4.7(1)(2)简单的指数、对数方程
指数与对数方程的解法
指数与对数方程的解法指数与对数方程是数学中常见的问题，涉及指数函数和对数函数的运算与求解。
本文将介绍指数与对数方程的基本概念，并讨论它们的解法。
一、指数方程指数方程是形如a^x=b的方程，其中a为底数，x为未知数，b为指数函数的值。
解法：1. 对于指数方程a^x=b，可以采用取对数的方法来求解。
即，两边同时取以a为底的对数，得到x=loga(b)。
这里的对数表示以a为底b的对数。
2. 如果底数是e（自然对数的底），则指数方程可以简化为x=ln(b)。
这是因为以e为底的对数即为自然对数。
例题1：解方程2^x=8。
解：对数的底数取2，两边同时取以2为底的对数得到x=log2(8)。
计算得x=3。
例题2：解方程e^x=20。
解：底数是e，所以可以写成x=ln(20)。
计算得x≈3.00。
二、对数方程对数方程是形如loga(x)=b的方程，其中a为底数，x为未知数，b为对数函数的值。
解法：1. 对于对数方程loga(x)=b，可以采用指数化为算式的方法来求解。
即，将方程转化为指数函数的形式，即a^b=x。
2. 如果底数是e（自然对数的底），则对数方程可以简化为e^b=x。
这是因为以e为底的对数即为自然对数。
例题3：解方程log2(x)=3。
解：底数是2，按照指数化为算式的方法，可以得到2^3=x。
计算得x=8。
例题4：解方程loge(x)=4。
解：底数是e，所以可以写成e^4=x。
计算得x≈54.88。
总结：通过以上的解题方法，我们可以解决各种形式的指数与对数方程。
对于特殊的底数2和e，分别采用不同的求解方法。
在实际问题中，指数与对数方程有广泛的应用，尤其在科学、工程和经济等领域。
因此，熟练掌握这些解题方法对于数学学习和实际应用都具有重要意义。
【2000字】。
解指数与对数方程的常见方法与技巧
解指数与对数方程的常见方法与技巧指数和对数方程是数学中重要的概念和工具，广泛应用于各个领域。
解这类方程需要掌握一些常见的方法与技巧。
本文将介绍解指数与对数方程的常见方法与技巧，并提供具体的例子和步骤。
一、解指数方程的方法与技巧1. 对数法：对于形如a^x=b的指数方程，可以考虑将其转化为以底数a的对数形式来求解。
具体步骤如下：(1) 对等式两边取以底数a的对数，得到x=loga(b)。
(2) 利用对数的性质，求出x的值。
例如，解方程2^x=8：(1) 取以底数2的对数，得到x=log2(8)。
(2) 利用对数的性质，化简log2(8)=3，得到x=3。
2. 换底法：当指数方程中的底数无法直接求解时，可以利用换底公式将其转化为可求解的形式。
换底公式如下：loga(b)=logc(b)/logc(a)。
例如，解方程3^x=27：(1) 应用换底公式，将方程转化为log3(27)=log10(27)/log10(3)。
(2) 利用计算器或对数表计算出log10(27)和log10(3)的值，再代入公式计算log3(27)。
(3) 得到log3(27)=3，即x=3。
3. 对数的性质：对数具有一些重要的性质，例如乘法性质和幂性质等。
在解指数方程时，可以根据这些性质进行简化和计算。
例如，解方程4^x=32：(1) 可以将32分解为2的幂，即32=2^5。
(2) 将方程改写为(2^2)^x=2^5。
(3) 利用乘法性质，可以化简(2^2)^x=2^(2x)。
(4) 由幂性质，得到2x=5，解得x=2.5。
二、解对数方程的方法与技巧1. 对主对数方程的解法：主对数方程指以常用对数（以10为底的对数）为底数的方程。
求解主对数方程的常见方法如下：(1) 将方程转化为以主对数的指数形式。
(2) 利用指数与对数的性质，求解方程。
例如，求解方程log(2x)=log(8)：(1) 将方程转化为指数形式，即2x=8。
(2) 解得x=4。
4.7、4.8 指数方程和对数方程
指数方程和对数方程1、 指数方程与对数方程的基本形式 （１） 基本型()()log f x a ab f x b =⇔=（0a >，1a ≠，0b >）()()log b a b f x f x a =⇔=（0a >，1a ≠）（２） 同底型()()()()f x g x aaf xg x =⇔=（0a >，1a ≠）()()()()log log a a f x g x f x g x =⇔=（0a >，1a ≠）（３） 换元型()0x f a =或()log 0a f x =（0a >，1a ≠）2、 指数方程与对数方程的基本解法 例1、 解下列指数方程： （1）223380x x +--=；（2）31636281x x x⋅+=⋅；（3）21153x x+-=．例2、 解下列对数方程：（1）()()42log 2log 11x x -=--；（2）()223log 9log 4x x x ⋅=；（3）()()22log 95log 322xx-=-+．例3、 3lg 40x +=．例4、 已知关于x 的方程2212730x x a a --⋅-⋅+=有一个根为2，求实数a 的值和方程其余的根．例5、 试确定方程lg 2x x +=的实根的个数．例6、 若方程()4320xx m m +-⋅+=有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围．例7、 解关于x 的方程()2lg lg 1lg x x a --=．例8、 解关于x 的方程()242lg lg lg lg 25323x k x x x -+=-+-．例9、 已知0a >，1a ≠，试求使方程：()()222log log a a x ak x a -=-有解的k 的取值范围．一、选择题1、已知集合22312{|22},{|log (1)0}x x M x N x x =<=->，则M N ⋂=（ ）A.3(0,)2B.2(,2)3C.3(1,)2D.(0,1)2、已知不等式22log (2)log (23)a a x x x x -->-++在94x =时成立，则不等式的解集是（ ）A.（1，2）B.5(2,)2 C.5(1,)2D.（2，5）3、若1(0,)2x ∈时，不等式20x a x ->恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）。
指数对数运算公式
指数对数运算公式指数和对数运算是数学中常见的运算符号，它们在科学、工程和金融领域中都有广泛的应用。
本文将介绍指数和对数的基本概念、运算规则和常见的应用场景。
一、指数运算指数运算是指将一个数称为底数，另一个数称为指数或幂，然后求出底数的指数次幂的运算。
指数运算的基本形式可表示为：a^n，其中a为底数，n为指数。
1.指数的基本概念指数的作用是表示一个数的乘方运算。
当指数为正整数时，表示底数连乘若干次；当指数为负整数时，表示底数连除若干次；当指数为0时，表示底数的0次方等于1、例如，2^3=2×2×2=8，2^(-3)=1/(2×2×2)=1/8，2^0=12.指数运算的规则（1）底数相同，指数相加。
例如，2^3×2^4=2^(3+4)=2^7（2）指数相同，底数相乘。
例如，3^4×5^4=(3×5)^4=15^4（3）乘方的乘方，指数相乘。
例如，(2^3)^4=2^(3×4)=2^12（4）乘方的除法，指数相减。
例如，(3^5)/(3^3)=3^(5-3)=3^2（5）指数为负数，底数取倒数，指数变为正数。
例如，7^(-2)=1/(7^2)=1/493.特殊指数的性质（1）指数为1，结果为底数本身。
例如，5^1=5（2）指数为0，结果为1、例如，6^0=1（3）指数为1/2，表示开平方。
例如，√9=9^(1/2)=3二、对数运算对数运算是指将一个正数称为底数，另一个正数称为真数，然后求出真数等于底数的多少次幂的运算。
对数运算的基本形式可表示为：log_a N，其中a为底数，N为真数。
1.对数的基本概念对数的作用是表示幂运算的逆运算。
对于给定底数a和真数N，如果满足a^x=N，则x称为以a为底N的对数，记作log_a N。
例如，10^2=100，则log_10 100=22.常见底数的对数（1）以10为底的对数，称为常用对数，通常简写为lg。
高中数学中的指数与对数方程
高中数学中的指数与对数方程在高中数学学习中，指数与对数方程是一个重要的内容，它们在各个数学领域有着广泛的应用。
本文将介绍指数与对数方程的概念、性质及解题方法。
一、指数方程介绍指数方程是形如a^x=b的方程，其中a称为底数，x称为指数，b称为底数的幂。
解指数方程的一般思路是将底数相同的底数的幂方程转化为等式。
例如，对于指数方程2^x=8，我们可以发现8可以表示为2的幂，即8=2^3。
因此，原方程可以转化为2^x=2^3，进一步化简得到x=3。
二、对数方程介绍对数方程是形如loga(x)=b的方程，其中a为底数，x为真数，b为对数。
解对数方程的一般思路是将对数方程转化为指数方程。
以对数方程log2(x)=3为例，我们可以根据对数和指数的关系将其转化为指数方程2^3=x，最终得到x=8。
三、指数方程与对数方程的性质指数与对数方程具有以下性质：1. 指数方程中，底数a必须为正实数且不等于1；2. 对数方程中，底数a必须为正实数且不等于1，真数x必须大于0；3. 指数与对数方程都可以通过转化为指数方程或对数方程来求解；4. 两边都取对数，会改变等式的性质，检查解时需注意。
四、指数方程与对数方程的解题方法1. 对于简单的指数方程或对数方程，可以通过观察底数的幂与对数的关系来求解；2. 对于复杂的指数方程或对数方程，可以通过换底公式、对数运算法则、指数函数性质等方法进行变形和化简；3. 对于无法通过直接求解的指数方程或对数方程，可以考虑利用图像、数学建模等方法来求解。
五、实际应用举例指数与对数方程在实际应用中有着广泛的应用，例如金融领域中的复利计算、科学实验中的指数增长与衰减等。
通过学习指数与对数方程，我们可以更好地理解和应用这些实际问题。
六、总结指数与对数方程是高中数学中的重要内容，掌握其概念、性质和解题方法对于数学学习和实际应用都具有重要意义。
通过不断的练习与应用，我们可以提高解题能力和数学思维水平，为今后的学习和发展打下良好的基础。
指数对数运算公式
指数对数运算公式指数对数运算是数学中常用的运算方法之一，它涉及到指数和对数的概念。
指数是数学中用来表示幂运算的一种方法，而对数则是幂运算的逆运算。
在很多实际应用中，例如科学、工程、经济等领域中，指数对数运算是十分重要且常用的工具。
本文将详细介绍指数对数运算的概念、性质以及常用公式。
一、指数运算指数运算是一种用来表示乘方的运算。
其中，指数表示要乘的因子的个数，底数表示要相乘的因子。
指数以正整数为主，也可以是负整数或分数。
例如，3^4=3×3×3×3=81，其中3是底数，4是指数。
指数的基本性质：（设a和b是正实数，m和n是正整数）1.a^m×a^n=a^(m+n)2.a^m÷a^n=a^(m-n)3.(a^m)^n=a^(m×n)4.a^0=1（a≠0）5.a^(-m)=1/a^m6.a^(m/n)=n√(a^m)二、对数运算对数运算是指以一些数为底数，求一个数是以这个底数为多少次幂的运算。
对数的定义：设a>0,且a≠1，b>0,那么，以a为底数，b为真数的对数是一个数x，即a^x = b，记作x = log_a b。
对数的基本性质：（设a和b是正实数，m和n是正整数）1. log_a ( mn ) = log_a m +log_a n2. log_a ( m/n ) = log_a m - log_a n3. log_a ( m^n ) = n log_a m4. log_a 1 = 05. log_a a = 16. log_a (1/b) = -log_a b7. b^log_a c = c三、指数与对数的换底公式在实际问题中，我们经常会遇到需要计算不同底数之间的对数的情况，此时就需要运用换底公式。
设a，b，x为正实数，而且a≠1，b≠1，则换底公式如下：log_a b = log_c b / log_c a（1）乘方运算的性质a^0=1a^1=a（a≠0）（2）对数运算的性质log_a 1 = 0log_a a = 1（1）换底公式log_a b = log_c b / log_c a （2）常用对数的值log_10 1 = 0log_10 10 = 1log_10 100 = 2log_10 1000 = 3（1）指数为0的情况a^0=1（a≠0）（2）指数为1的情况a^1=a（a≠0）（3）不同底数条件下的指数运算a^m×a^n=a^(m+n)a^m÷a^n=a^(m-n)（1）对数的定义x = log_a b等价于 a^x = b（2）换底公式log_a b = log_c b / log_c a（3）常用对数的值log_10 1 = 0log_10 10 = 1log_10 100 = 2log_10 1000 = 3综上所述，指数对数运算是一种重要且常用的运算方法，在实际应用中具有广泛的用途。
指数与对数的计算知识点总结
指数与对数的计算知识点总结1、引言指数与对数是数学中重要的概念和运算方法，广泛应用于科学、工程、金融等领域。
掌握指数与对数的计算知识点对于解决实际问题和提高数学能力具有重要意义。
本文将对指数与对数的运算规则和常见应用进行总结和归纳。
2、指数运算2.1 指数的定义在数学中，指数是表示某个数的幂次方的表达方式。
例如a的n次方可以表示为a^n，其中a为底数，n为指数。
2.2 指数的运算规则（1）底数相同，指数相加：a^m * a^n = a^(m+n)（2）指数相同，底数相乘：a^m * b^m = (ab)^m（3）指数相同，底数相除：a^m / b^m = (a/b)^m（4）指数相减，底数相除：a^m / a^n = a^(m-n)（5）指数为0，结果为1：a^0 = 1（6）指数为1，结果为自身：a^1 = a3、对数运算3.1 对数的定义对数是指数的逆运算，描述了一个数用什么指数幂可以得到另一个数。
例如log_a(x) = y，表示a的y次方等于x。
3.2 常见的对数类型（1）自然对数：底数为常数e的对数，记作ln(x)，其中e约等于2.71828。
（2）常用对数：底数为10的对数，记作log(x)。
（3）二进制对数：底数为2的对数，常用于计算机科学中。
（4）其他底数的对数：根据实际需求，可以使用任意底数的对数。
3.3 对数的运算规则（1）对数与指数的关系：log_a(a^x) = x，即对数和指数可以互相抵消。
（2）对数的乘法：log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y)（3）对数的除法：log_a(x/y) = log_a(x) - log_a(y)（4）对数的幂运算：log_a(x^y) = y * log_a(x)4、指数和对数的应用4.1 科学计数法科学计数法是一种使用指数表示大数或小数的表示方法，常用于表示较大或较小的物理量、天文距离、化学反应等。
例如，1光年约等于9.461×10^15米。
指数对数概念及运算公式
指数对数概念及运算公式指数和对数是数学中常用的概念，它们在数学和科学领域中有着广泛的应用。
指数和对数运算是一对互逆运算，对数运算是指数运算的反向操作。
指数运算是将一个数（称为底数）乘以自身多次（次数称为指数）的运算。
表示为a^n，其中a为底数，n为指数。
指数有正、负、零三种不同的情况。
当n为正整数时，指数运算将底数乘以自身n次，例如2^3=2×2×2=8、当n为负整数时，指数运算表示底数的倒数乘以其自身的绝对值次数的运算，例如2^(-3)=1/(2×2×2)=1/8、当n为零时，任何数的零次幂等于1，例如2^0=1指数有一些基本的运算法则：1.a^m×a^n=a^(m+n)(底数相同，指数相加)2.(a^m)^n=a^(m×n)(指数相乘)3.(a×b)^n=a^n×b^n(底数相乘，指数不变)4.a^(-m)=1/a^m(指数为负，等于取倒数)对数是指数运算的逆运算。
对数的定义如下：log a x=y，其中x为底数，a为底数对应的指数，y为对数。
对数运算可以理解为根据给定底数所得的指数。
例如log 2 8=3，表示以2为底数，底数对应指数为3时的对数结果是8、对数运算的底数必须是正数且不能等于1对数运算有一些基本的运算法则：1. log a (xy) = log a x + log a y2. log a (x/y) = log a x - log a y3. log a (x^n) = n × log a x4. log a a = 15. log a 1 = 0指数运算和对数运算有着重要的关系，即指数和对数互为逆运算。
具体表现在以下几个方面：1. 如果a^x=b，则log a b=x。
即指数运算的结果可以用对数运算表示。
2. 如果log a b=x，则a^x=b。
即对数运算的结果可以用指数运算表示。
3. 如果a^x=y，则x=log a y。
上海新高中数学教材目录
精心整理高中高一（一）第一章集合和命题1集合1.1集合及其表示法1.2集合之间的关系1.3集合的运算2四种命题的形式1.4命题的形式及等价关系3充分条件与必要条件1.5充分条件，必要条件1.6子集与推出关系第二章不等式2.1不等式的基本性质2.2一元二次不等式的解法2.3其他不等式的解法2.4基本不等式及其应用*2.5不等式的证明第三章函数的基本性质3.1函数的概念3.2函数关系的建立3.3函数的运算3.4函数的基本性质第四章幂函数、指数函数和对数函数(上)1幂函数4.1幂函数的性质图像与性质2指函数4.2指数函数的图像与性质4.3借助计数器观察函数递增的快慢高一(二)第四章幂函数、指数函数和对数函数(下)3对数4.4对数概念及其运算4反函数4.5反函数的概念5对数函数4.6对数函数的图像与性质6指数方程和对数方程4.7简单的指数方程4.8简单的对数方程第五章三角比1任意角的三角比5.1任意角及其度量5.2任意角的三角比2三角恒等比5.3同角三角比的关系和诱导公式5.4两角和与差的余弦、正弦和正切3解斜三角形5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形第六章三角函数1三角函数的图像与性质6.1正弦函数与余弦函数的图像性质6.2正切函数的图像性质6.3函数y=Asin(wx+ψ)的图像、性质2反三角函数与最简三角方程6.4反三角函数6.5最简三角方程高二(一)第七章数列与数学归纳法1数列7.1数列7.1等差数列7.3等比数列2数学归纳法7.4数学归纳法7.5数学归纳法的应用7.6归纳——猜想——论证3数列的极限7.7数列的极限7.8无穷等比数列各项的和第八章平面向量的坐标表示8.1向量的坐标表示及其运算8.2向量的数量积8.3平面向量的分解定理8.4向量的应用第九章矩阵和行列式初步1矩阵9.1矩阵的概念9.2矩阵的运算2行列式9.3二阶行列式9.4三阶行列式第十章算法初步10.1算法的概念10.2程序框图*10.3计算机话语和算法程序高二（二）第11章坐标平面上的直线11.1直线的方程11.2直线的倾斜角和斜率11.3两条直线的位置关系11.4点到直线的距离第12章圆锥曲线12.1曲线和方程12.2圆的方程12.3椭圆的标准方程12.4椭圆的性质12.5双曲线的标准方程12.6双曲线的性质12.7抛物线的标准方程12.8抛物线的性质第13章复数13.1复数的概念13.2复数的坐标表示13.3复数的加法和减法13.4复数的乘法与除法13.5复数的平方根与立方根13.6实系数一元二次方程高三（一）第14章空间直线与平面14.1平面及其基本性质14.2空间直线与直线的位置关系14.3空间直线与平面的位置关系14.4空间平面与平面的位置关系第15章简单几何体1多面体15.1多面体的概念15.2多面体的直观图2旋转体15.3旋转体的概念3几何体的表面积、体积和球面距离15.4几何体的表面积15.5几何体的体积15.5球面的距离第16章排列组合与二项式定理16.1计数定理1——乘法定理16.2排列16.3计数定理2——加法定理16.4组合16.5二项式定理高三（二）第17章概率论初步17.1古典概率17.2频率概率第18章基本统计方法18.1总体和样本18.2抽样技术18.3统计估计18.4实例分析18.5概率统计实验高三（拓展&理科）专题一三角恒等变换1.1半角公式的应用1.2三角比的积化和差与和差化积专题二参数方程和极坐标方程1参数方程2.1曲线的参数方程2.2直线和圆锥曲线的参数方程2极坐标方程2.3极坐标系专题三空间向量及其应用3.1空间向量3.2空间向量的坐标表示3.3空间直线的方向向量和平面的法向量3.4空间向量在度量问题中的应用专题四概率论初步（续）4.1事件和概率4.2独立事件积的概率4.3随机变量和数学期望4.4正态分布*专题五线性回归5.1直接观察法5.2最小二乘法高三（拓展&文科、技艺）专题一线性规划1.1线性规划问题1.2线性规划的可行域1.3线性规划的解专题二优选与统筹1实验设计的若干方法2.1二分法2.20.618法2统筹规划2.3统筹规划专题三投影与画图3.1空间图形的平面图3.2轴测图3.3三视图专题四统计案例4.1抽样调查案例4.2假设检查案例*4.3列联表独立性检查案例专题五数学与文化艺术5.1数学与音乐5.2数学与美术*5.3数学与文学。
高考数学二轮复习 指数函数和对数函数
高考数学二轮复习 指数函数和对数函数一．知识整理： 基本概念及相关知识点：1、对数、对数的底数、真数：一般地，如果a （a >0，a ≠1）的b 次幂等于N ，就是a b＝N ，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记为log a N =b ．a 叫做对数的底数．N 叫做真数．负数和零没有对数．2、常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数．3、自然对数：以e 为底的对数叫自然对数，N 的自然对数log a N 简记作ln N ．4、对数的运算性质：如果a ＞0，a ≠1，M >0，N >0，那么（1）log a （MN ）=log a M ＋log a N ； （2）NMa log =log a M －log a N ； （3）log a M n=n log a M （n ∈R ）． 5、对数换底公式： bNN a a b log log log(a >0，a ≠1，b >0，b ≠1，N >0)6、指数函数：函数y =a x（a >0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量,函数的定义域是R ． 7、指数函数的图象与性质：a ＞1 0＜a ＜1图 像（1）定义域：R （2）值域：（0+∞）（3）过点（0，1），即x =0时，y =1 (4)在R 上是增函数（4）在R 上是减函数8、对数函数：函数y = log a x （a >0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0,+∞）． 9、对数函数的图象与性质：a >1 0＜a ＜1图 像性 质（1）定义域：（0，+∞） （2）值域：R（3）过点（1，0），即x ＝1时，y ＝0 (4)在（0，+∞）上是增函数（4）在（0，+∞）上是减函数10、指数方程与对数方程：在指数里含有未知数的方程叫做指数方程．在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程．它们都属于超越方程，一般不可用初等方法求解． 11、最简单的指数方程：xa ＝b (a ＞0,a ≠1,b ＞0)，它的解是x ＝a log b 12、最简单的对数方程：a log x ＝b (a ＞0,a ≠1)，它的解是x ＝ba 概念辨析： 1．指数函数(1) 指数函数的定义：函数y =a x叫做指数函数，其中a 是一个大于零且不等于1的常量．函数的定义域是实数集R ．在定义中，必须注意：①指数函数的形状，例如y =－2x，121+⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y 都不能认为是指数函数，它们都是有关指数函数的复合函数；②指数函数的底在应用时的范围；③指数函数的定义域在求复合函数定义域的应用．(2) 在函数y =a x中规定底数a >0且a ≠1的理由：如果a =0，则当x >0时，a x恒等于0；当x ≤0时，a x无意义． 如果a <0，比如y =(－4)x ，这时对于41=x ，21=x ，等等，在实数范围内，函数值不存在． 如果a =1，y =1x=1是一个常量，对它就没有研究的必要．为了避免上述情况，所以规定底数a >0且a ≠1．(3) 指数函数y =a x在其底数a >1及0<a <1这两种情况下图象特征和性质如下：底数a >1 0<a <1图象xyOy=1y=a x (a>1)xyOy=1y=a x (0<a<1)性质①定义域 (－∞，+∞)②值域 (0，+∞)．图象都位于x 轴上方且以x 轴为渐近线函数值的分布情况 ③当时x =0，y =1．图象都经过点(0，1) ．④当x >0时，y >1当x <0时，0<y <1 ④当x >0时，0<y <1 当x<0时，y >1单调性⑤在(－∞，+∞)上是增函数⑤在(－∞，+∞)上是减函数注：① 注意根据图象记忆和应用性质：② 性质④可表述为：若(a －1)x >0，则a x>1；若(a －1)x <0，则0<a x<1． ③ 性质③实际上是性质④与性质②的推论． 2．对数(1) 对数的定义：如果a (a >0且a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b=N ，那么数b 就叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，log a N 也叫做对数式．(2) 指数式与对数式的互化a b =N b =log a N (a >0且a ≠1，N >0)(3) 对数恒等式：N a Na =log (a >0，a ≠1，N >0)(4) 对数的性质：① 负数和零没有对数． ② 1的对数是零，即log a 1=0． ③ 底的对数等于1，即log a a =1． (5) 对数运算法则(a >0且a ≠1，M >0，N >0)① log a (MN )= log a M +log a N ② N M NMa a alog log log -=③ M n M a na log log =(n ∈R ) ④M nM a nalog 1log =(n ∈R ，n ≠0) (6) 对数换底公式：bNN a a b log log log =(a >0，a ≠1，b >0，b ≠1，N >0)推论：ab b a log 1log =b mnb a n a m log log =(7) 常用对数与自然对数．① 常用对数既是以10为底的对数，简记为lg N (N >0)．② 自然对数即是以无理数e =2.71828…为底的对数，简记为ln N (N >0)． (8)对可化为形如)(x f a＝)(x g a(a ＞0,a ≠1)的指数方程，可转化为它的同解方程f (x )＝g (x )求解；因为当且仅当幂指数相等时同底的幂相等．而对可化为形如a log f (x )＝ a log g (x )(a ＞0,a ≠1)的对数方程，在转化为方程f (x )＝g (x )求解时，必须把所得的解代回原方程检验；因为从前者变为后者时，x 的取值范围可能扩大，有可能产生增根．某些指数方程与对数方程可以分别化为关于xa 与a log x 的可解方程，这时可用换元法先求出xa 与a log x 的值，再求x 的值；特别对形如x a2＋b ·xa ＋c ＝0，可用换元法化为二次方程，先求出xa 或a log x ，再求x ．但解对数方程时，始终要注意变形的同解性． 二．课堂练习：1．设a ，b ，c 都是正数，且3a=4b =6c ，那么 [ ]2．已知1＜x ＜d ， 令a=(x d log )2， b=2log x d ， c=()x d d log log ，则[ ]．A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b3．已知y=loga(2-ax)在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 [ ]．A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(0，2)D ．(2，+∞)4 定义在(－∞,+∞)上的任意函数f (x )都可以表示成一个奇函数g (x )和一个偶函数h (x )之和，如果f (x )=lg(10x+1),其中x ∈(－∞,+∞),那么( )A g (x )=x , h (x )=lg(10x +10－x+2)B g (x )=21［lg(10x +1)+x ］,h (x )= 21［lg(10x+1)－x ］ C g (x )=2x ,h (x )=lg(10x +1)－2x D g (x )=－2x ,h (x )=lg(10x+1)+2x5 当a >1时，函数y =log a x 和y =(1－a )x 的图象只可能是( )A1oyx B1oyx C1oy x D1oyx6．若函数 a x f x+-=131)(（a ≠0）是奇函数，则满足65)(=x f 的x 的取值集合为（ ）． (A) { log 32 } (B) { 1 } (C) {2 log 32 }(D) φ７．已知函数f ( x )的图象关于坐标原点成中心对称图形，且x < 0时，xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=31)(，那么⎪⎭⎫⎝⎛21f 的值等于（ ）． (A)33(B) 3- (C) 3(D) 33-８．若2145-⎪⎭⎫⎝⎛=m ，3156-⎪⎭⎫ ⎝⎛=n ， 2156-⎪⎭⎫⎝⎛=p ，则（ ）． (A) m < p < n (B) n < m < p (C) p < m < n(D) n < p < m9．函数y = log 2x 与)4(log 21x y =的图象（ ）．（A ）关于直线x = 1对称 （B ）关于直线y = x 对称 （C ）关于直线y =－1对称 （D ）关于直线y = 1对称10．函数5log log 2241++⎪⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 在区间[2，4]上的最大值是( )(A) 4(B) 7(C)423 (D)4111．已知 -1≤x ≤2，则函数f(x)=3+2·3x+1-9x 的最大值为 最小值为 ； 12．方程 9－x－2·31－x= 27的解集为_____________________________．13．方程 log x (3x +4)=2的解集为__________________________．14．函数⎪⎭⎫⎝⎛-=12log 2x y 的反函数是________． 15．已知函数f (x )=log a (2－ax )在[0，1]上是x 的减函数，则实数a 的取值范围是____________． 16．方程log 2(9－2x)=3－x 的解集是__________． 17．已知函数()()0,1,022log <≠>-+=b a a bx bx x f a(1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由； (3)指出函数f(x)的单调区间； (4)求函数f(x)的反函数f-1(x)．18．设10<<a ，函数()33log +-=x x x f a的定义域为[]n m ,，值域为[()1log -n a ， ()1log -m a ]． (1)求证： m ＞3；(2)求a 的取值范围．19．已知函数f(x)=lg(ax-b x )(a ＞1＞b ＞0)．(1)求y=f(x)的定义域；(2)在函数y=f(x)的图象上是否存在不同的两点，使过这两点的直线平行于x 轴．20．函数f(x)=x a log 在区间[2，+∞)上总有|f(x)|＞1成立，求实数a 的取值范围．21．已知函数f(x)=()12log 22++x ax ． (1)若f(x)的定义域是R ，求实数a 的取值范围； (2)若f(x)的值域为R ，求实数a 的取值范围．22．已知函数()()()1,01log 2≠>--=a a x x x f a(1)求f(x)的定义域； (2)指出f(x)的单调性，并证明你的结论； (3)求满足f(x)＜2的x 的取值范围．三．课后练习：1．设5x=1.5，(0.5)y =0.75，则x ，y 满足 [ ]． A ．x ＞0，y ＞0 B ．x ＜0，y ＜0 C ．x ＞0，y ＜0 D ．x ＜0，y ＞0 2．若loga2＜logb2＜0，则正确的大小关系是 [ ]． A ．0＜a ＜b ＜1 B ．0＜b ＜a ＜1 C ．a ＞b ＞1 D ．b ＞a ＞1 3．如果0＜a ＜1，且x ＞y ＞1，则下列不等式中正确的是 [ ]．A ．a x ＜a yB ．x a log ＞y a logC ．x a -＞y a -D ．xa ＞y a4．函数()x f 的定义域是[]1,1-，那么函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x f 21log 的定义域是 [ ]A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21B ．(0，2]C ．[2，+∞)D ．⎥⎦⎤⎝⎛21,05．若0＜a ＜1， 则函数f(x)=loga(x+4)的图象一定不通过 [ ]． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．使函数y=log2(x2-2|x|)的单调递增的区间是 [ ]． A ．(-∞，-2) B ．(0，1) C ．(0，2) D ．(2，+∞)7．已知logab=-2，那么 a+b 的最小值是 [ ]．A ．2233B ．2323C ．233D ．3228．函数5log log 21241+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 在区间[]4,2上的最小值是 [ ]．A ．4B ．8C ．423 D ．419．已知奇函数f(x)满足f(x-1)=f(x+2)对任意x ∈R 成立，并且当()1,0∈x 时，()13-=xx f ，那么⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36log 31f 的值为 [ ] A ．31-B ．31C ．34D ．34- 10．函数f(x)=loga(a-ax)(a ＞0，a ≠1)的定义域为_____；值域为_____．11．若函数()1211-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+x x f 的反函数为()x g ，则()1+x g 的解析式为12．设12>>>a b a ，则a b abb a blog ,log ,log 从小到大的顺序是 13．已知0＜a ＜1，那么x 的方程x a =|x a log |的实根的个数是______．14．已知函数()x x f 3log 2+=，x ∈[1，9]，则()[]()22x f x f y +=的最大值是______．15．已知函数()()a ax x x f 3log 221+-=在区间[)+∞,2上是减函数，则实数a 的取值范围是______．17．已知实数p ，q 满足()()()1lg 2lg log lg 3++-=q q p ，试求实数p 的取值范围．18．已知函数f(x)=ax 在闭区间[-2，2]上的函数值总小于2，求实数a 的取值范围．19．设a ∈R ，试讨论关于x 的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数．20．已知函数()()()x p x x x x f -+-+-+=222log 1log 11log (1)求f(x)的定义域；(2)求f(x)的值域．21．设0＜a ＜1，x 和y 满足3log log 3log =-+y a x x x a ．如果y 有最大值42，求这时a 和x 的值.答案提示:课堂练习:1.B2.D3.B4 解析 由题意 g (x )+h (x )=lg(10x+1) ①又g (－x )+h (－x )=lg(10－x +1) 即－g (x )+h (x )=lg(10－x+1) ②由①②得 g (x )=2x ,h (x )=lg(10x+1)－2x 答案 C 5 解析 当a >1时，函数y =log a x 的图象只能在A 和C 中选，又a >1时，y =(1－a )x 为减函数 答案 B6． C ．由 f ( x )是奇函数，故f (－1)=－f ( 1 )，即⎪⎭⎫⎝⎛+--=+--a a 1311311，解得 21=a ．于是21131)(+-=x x f ． 65)(=x f ，即6521131=+-x，化简得 3x= 4 ．因此 x =2 log 32 ． ７．B ． f ( x )为奇函数． 331212121-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f ．８．A ．由函数 xy ⎪⎭⎫⎝⎛=56在R 上是增函数，可得 n > p ，从而否定（B ）、（D ）．又函数 21-=xy 在（0，+∞）上是减函数，可得m < p ．９．C ．在函数y = log 2x 图象上取一点P （1，0）．可求得P 点关于直线x = 1的对称点为Q 1（1，0），P 点关于直线y = x 的对称点为Q 2（0，1），P 点关于直线y =－1的对称点为Q 3（1，－2），P 点关于直线y = 1的对称点为Q 4（1，2）．经验证，其中只有Q 3点在函数)4(log 21x y =的图象上．10.D 11. 当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即 x=2时，f(x)取最小值-24． 12．{ －2 }．方程可化为 (3－x )2－6 (3－x)－27 = 0 ．13．{ 4 } ．解：x 2 = 3x + 4，并注意 x > 0，x ≠ 1． 14．y =2x +1+2 15．(1，2) 16．{0，3}．17. 所以f(x)的定义域为{x|x ＜2b 或x ＞-2b}．(2)对f(x)定义域内任意x ，有所以f(x)为奇函数．当a＞1时在(0，+∞)上是增函数；当0＜a＜1时，在(0，+∞)上是减函数．它的单调性直观观察可得，如图2，于是有当a＞1时，f(x)在(-∞，2b)上，在(-2b，+∞)上都是增函数，当0＜a＜1时，f(x)在(-∞，2b)上，在(-2b，+∞)上都是减函数．18.n＞m，又由函数值域可知n＞1，m＞1，所以n＞m＞3，故m＞3得证．y=logau为减函数，所以y=f(x)在[m，n]上为减函数，从而f(x)的值域为[f(n)，ax2+(2a-1)x+3-3a=019.分析此题第(2)问是从几何角度探索函数图象的特征，但此函数图象并不会画，也不易画出，因此应转化为代数角度探索该函数相关的性质．(0，+∞)．(2)先证f(x)在(0， +∞)上是增函数．任取0＜x1＜x2，由a＞1＞b＞0，知ax1＜ax2，bx1＞bx2，所以0＜ax1-bx1＜ax2-bx2．因此 lg(ax1-bx1)＜lg(ax2-bx2)，即f(x1)＜f(x2)．所以f(x)在(0，+∞)上是增函数．假设函数y=f(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使直线AB平行于x轴，则x1≠x2，y1=y2．这与f(x)在(0，+∞)上是增函数(y1=y2则x1=x2)相矛盾．故在函数f(x)的图象上不存在不同的两点，使过这两点的直线平行于x轴．20.解依题意f(x)=logax在[2，+∞)上总有|f(x)|＞1成立|logax|＞1对任意x∈[2，+∞)都成立logax＞1或logax＜-1对任x∈[2，+∞)总成立y=logax在[2，+∞)上的最小值大于1或y=logax在[2，+∞)的最大值小于-1．而函数y=logax(x≥2)只有a＞1有最小值loga2，只有当0＜a＜1时，有最大值loga2，于是有21.当a=0时，不等式化为2x+1＞0，显然不合题意；综上可得，当a＞1时，f(x) 的定义域是R．当a=0时，函数为u=2x+1，值域为R．符合题意；解得0＜a≤1．综上所述当0≤a≤1时，f(x)的值域为R．课后作业:1．A 2．B 3．C 4．A 5．A 6．D 7．A 8．C 9．A10．a＞1时(-∞，1)，0＜a＜1时，(1，+∞)；a＞1时(-∞，1)，0＜a＜1时，(1，+∞)．11．()12log 2-+-x 12．b a aba b blog log log << 13．2 14．13 15．-4＜a ≤420．(1)(1，p)；(2)当p ＞3时，f(x)的值域为(-∞，2log2(p+1)-2]；当1＜p ≤3时，f(x)的值域为(-∞，1+log2(p-1))。
指数与对数知识点总结
指数与对数知识点总结一、指数（一）指数的定义指数是数学中的一个重要概念，表示一个数自乘若干次的形式。
一般地，对于正整数 n，aⁿ表示 n 个 a 相乘，即aⁿ ＝ a × a ×× a（n 个 a）。
（二）指数的运算性质1、 aᵐ×aⁿ ＝ aᵐ⁺ⁿ（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）例如：2³×2²＝ 2³⁺²＝ 2⁵＝ 322、（aᵐ）ⁿ ＝ aᵐⁿ （幂的乘方，底数不变，指数相乘）比如：（2³）²＝ 2³×²＝ 2⁶＝ 643、（ab）ⁿ ＝aⁿbⁿ （积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）例如：（2×3）²＝ 2²×3²＝ 4×9 ＝ 364、 aᵐ÷aⁿ ＝ aᵐ⁻ⁿ（a ≠ 0，m ＞ n，同底数幂相除，底数不变，指数相减）比如：2⁵÷2³＝ 2⁵⁻³＝ 2²＝ 4（三）指数函数1、定义：一般地，函数 y ＝aˣ（a ＞ 0 且a ≠ 1）叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 R。
2、图像特征：当 a ＞ 1 时，函数图像单调递增，过点（0，1）。
当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数图像单调递减，过点（0，1）。
（四）指数方程形如aˣ ＝ b 的方程，其解法通常是将其转化为对数形式求解。
二、对数（一）对数的定义如果aˣ ＝ N（a ＞ 0 且a ≠ 1），那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x ＝logₐN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
（二）对数的运算性质1、logₐ(MN) ＝logₐM ＋logₐN （正数积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和）例如：log₂(4×8) ＝ log₂4 ＋ log₂8 ＝ 2 ＋ 3 ＝ 52、logₐ(M/N) ＝logₐM logₐN （正数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数）比如：log₃(9/3) ＝ log₃9 log₃3 ＝ 2 1 ＝ 13、logₐMⁿ ＝nlogₐM （幂的对数等于幂指数乘以底数的对数）例如：log₅2⁵＝ 5log₅2（三）换底公式logₐb ＝logₑb ／logₑa （其中 e 为自然对数的底数，约等于 2718）（四）常用对数与自然对数1、常用对数：以 10 为底的对数叫做常用对数，简记为 lgN。
4.7简单的指数方程
测得湖南长沙马王堆汉墓女尸中14C的残余 量约占原始量的76.7%，试计算马王堆古墓 的年代(精确到100年)．
故原方程的解为 x 0 或 x 2 解毕
一、指数方程 指数中含有未知数的方程叫做指数方程, 这类方程又叫做超越方程，一般没有求解公式.
一般地，假设f (x),g(x) 为含有未知数x 的表达式
(1) af (x) b f(x)logab
(2) af(x) ag(x)f(x)g(x)
(3) af(x) bg(x) f(x )lg a g (x )lg b
4 5
课堂自测
2.解以下指数方程：
(1) 4x62x160
x3
(3) 9x56x4x 10
lo g 3 4 0
2
1 3x
(2)
3
1 3x
x 1
例、 1 设mR,关于x的方 : 程 32x 1 (m1)(3x1 1)(m3)3x 0 有两个不同的实求数实 根数 ，m的取值范
解：原方程可化为：
第四章 幂函数、指数函数和对数函数
4.6.2 对数函数的图像与性质
4.7 简洁的指数方程
一、指数方程
指数中含有未知数的方程叫做指数方程, 这类方程又叫做超越方程，一般没有求解公式. 例1.解以下指数方程：
(1) 52x3 2 (2) 22x 2x23 (3) 3x122x1 解: (1) 2x3log52x3212log52 (2) 2 2 x 2 x 2 3 2 x x2 3x1,3 (3) 3 x 1 2 2 x 1 ( x 1 ) l g 3 ( 2 x 1 ) l g 2
3 32x2m3x (m1)0 令t3x 0
0 (2 m )2 1(m 2 1 ) 0
指数与对数方程的解法
指数与对数方程的解法指数方程和对数方程是高中数学中重要的概念和解题方法。
在解这两类方程时，我们需要运用一些特定的解法和技巧。
本文将介绍指数方程和对数方程的基本概念，并详细探讨它们的解法。
一、指数方程的解法指数方程是形如a^x=b的方程，其中a和b为已知数，x为未知数。
下面将介绍两种常见的指数方程的解法。
1. 对数法当指数方程中的底数难以计算、运算复杂或难以求得整数解时，可采用对数法解方程。
对数法的基本思想是将指数方程转化为对数方程，从而求解。
具体步骤如下：Step 1: 将指数方程a^x=b转化为以底数a的对数方程，即x=loga b。
Step 2: 求出对数方程的解x。
Step 3: 检验解，即将解代入原方程，验证两边是否相等。
2. 特殊底数法当指数方程中的底数为特殊底数（如2、10或e）时，可以采用特殊底数法解方程。
这里以特殊底数2为例介绍解法。
Case 1: 底数为2的指数方程当底数为2时，可以通过奇偶性判断方程的解。
Step 1: 先观察b的值，若b为0，则方程a^x=0无解；若b为正数，则方程a^x=b存在解。
Step 2: 将底数2进行化简，得到a^x=2^y。
Step 3: 通过奇偶性判断方程的解。
若y为偶数，则方程有正解和负解；若y为奇数，则方程仅有正解。
Case 2: 底数为10的指数方程当底数为10时，可以利用对数的换底公式化简方程。
Step 1: 将指数方程a^x=b转化为以底数10的对数方程，即x=logb/loga。
Step 2: 求得对数方程的解x。
Step 3: 验证解的正确性。
二、对数方程的解法对数方程是形如loga x=b的方程，其中a为底数，b为真数，x为未知数。
下面我们将介绍对数方程的两种常见解法。
1. 变换法变换法的关键是将对数方程转化为指数方程，从而求解。
Step 1: 根据对数的定义，将对数方程loga x=b转化为指数方程a^b=x。
Step 2: 求得指数方程的解x。
高一数学上：4.7《简单的指数方程》教案(2)(沪教版)
4.7 简单的指数方程一．教学内容分析本节内容是在学生学习了函数的基本性质，又研究了几个基本的初等函数之后学习的内容.指数方程是一种超越方程，以学生目前的知识只能解决一些常规类型的并且是简单的指数方程.因此这部分内容的学习，一是要求学生掌握简单的指数方程的解法，主要有换元法和取对数法，将指数方程转化为代数方程，利用已有的知识来解决问题，还有是利用指数函数的图像与性质来解决问题，二是要使学生感悟其中的等价转化、数形结合、观察论证、函数与方程等重要的数学思想，使学生学会研究问题的方法，学会学习. 二．教学目标设计1. 理解指数方程的概念，能求解简单的指数方程，能应用所学知识解决简单的实际问题2. 通过回顾旧知、自主探究、合作交流，掌握简单的指数方程的基本解法，从中感悟等价转化、数形结合、观察论证、函数与方程等重要的数学思想，逐步形成解决问题的思维模式，提高学习能力，改变学习方式.三．教学重点及难点重点：指数方程的概念、简单的指数方程的解法.难点：感悟等价转化、数形结合、观察论证、函数与方程等数学思想与方法，学会研究问题的方法.四．教学用具准备常规教学用具五．教学流程设计实例引入指数方程的概念解法转化转化换元法、取对数法数形结合、等价转化、观察论证等方法巩固与深化六．教学过程设计 一．情景引入 1．思考：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%，问：假设要使剩留量为原来的一半，约须经过多少年？ 2．回顾：方程的概念、已经学过有哪些方程.3．讨论：引例中的方程有何特点，该如何给指数方程下一个定义. 二．学习新课 1．概念辨析指数里含有未知数的等式叫做指数方程思考：方程：32=x ，方程：0273=-x，方程：5)1(=+xx ，方程：x x 32=，方程：0693=+-x x x 中，哪些是指数方程？2．例题分析由一元一次方程：032=-x ，我们将未知数x 移到2的指数位置上，得到：32=x，这是一个最简单的指数方程，我们就从最简单的指数方程开始，来研究简单的指数方程的一些基本解法 例1． 解方程：32=x解：思路一，要解出x ，可以利用指对数互换得：3log 2=x思路二，要解出x ，即要把x “拉下来〞，可以考虑在方程两边取以2为底的对数得：3log 2log 22=x ，利用对数运算性质得：3log 2=x思路三，可以考虑利用同底的指数幂相等，那么它们的幂指数相等，化同底，由对数中的恒等式得：3log 222=x，得：3log 2=x由学生总结解题的方法，并解决引例中的问题老师指出：解决这类方程的三种思路中，都是等价转化的思想，其实质是利用对数的意义把在指数位置上的变量“拉下来〞，从而解决问题，因此这类方程的解法可以归类为“取对数法〞.巩固练习：解方程：〔1〕339=x〔2〕11235-+=x x解：〔1〕原方程的解为：43=x 〔可用上例中的方法解决问题，解略〕 解：〔2〕两边取以3为底的对数〔也可以5为底或以10为底〕得：0)5log 1)(1(5log )1(15log 3log 33213132=--+⇒+=-⇒=+-x x x x x x得原方程的解为：5log 113+=-=x x 或[说明] 这个练习，是让学生熟悉上述例1中的基本思路，学生讨论解决，老师评讲.例2． 解方程：0162341=-⋅-+x x解：〔让学生观察方程的结构特点，注意到xx42与之间的关系，通过换元，将此方程化为一元二次方程来解决问题.这里要注意换元后新变量的范围〕令280166022-==⇒=--⇒>=t t t t t x或〔舍〕，即3282==x，得原方程的解为：3=x 由学生总结解题方法强调：在解指数方程时，换元法是很重要的一种方法，它可以使复杂的方程化为你所熟悉的方程去解决.巩固练习：解方程：25055112=++-x x解：原方程化为：250555)5(2=⋅+x x ，令025055052=-+⇒>=t t t x，得：（舍）或5025-==t t ，即252552=⇒==x x ，故原方程的解为：2=x .〔学生练习，老师评讲〕 3．问题拓展引导学生讨论、总结上述指数方程的几种基本类型及解法 〔1〕)0,10(log )()(>≠>=⇔=b a a b x f b a a x f 且 〔2〕)10)(()()()(≠>=⇔=a a x g x f a a x g x f 且〔3〕)10,10(lg )(lg )()()(≠>≠>⋅=⋅⇔=b b a a b x g a x f b a x g x f 且且〔一般可取常用对数〕〔4〕)10(0)(≠>=a a a f x 且，换元，令t a x=，注意新变量范围，将原方程化为关于t 的代数方程，解出t ，解出x[说明] 前三类方程都可以取对数解决，第四类是换元法解决，注意解法中等价转化的思想进一步拓展例3． 解方程：xxx13512=+解：引导学生观察得出方程有一个根：2=x ，问；还有其它的根吗？ 我们可以将原方程化为：1)135()1312(=+x x ，令1)135()1312()(-+=x x x f ，由指数函数的性质知：函数),()(+∞-∞在x f 上单调递减，那么当2>x 时，0)2()(=<f x f ，即原方程中没有大于2的根，同样，当2<x 时，0)2()(=>f x f ，即原方程中没有小于2的根，得原方程的解为：2=x老师总结：此题的思路是用函数与方程的思想，将方程问题转化为函数问题，利用函数的性质，通过观察论证解决问题.函数与方程有必然的联系，方程0)(=x f 的解就是函数)(x f y =图像与x 轴交点的横坐标，也可将函数)(x f y =看作二元方程0)(=-y x f ，通过方程来研究函数的性质，因此，函数与方程的思想很重要.例4．方程：22+-=x x，〔1〕判断方程解的个数〔2〕求方程近似解〔精确到0.1〕解：〔此题可以用数形结合思想，分别画出函数22+-==x y y x 与的图像，将方程解的个数问题转化为两个函数图像交点的个数问题，而方程近似解，那么可根据图像判断出解的大致范围，用二分法得出近似解〕（1） 令22+-==x y y x ，，如图，得交点个数为1个，故方程的解的个数为1个（2） 由图中可判断方程的解)1,0(∈x ，用二分法得：5.0≈x引导学生总结上述两例的解法及其蕴涵着的重要的数学思想三．课堂小结引导学生总结，老师补充 〔1〕指数方程的定义〔2〕简单的指数方程的基本类型及其解法〔3〕解指数方程过程中蕴涵的等价转化、数形结合、观察论证、函数与方程等重要的数学思想与方法 四．作业布置1．自习书上例3〔简单的应用〕 2．书上习题4.7中的1，2，3，4 3．思考题：〔1〕解方程：xxx543=+〔2〕求方程：1)21(-=x x的近似解〔精确到0.1〕七．教学设计说明本节课是《简单的指数方程》的教学，指数方程本身是一种超越方程，在目前中学阶段，以学生的知识水平，只能掌握一些基本类型的、简单的指数方程的解法，但其中蕴涵着的一些重要的数学思想与方法、研究问题的方法是要求学生有所体会和感悟的.因为指数方程也是根据实际问题需要而引入的，所以以实际问题引入较为合适，并能使学生感到学习这部分知识的必要性.由于学生从没有学习过指数方程，所以应从最简单的指数方程开始，引导学生探讨一些基本解法，引导学生体会其中等价转化的思想.由于指数方程的基本类型及解法不止一种，所以课上我是将“巩固练习〞这一部分内容分别穿插在各种类型讲解后进行，最后再进行拓展，进行归纳总结其基本类型及解法，这样可能更有利于学生掌握这些解法.方程与函数有着紧密的联系，因此，在进一步拓展中，我补充了例题3，目的是让学生感悟方程与函数的思想及观察论证的思想.有些简单的指数方程，代数方法解决不了，那么应该想到数形结合的思想方法，故我补充了例题4，目的是让学生体到：用数形结合的思想方法，可通过函数图像，将方程解的问题转化为函数图像的交点问题来解决.关于本节课的教学，应该让学生掌握的是基本类型的基本解法，要让学生感悟重要的数学思想与方法，技巧性方面应淡化.。
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定义：我们把指数里含有未知数的方程叫做指数方程 定义：我们把对数里含有未知数的方程叫做对数方程
例 1．解关于 x 的方程： （1） 2 （2） 2 （3） 4
x
x 0有
x
个实数根; 个实数根; 个实数根;
1 2 （2）方程 x 2 x 0有 2
（3）方程 log 2 x
x 4有
2
对于不能用初等方法求解的指、 对数方程,可通过图象判断解的 个数及通过二分法求近似解
例 5． （1） 若 关 于 x 的 方 程 4
lg x
x
x
x
1000 x
2
简单的对数方程
一、直接型： loga f x b .
二、同底型： loga f x loga g x
三、换元型：
.
A loga f x B loga f x C 0
2
.
例 4． （1）方程 2
（1） lg （3） log3 x （4） x
lg x 2
2
2
log9 3x 2 ；
1000 ；
练习： （1） 2 logx 25 3 log25 x 1；
6 2 4 0； （3） 2 log2 x 1 log2 x 1；
（2）9 （4） x
思考： “a “x
m 2
49
a n ”是“ m n”的
条件； 条件；
3”是“ x 3 ”的
简单的指数方程
一、直接型： a
f x
b
.a 0, a 1
二、同底型： a
三、换元型：
f x
a
gx
. a 0, a 1
A a
x 2
B a C 0
（4）5
x
3
4
3
x
练习：解方程
x 1
2x
x
3 2
x
x 1
16 0
x 1
64； 25 1 x （2）5 ； 2 x x 2 （3） 2 2 3；
（1） 4 （4） 4 （5） 7
x
2x
5 x （5）9 4 6 2
x
92 8 0
x
3 x
说明： 本系列课件，经多次使用，修改，其中有部分 来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。 为了一个课件，我们仔细研磨； 为了一个习题，我们精挑细选； 为了一点进步，我们竭尽全力； 没有更好，只有更好！ 制作水平有限，错误难免，请多指教： 28275061@
第四章 幂、指、对、函数
简单的指数、对数方程
x
. a 0, a 1
四、取对数型： f x gx
a
b
. a 0, a 1; b 0, b 1
例 2．解下列关于 x 的方程： （1） log2 （3） lg( x
x3
2
（2） lg( x 1) 1
3) lg( 3 x 1) （4） lg x lg x 2 lg x 1 1
思考： “ loga m loga n”是“ m n”的 条件；
练习：解下列方程 （1） lg x （2） lg （3） lg
2 2
4；
x 2 lg 6 x x ； （4） loga x 1 2, a 0, a 1；
（5） lg 2 x lg 3 x lg 12 ；
x
a 1 2 1 0
x
有两个不相等的实数解，求实数 a 的取值 范围;
（2）若关于 x 的方程
lg x 1 lg 3 x lg a x 有两个
不相等的实数解，求实数 a 的取值范围;
解方程 log x log 9 3x 2
2 3
解方程2 log x 25 3 log 25 x 1
x
x 4 2； （7） log3 log4 x 0；
（6） lg
2
x
（8） log2 x 2 log4 x log8 x 7
例 3．解下列关于 x 的方程：
x 5 lg x 6； （2） 2 log4 x 2 logx 4 5 ；