD的比例中项,且A
Ｃ平分∠ＤＡB。

求证:1３.在梯形ABCD中，AB
∥ＣD，AB＝b,CD＝ａ,Ｅ
为AD边上的任意一点,EF∥AB，且EF交BC于点F，某同学在研究这一问题时,发现如下事实：
(1)当时,ＥF=；（2)当时,EF ＝
；
(３）当时,Ｅ
F=．当时，
参照上述研究结论,请你
猜想用a、ｂ和ｋ表示E
Ｆ的一般结论,并给出证
明．
14．已知:如图，在
△ABC中,M是AＣ的
中点,Ｅ、F是BＣ上
的两点，且BE=EＦ
＝ＦC。

求BＮ：NQ：ＱM．ﻭ
--
１５.证明:（１)重心定理:三角形顶点到重心的距离等
于该顶点对边上中线长的.(注：重心是三角形三条中线的交点)ﻪ(2)角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例.
四、相似类定值问题
16.如图,在等边△ABＣ中，M、N分别是边AB，ＡC的中点，D为MN上任意一点，BD、CＤ的延长线分别交AC、
AB于点E、F.ﻭ求证：．ﻭ
17.已知:如图，梯形ABCD中，AＢ//ＤＣ，对角线AC、B Ｄ交于Ｏ，过O作EF//AＢ分别交AＤ、BC于E、F。

求证：.
18.如图，在△ABC中,已知CD为
边AB上的高，正方形EFＧH的四
个顶点分别在△AＢC上。

求证：．19.已知，在△AＢC中作内
接菱形CDＥF,设菱形的边长
为a．求证:.
五、相似之共线线段的
比例问题
２０.(1)如图１，点在平行
四边形ABCＤ的对角线BD上,
一直线过点P分别交BA，ＢC
的延长线于点Q,Ｓ,交
于点.求证：
（2)如图2，图3,当点在平行四边形ABＣD的对角线或的延长线上时,是否仍然成立?若成立,试给出证明;若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明
);
--
21.已知:如图,△AＢ
Ｃ中,AB=AC,AD是中
线,P是ＡD上一点,过
C作CF∥AB，延长ＢP
交AC于E,交CF于F.
求证：BP2＝PE·PＦ .
22.如图,已知&Ｄeｌｔa;ABC中，AD，ＢF分别为ＢC，AC边上的高，过Ｄ作AB的垂线交AＢ于E,交BF于G，交AC延长线于Ｈ。

求证： DE２=EG•EH
２3.已知如图,P为平行四边
形ABＣD的对角线AC上一点,
过P的直线与AD、BＣ、CＤ
的延长线、ＡＢ的延长线分
别相交于点E、F、Ｇ、H.
求证：
２4.已知,如图,锐角△ＡBC
中,AD⊥BC于D,Ｈ为垂心（三角
形三条高线的交点）；在AD上有
一点Ｐ,且∠BPC为直角.求证：P
Ｄ2＝AD·DH 。

六、相似之等积式
类型综合
25.已知如图,CＤ是Ｒt△Ａ
BC斜边AB上的高，Ｅ为BＣ
的中点,EＤ的延长线交CA于
Ｆ。

求证：ﻭ
--
2６如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高,点M在C Ｄ上,ＤH⊥BM且与AC的延长线交于点E.ﻭ求证:（1）△AED∽△ＣBM；（２)
ﻪ
2７．如图，△ABＣ是直角三角形,∠ACB=90°，CD⊥AB 于D，E是AC的中点,ED的延长线与ＣＢ的延长线交于点F.
（1)求证：.ﻭ(２）若Ｇ是BC的中点，连接ＧD，GD与EF垂直吗?并说明理由.
2８.如图，四边形AＢCD、ＤEＦＧ都是正方形，连接AE、CG,ＡE与CＧ相交于点M,CG与AＤ相交于点N ．求证：
．
29.如图,BD、ＣE分别是△ABC的两边上的高,过D作DG ⊥BＣ于Ｇ，分别交CE及BA的延长线于Ｆ、H。

求证：（1）DG２＝BG·CＧ;(2)ＢG·ＣG=ＧF·GH 七、相似基本模型应用
3０.△ＡＢＣ和△DEF是两个
等腰直角三角形，∠A=∠D＝
９0°,△DEＦ的顶点E位于边
BC的中点上．
（1)如图１,设DE与AＢ交于
点M,ＥF与AＣ交于点Ｎ，求证:△BＥM∽△CNＥ；ﻭ(2）如图２,将△DEF绕点E旋转，使得DＥ与BA 的延长线交于点M,EＦ与AC交于点Ｎ，于是,除（1)中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．
31.如图,四边形ABＣD和四边形
ACED都是平行四边形,点Ｒ为D
Ｅ的中点，BＲ分别交AC、CＤ于
点Ｐ、Q.ﻭ(1）请写出图中各对
相似三角形(相似比为1除外);
(２）求BP：PQ:QR.
--
32.如图，在△ＡＢＣ中，ＡD⊥ＢＣ于D,ＤE⊥AB于E，DF⊥AC于F 。

求证：ﻭ答案:1.答案：解：(1）∵∠ACＢ=9０°，AＣ=3，ＢＣ＝4
ﻪ∴ＡB＝５
又∵AD=ＡB，ＡD＝５t
∴t=1，此时ＣE=3,ﻪﻭ∴
ＤE=3+3-5=1
ﻪ(２）
ﻭ如图当点D在点E左侧,即：0
≦t ≦时，DE=3t+3-５t=3－2t．ﻭ若△ＤEG与△A ＣＢ相似，有两种情况:
ﻪ①△ＤEG∽△A ＣＢ，此时，
即:，求得：t=;
②△DEＧ∽△BCA，此时，ﻪﻭ即:，求得:t ＝
;ﻪﻭ
如图,当点D在点Ｅ右侧，即:t>时，ＤＥ=5t-(3t+３)=2ｔ-3．
ﻪ若△DＥG与△ACB相似,有两种情况:ﻪﻭ③△ＤE Ｇ∽△ACB,此时,ﻭ即：，求得：t=;
④△DEG∽△BCA ，此时,ﻭ即:,求得：t=．
综上,t 的值为或或或．
3．答案：解:（1）证明:∵ＡＤ=ＣDﻪﻭ∴∠A＝∠ACDﻪﻭ∵ＤE 平分ＣDB交边ＢＣ于点Ｅﻪﻭ∴∠CDE=∠ＢＤＥ
ﻪ∵∠CDB为△CＤB的一个外角
∴∠CDB=∠Ａ+∠ＡCD=2∠ACＤﻭ∵∠CＤB=∠CDE+∠BDE=2∠ＣDE
--
∴∠ＡCD=∠ＣＤＥ
∴DＥ∥ＡＣﻭ(2）①∠NCE=∠ＭＢE
ﻪ∵ＥM⊥BＤ,EＮ⊥CD,
∴△BME∽△CNＥ,如图ﻪﻭﻭ∵∠NCE=∠MBEﻭ∴BＤ＝CDﻭ又∵∠NCＥ+∠ACD=∠MBE+∠A=90°
∴∠ＡＣＤ=∠Ａﻭ∴AD=CDﻭ∴AD＝BD=ＡB
∵在Rt△ABC 中，ACB=９0°，AC＝6，BC＝８
∴AB=1０ﻪﻭ∴AD＝5ﻪﻭ②∠NCE=∠MEＢ
ﻪ∵EM⊥ＢD,EN⊥CD，
ﻪ∴△BMＥ∽△ENC,如图
ﻪﻪﻭ∵∠NCE＝∠ME Ｂﻪﻭ∴ＥM∥CDﻪﻭ∴CＤ⊥ＡBﻭ∵在Rｔ△ABＣ中,ACB=90°，ＡC=６,ＢC＝8ﻭ∴AB=10
ﻪ∵∠A＝∠A,∠ADC=∠AＣＢ
∴△ＡＣD∽△AＢC
ﻪ∴ﻭ∴ﻪﻭ综
上:AD＝5或时，△BME与△CＮＥ相似．
4.答案:解（1)由题意：AP=4x,CQ=3x，ＡQ=30-３ｘ，ﻪ当PQ∥BC 时，,即:ﻪﻭ解得：
ﻪ(2）能,AP=cm或AP=20ｃｍﻪﻭ①△APQ∽△ＣBQ,
则，即ﻭ解得：或（舍)
此时:AP=ｃｍ
②△APＱ∽△CQB,则，即
解得:（符合题意)ﻪﻭ此时:AP=cmﻪﻭ故
ＡP=cｍ或2０ｃm时，△AＰＱ与△CQB能相似．
5.答案:解：设运动时间为t,则DQ=ｔ,ＡQ=6－t,Ａ
P=２t，BP＝12-2t．ﻭ（1）若△QAＰ为等腰直角三
角形，则AQ=ＡP,即:6-t=２t,t=２(符合题意）ﻪﻭ∴
t=２时,△QAＰ为等腰直角三角形．
ﻪ（２）∠B=∠QAP=90°ﻪﻭ①当△QAP∽△ABC
时,,即：，
ﻪ解得:（符合题意);ﻪﻭ②当△PＡQ∽△ABC
时，,即:，
ﻪ解得:（符合题意).ﻭ∴当或时，以点Ｑ、Ａ、P为顶点的三角形与△ABC相似.
6.答案：解：分两种情况ﻭ第一种情况,图象经过第
一、三象限
ﻪﻪﻭ过点A作ＡB⊥OA，交待求直线于点Ｂ,过点A作平行于y轴的直线交x
轴于点Ｃ,过点B作BＤ⊥ACﻭ则由上可
知:=90°ﻭ由双垂直模型知：
△OCＡ∽△ＡＤB
ﻪ∴ﻪﻭ∵A(2，1),=4５°
ﻪﻭ∴ＯC＝2,AC=1,ＡO＝ＡBﻪﻭ∴AD＝OC=2,BＤ
＝AC=1ﻭ∴D点坐标为(2,3)
∴B点坐标为(１，3)
ﻪ∴此时正比例函数表达式为：ｙ=3x
ﻪ第二种情况,图象经过第二、四象限
ﻪﻭ
ﻪ过点A作AB⊥ＯA，交待求直线于点B，过点A作
平行于x轴的直线交y轴于点Ｃ,过点B作BD⊥AC
ﻪ则由上可知：＝9０°
--
ﻪ由双垂直模型知：△OCA∽△AＤＢﻪﻭ
∴ﻪ∵A(2,1）,=45°
ﻪ∴OC=1，AC＝2,AO=ＡBﻪﻭ∴AＤ=OC＝1,ＢD＝AC=2 ∴D点坐标为(3,１)ﻪﻭ∴B点坐标为（３,﹣１)
ﻪ∴此时正比例函数表达式为:ｙ=x
7.答案：解：情形一：
ﻪ
情形二：
ﻪﻭ
ﻪ情形三:
ﻪ
8.答案：证明:方法一：
ﻪ连接ＰC,过点Ｐ作PD⊥AＣ于D，则PＤ//ＢＣ
根据折叠可知MＮ⊥CＰ
∵∠２＋∠PCN＝９０°,∠PCN＋∠CNM=90°
ﻪ∴∠２=∠ＣNＭ
ﻪ∵∠ＣDＰ=∠NCM=90°ﻭ∴△PDＣ∽ＭCＮ
ﻪ∴MC:CN=PＤ:ＤＣﻭ∵PＤ=DAﻭ∴MC:CN=ＤA:DＣﻪﻭ∵PD//ＢC
∴ＤA：ＤC＝ＰＡ:ＰＢﻭ∴MＣ:CN=PA：PB
方法二:如图，
过M作MD⊥AＢ于Ｄ,过Ｎ作NE⊥AB于Ｅ
由双垂直模型,可以推知△PMD∽NPE,则
，
ﻪ根据等比性质可知,而MD=DA,N Ｅ=EB,PM＝CＭ,ＰN=CN,ﻪ∴MC:CＮ＝PA:PB
--
9.答案:Ａ
解题思路：如图
过点D作AB的平行线交BC的延长线于点Ｍ,交x轴于点N,则∠M=∠DＮA＝９0°，ﻭ由于折叠，可以得到△ABC ≌△ADC，ﻭ又由Ｂ(１,3)ﻭ∴BC=DC=1,ＡＢ=AD＝MＮ=3，∠CDA=∠B=９０°ﻭ∴∠１+∠2=90°
∵∠DＮA=90°
∴∠３+∠2=９0°
∴∠1=∠3ﻭ∴△ＤMＣ∽△ANＤ，ﻭ∴
设CM＝x，则ＤN=３ｘ,AN=1＋ｘ,ＤM=
∴3ｘ+＝3
∴ｘ＝
∴，则。

ﻪ答案为Ａ
10.答案:解:
ﻪ过点Ｃ作ｘ轴的平行线交y轴于G，过点D作y轴的平行线交x轴于F，交GC的延长线于Ｅ。

∵直线y=﹣2x+2与坐标轴交于A、Ｂ两点
ﻪ∴A(1，0），B（0，2）ﻭ∴OＡ=１，OB=2,ＡＢ＝
ﻪ∵AB:BC=1:2ﻪﻭ∴BC=ＡD=ﻭ∵∠ABO+∠CBＧ=90°，∠ＡBO+∠BAO=９0°
∴∠CBＧ＝∠BＡO
ﻪ又∵∠ＣGB=∠BOＡ=90°ﻪﻭ∴△OAＢ∽△GBＣﻭ∴
ﻪﻭ∴GＢ=2,GC=4
∴GO＝４ﻭ∴Ｃ（4,４）
同理可得△ＡDＦ∽△BAO，得ﻭ
ﻪ∴DF=2,AF=4ﻪ∴OF=5∴D(5,2)
11.答案：证明:（方法一)如图
ﻪﻭﻪﻭ延长AE到M使得EM=AE，连接CMﻪﻭ∵BE=CE，∠ＡＥB=∠MEC
∴△ＢEA≌△ＣＥMﻭ∴ＣM=AB,∠１=∠Ｂ
ﻪ∴ＡB∥ＣM
∴∠M=∠MＡD，∠MCF=∠ＡDFﻪﻭ∴△MＣF∽△AＤＦﻭ∴
ﻪ∵CM=ＡＢ，ＡD＝AＣﻭ∴
(方法二)ﻪﻭ过D作DG ∥BC交AＥ于G
ﻪ则△AＢE∽△ADＧ，△CEF∽△DGF
∴,ﻪﻭ∵AD＝ＡＣ,BE＝ＣEﻪﻭ∴
12．答案：证明：
过点D作DF∥ＡB交AC的延长线于点F，则∠2=∠３ﻪ∵AC平分∠ＤＡB
ﻪ∴∠１=∠2
∴∠１=∠3
∴ＡＤ=DFﻭ∵∠DEF＝∠BEA，∠2=∠３
∴△ＢEA∽△DＥFﻭ∴
∵AＤ=DF
∴
∵AC为AＢ、AＤ的比例中项
∴ﻪﻭ即ﻪﻭ又∵∠
--
１=∠2ﻭ∴△ＡCD∽△ＡBC
∴
∴
∴
1３.答案:解：
ﻪ证明：
过点E作PQ∥BC分别交ＢA延长线和DＣ于点Ｐ和点Qﻭ∵ＡB∥CＤ，ＰQ∥BCﻪﻭ∴四边形PQCB和四边形EQCF
是平行四边形ﻭ∴PＢ=EF＝CQ ，
又∵AB=ｂ，CD＝ａﻪﻭ∴ＡP＝PB-AB＝EF-b,ＤＱ=DＣ-QＣ＝a-EF
∴
∴
14.答案:解:ﻪﻭ连接MF ﻪ∵Ｍ是AC的中点，EF＝ＦCﻭ∴MＦ∥AE且ＭF=AEﻪ
∴△BＥN∽△BFMﻪﻪ∴BN:BM=BE：BF＝ＮE:MFﻪ∵BE=EF∴BN：BM＝ＮE：MF=1：２∴BN:NM＝1:１ﻪ设NE=ｘ,则MF=２x，AE=4x∴AＮ=３ｘﻪ∵MF∥AEﻪ∴△ＮA Ｑ∽△MFQ∴NQ：QM=AN:MＦ=3:2ﻪ∵BN:NM＝1:1，NQ：QM＝３：2ﻪ∴BN：NQ:QM＝5:3：2
1５．答案:证明:(1)ﻭ如图1，A Ｄ、ＢE为△ABC的中线，且ＡD、BE交于点Ｏ
ﻪ过点C作CF∥BE,交AD的延长线于点Ｆﻭ∵CF∥B Ｅ且Ｅ为AC中点ﻪﻭ∴∠AＥＯ=∠ACF,∠ＯBD＝∠FCD，AC=２AＥﻭ∵∠EAO＝∠ＣＡF
∴△AEO∽△ＡCF
∴ﻭ∵D为BＣ的中点，∠OＤＢ=∠FDC
∴△BOＤ≌△CＦDﻪﻭ∴BO＝CF
ﻪ∴
ﻪ∴
同理,可证另外两条中线ﻪﻭ∴三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的
ﻪ(2）
如图２，ＡD为△ABC的角平分线
ﻪ过点C作AB的平行线CＥ交ＡD的延长线于E
ﻪ则∠BAD=∠Ｅﻪﻭ∵AD为△ABＣ的角平分线
ﻪ∴∠BAD＝∠CAD
ﻪ∴∠Ｅ=∠CADﻪﻭ∴AＣ＝CE
∵CE∥ABﻭ∴△ＢＡＤ∽△CEＤ
∴ﻭ∴
16.答案：证明：ﻭ如图,
作DＰ∥AB，ＤＱ∥AC
ﻪ则四边形MＤＰB和四边形NＤQC均为平行四边形且△ＤPＱ是等边三角形
∴BP+CQ＝MＮ,DＰ＝DQ=PQﻪﻭ∵M、Ｎ分别是边
AB,AC的中点ﻪﻭ∴ＭN ＝BC=PQﻭ∵DP∥AＢ，ＤQ ∥ＡC
∴△CDＰ∽△CFB,△BDQ∽△ＢＥCﻪﻭ∴
--
，
ﻪ∴ﻭ∵DP＝DQ=PQ=BC=AＢ
ﻪ∴AＢ(）=ﻪﻭ∴
１7．答案：证明:∵EＦ／/AB,AＢ/／ＤC
ﻪ∴EF//DC
∴△AOE∽△ＡＣＤ，△DOE∽△DBAﻪﻭ∴,
∴ﻪﻭ∴
18.答案:证明:∵EF∥CD，EH∥ＡBﻪﻭ∴
，
ﻪ∵,
ﻪ∴△AＦE∽△ADＣ，△ＣEH∽△CAB
∴，ﻪﻭ∵ＥF=EＨ
∴
ﻪ∴
１9.答案:证明:∵EF∥ＡＣ，DE∥BCﻭ∴
,ﻪﻭ∵,
ﻪ∴△ＢFE∽△ＢCA,△AED∽△ＡＢC
ﻪ∴，ﻪﻭ∴∵ＥF＝ＤE=a
∴
20.答案:(1)证明:在平行四边形ABＣＤ中,AD∥BＣ,
∴∠ＤRP＝∠S，∠RDB=∠ＤBSﻪﻭ∴△ＤRＰ∽△ＢSP ﻪ∴ﻪﻭ同理由AB∥ＣD可证△ＰＴD∽△PQ Ｂ
ﻪ∴
∴
ﻪ∴
（2)证明:成立,理由如下：ﻪﻭ在平行四边形AＢCD 中,AD∥BC,ﻪﻭ∴∠PRD=∠S,∠RＤP=∠DBSﻪﻭ∴△DRP∽△BSＰﻭ∴
同理由AB∥CD可证△PTD∽△PQB
∴
ﻪ∴
∴
２1.答案：证明:
ﻪ∵AB＝AC，ＡD是中线,
ﻪ∴AD⊥BＣ,BP=CPﻪﻭ∴∠１＝∠2
又∵∠ABC=∠ACB
ﻪ∴∠3=∠4
∵CＦ∥ＡB
∴∠3=∠F,∠４=∠Ｆ
又∵∠ＥPC=∠ＣＰF
∴△ＥPC∽△CPF
ﻪ∴ﻪ∴BＰ2＝PE·PFﻪ即证所求
22.答案:证明:∵DE⊥AＢ
ﻪ∴=９0°
ﻪ∵=90°ﻪﻭ∴
ﻪ∵ﻭ∴△ADE∽△ＤBＥﻭ∴
ﻭ∴DE2＝ﻭ∵BF⊥AC
ﻪ∴＝90°ﻭ∵＝90°且ﻭ∴ﻭ∵
ﻭ∴△BEG∽△ＨＥAﻭ∴
∴=ﻪﻪ∴DＥ2=EG&ｂｕll；EＨ23.答案:证
明:ﻭ∵四边
形ＡＢＣD为平行四边形
ﻪ∴AB∥ＣＤ，AD∥BＣﻭ∴∠1=∠2，∠Ｇ=∠H,∠5＝
∠６ﻭ∴△ＰAH∽△PCＧﻭ∴
ﻪ又∵∠3=∠４
∴△APE∽△CPFﻭ∴
ﻪ∴
2４.答案:证明:如图，连接BＨ交AＣ于点
E,ﻪﻭﻪﻭ∵H为垂心ﻭ∴BＥ⊥ＡCﻭ∴∠EBＣ＋∠BCＡ=90°ﻪﻭ∵ＡD⊥ＢC于D
∴∠DAC+∠BCA=９0°
∴∠EBC＝∠ＤAC
ﻪ又∠BDＨ=∠ADC=90°
∴△BDＨ∽△ＡDC
∴,即ﻪ∵∠BPC 为直角,ＡD⊥BCﻪ∴PＤ2=BD＆mｉddot；DCﻪﻪ∴ＰD２＝AD&mｉddot；DH
25.答案:证明:∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC 的中点
ﻪ∴CE=EB=DE
ﻪ∴∠B=∠BDE=∠FDAﻭ∵∠B+∠ＣAB=９0°，∠AＣD+∠CAB=90°ﻪﻭ∴∠Ｂ=∠ACＤﻪﻭ∴∠FDA=∠ACDﻭ∵∠F=∠F
∴△ＦDA∽△ＦCDﻭ∴
∵∠ADＣ=∠CDB=90°,∠B=∠AＣD
∴△ＡCD∽△CBD
∴
∴
ﻪ即
26.答案：证明：（１)∵∠ACB=∠ＡDC＝９0°ﻭ∴∠A+∠ACD＝9０°
∠BCM+∠ACＤ＝90°ﻪﻭ∴∠A＝∠BCM
ﻪ同理可得:∠MDＨ=∠MＢD
ﻪ∵∠CMB＝∠CDB+∠MBD＝90°+∠ＭBD
ﻪ∠ADＥ＝∠AＤＣ＋∠MDH＝90°+∠MＤHﻪﻭ∴∠ADE=∠CMＢﻭ∴△AEＤ∽△CＢM
（2）由上问可知：,即
故只需证明即可
∵∠A=∠A,∠ACD=∠ABＣ
ﻪ∴△ACＤ∽△ABCﻭ∴，即∴
27.答案：(1)将结论写成比例的形式,，可以考虑证明△ＦDB∽△FＣD（已经有一个公共角∠F）ﻪﻭRt△ACＤ中，E是ＡC的中点
∴DE=AE
ﻪ∴∠A=∠ADE
∵∠AＤE=∠FDＢﻪﻭ∴∠A=∠FＤB
ﻪ而∠Ａ+∠ACD=９0°
ﻪ∠ＦCD+∠ACD＝9０°ﻪﻭ∴∠A=∠FＣＤ
∴∠FCＤ＝∠FDBﻭ而∠Ｆ=∠Ｆﻭ∴△FBD∽△FDC
ﻪ∴
∴ﻪﻪ（2)判断:ＧD与EF垂直ﻪRt △CDB中,Ｇ是BC的中点，ﻪ∴ＧD＝GＢﻪﻪ∴∠ＧＤB=∠GBＤﻪ而∠ＧＢD+∠ＦＣD=９0°ﻪ又∵∠ＦCD=∠ＦＤＢ（1的结论)ﻪ∴∠ＧDB+∠FＤB=９０°∴GD⊥EＦ
28．答案：证明：由四边形ABCD、DEFG都是正方形可知,∠AＤC=∠GDE＝9０°，则∠CＤG=∠ADＥ=∠A
ＤＧ＋90°ﻭ在和中
ﻪﻭ
∴≌ﻪﻭ则∠DＡＭ=∠DCＮﻪﻭ又∵∠ANＭ=∠ＣNDﻭ∴△ANM∽△CＮD
则
∴
29．答案：证明:找模型。

ﻭ(1）△BＣD、△ＢDG,△CDG构成母子型相似。

∴△BＤＧ∽△DCＧ
ﻪ∴
ﻪ∴DG2＝ＢG·CＧ
（2）分析：将等积式转化为比例式。

ﻪBG&ｍiｄdot;CG=GＦ·Ｇ
Hﻭ∵∠ＧFC=∠ＥＦH，而∠EFＨ+∠H=90°,∠ＧFC+∠FCG=90°ﻪﻭ∴∠Ｈ＝∠FCGﻪﻭ而∠HＧB=∠ＣGF=90°ﻭ∴△HBG∽△CFＧﻪﻭ∴
ﻪ∴BG&m ｉdd ｏｔ;CG=G Ｆ&mi ｄｄot;GH.
30.答案：（１）证明：∵∠ME Ｂ＋∠NEC=１80°-45°＝１3５°=∠MEB ＋∠EM Ｂﻪ∴∠NEC ＝∠E ＭB ﻪﻪ又∵∠B=∠C ﻪ∴△B ＥM ∽△CNE ﻪﻪ(2）△CO Ｅ∽△EON ﻪ证明:∵∠OEN=∠C=4５°,∠CO Ｅ=∠EO Ｎﻪﻪ∴△CO Ｅ∽△EO Ｎ 31．
答案：解：(1）△B ＣＰ∽△BER,△CQP ∽△D ＱR ， ﻪ△ABP ∽△C ＱP,△ＤQR ∽△AB Ｐﻭ（2）∵ＡC ∥DE ∴△B ＣP ∽△BER ﻭ∴
ﻪ∵四边形AB ＣＤ和四边形ＡＣＥD 都是平行四边形ﻪﻭ∴AD=BC,AD=CE
∴B Ｃ＝ＣE ，即点C 为ＢＥ的中点 ∴
ﻪﻭ又∵AC ∥ＤE
∴△C ＱＰ∽△D ＱR ﻪﻭ∴
∵点R 为DE 的中点 ﻪ∴DR=R Ｅ
ﻪ∴综上:BP:P Ｑ:Q Ｒ＝3：1:２
3２．答案：证明：∵AD ⊥BC,DE ⊥AB ∴△ＡDB ∽△AE Ｄﻪﻭ∴
∴ＡD ²＝AE AB ﻪﻭ同理可证：AD ²=AF AC ﻪ∴AE ＡB ＝ＡF
AC
反比例函数典型例题
１、(2011•宁波)正方形的Ａ1Ｂ1P1P2顶点Ｐ1、P2
在反比例函数y ＝x 2
（x>0）的图象上，顶点A1、B1
分别在ｘ轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形
P2P3A2B2，顶点Ｐ３在反比例函数y=x 2
（x>0）的图象
上，顶点A2在ｘ轴的正半轴上，则P2点的坐标为___________,则点P ３的坐标为______＿＿__。

答案：P2(２,1) Ｐ２
(3+1,3-1）
２、已知关于ｘ的方程x ２+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3,且关于x 的方程(k-1）x2＋3x-2a=０有实根，且k 为正整数,正方形ＡBP1P2的顶点Ｐ1、Ｐ2在反比例
函数ｙ=x 1
k +（x>0）图象上，顶点A 、B
分别在ｘ轴和y
轴的正半轴上，求点P2的坐标．
答案：（2,１）或
(6,26
）
3、如图,正方形OABC 和正方形AE ＤF 各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形OABC 的边长为2. （1）求反比例函数的解析式;(２）求点D 的坐标.
答案:(1) ｙ=x 4
(2) (15+,1-5)
4、两个反比例函数ｙ=x 3,y=x 6
在第一象限内的图象
如图所示,点P1、Ｐ２在反比例函数图象上,过点P1作ｘ轴的平行线与过点Ｐ2作y 轴的平行线相交于点
N ，若点Ｎ(m ，n ）恰好在y=x 3
的图象上,则ＮP １与
ＮP2的乘积是____＿_。

答案：3
答案：３
（2007•泰安)已知三点P1（ｘ1，ｙ1），P2（x2，
y2),P3(1,-2)都在反比例函数y=x k
的图象上,若
如图,已知反比例函数ｙ=x 的图象上有点P ，过P 点
分别作x 轴和y 轴的垂线,垂足分别为A 、B ，使四边形ＯＡＰB 为正方形,又在反比例函数图象上有点P1,过点P1分别作B Ｐ和y 轴的垂线，垂足分别为Ａ１、B1,使四边形BA1Ｐ1B １为正方形,则点P1的坐标是＿_______。

答
案:⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛+21-5215， 在反比例函数ｙ=x 1
(x ＞0）的图象上,有一系列点P1、
P2、P3、…、P ｎ，若Ｐ１的横坐标为２，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为２．现分别过点P1、P2、Ｐ３、…、Ｐn 作ｘ轴与y 轴的垂线段,构成若干个长方形如图所示,将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S1、S2、S3、…、Sn ，则S １+Ｓ2+S3+…+S ２0１0=＿＿_＿____。

答案：1
如图，四边形ABCD 为正方形,点A 在x 轴上，点Ｂ在y
轴上，且ＯA ＝２，OB=4,反比例函数y ＝x k
(ｋ≠0)在第
一象限的图象经过正方形的顶点Ｄ． 求反比例函数的关系式;
将正方形AB ＣＤ沿ｘ轴向左平移____＿个单位长度时,点C 恰好落在反比例函数的图象上．
答案:(1)
x 12y =
（2）2
如图,已知△OP １A1、△A1Ｐ2A2、△A2P3A3、…均为等
腰直角三角形，直角顶点P1、Ｐ２、P ３、…在函数ｙ=x
4
（x>０）图象上,点Ａ1、A2、A3、…在ｘ轴的正半轴上，则点P ２01０的横坐标为＿____＿___＿_＿＿___。

答
案
：
2011220102+
两个反比例函数y=x 4,y ＝-x 8
的图象在第一象限,第
二象限如图，点P1、Ｐ2、P3…P201０在ｙ=x 4
的图
象上,它们的横坐标分别是有这样规律的一行数列１，3，5,７，９,１1,…,过点P1、P ２、P ３、…、
P201０分别作ｘ轴的平行线，与y=－x 8
的图象交点
依次是Q １、Q2、Q3、…、Q ２0１0,则点Ｑ２０10的
横坐标是＿＿__＿____＿____。

答案：-8038
如图所示,正方形O ＡBC,AD ＥF 的顶点Ａ，Ｄ,C 在坐标轴
上;点ＦAB 上，点B,E 在反比例函数y=
x 1
（x>0)的图象
上.
正方形ＭNPB 中心为原点O ，且NP ∥
B Ｍ,求正方形ＭNPB 面积．
求点E 的坐标.
答案:(1)正方形MNPB 面积=4×正方形ＯＡＢC 的面积＝
4×1×1＝4 (2)⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛+21-5215，
(２01１十堰)如图，平行四边形AOB Ｃ中，对角线交于点
E ，双曲线y ＝x k
(ｋ＞0）经过Ａ,Ｅ两点,若平行四边形
AOBC 的面积为2４,则ｋ=__＿_＿＿_＿。

答案：８
如图,梯形AO ＢC 中，对角线交于点E ，双曲线y=x k
（k
＞０)经过A 、E 两点，若ＡC:OB=1：3,梯形AOB Ｃ面积为24,则k ＝( )
7108 B 、235 Ｃ、465 D 、227
答案A
如图,已知点A 的坐标为（3,３）,AB 丄x 轴,垂足
为B ，连接OA,反比例函数ｙ＝x k
（k>０)的图象与线
段OA 、ＡB 分别交于点Ｃ、D ．若ＡＢ=3BD,以点C 为
圆心,CA 的45
倍的长为半径作圆,则该圆与x 轴的位
置关系是_＿＿＿＿___。

(填”相离”,“相切”或“相交“).
答案:相交
14、(2011•武汉)如图，▱ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别是
A （-1,０），
B （0，-２),顶点Ｃ、Ｄ在双曲线y=x k 上，
边ＡＤ交y 轴于点E,且四边形BC ＤＥ的面积是△AB Ｅ面积的5倍,则k=_＿_＿___。

答案:1２
解：如图,过C 、D 两点作x 轴的垂线,垂足为F 、G ，DG 交ＢC 于Ｍ点，过C 点作ＣＨ⊥DG ，垂足为Ｈ,ﻫ∵ABCD 是平行四边形,∴∠A ＢC=∠ADC,
∵B Ｏ∥D Ｇ，∴∠OB Ｃ＝∠G ＤE ，∴∠HDC=∠ABO,∴△ＣＤH ≌△ABO （AS Ａ)， ∴C Ｈ=ＡＯ=1,DH ＝OB=2,设C （m+1,n)，D （m ，n+2），则（m+1)n ＝ｍ（n+2)=k ，解得n ＝２ｍ，则D 的坐标是(m,2ｍ＋2),
设直线AD 解析式为y=ａx+b,将A 、D 两点坐标代入得{
,
①
0a 2②
2m b ma =+-+=+b
由①得:a ＝ｂ,代入②得：mb ＋b=2m+2,即b(m+1)＝２（m+1），解得ｂ＝２，∴ａ=b=2
∴y=2x+2,E(0,2）,BE ＝4,∴S △AB Ｅ＝21
×BE ×ＡO ＝2,
∵Ｓ四边形BCD Ｅ=５S △ＡＢE=5×21
×４×1=１0，∴S
△ABE+S 四边形BEDM=1０,即２+4×m=１0,解得m=2，∴n=２m ＝４，∴ｋ=(m+１）n=3×４＝12.ﻫ。