微分概念及其运算

微分概念及其运算
§2微分概念及其运算
设y=f(x)在x点可导，即下面的极限存在：
∆yf(x+∆x)-f(x)f'(x)＝li＝lim∆x→0∆x→0∆x∆x
因此∆y＝f'(x)＋α，其中α→0（∆x→0），∆x
)x+α∆x=f'(x∆)x+o(∆x)∆x→0于是∆y＝f'(x∆，
（函数的增量∆y=（∆x的线性函数）+o(∆x)）
物理意义：如果把y=f(x)视作时间x时所走到的路程，∆x时间内所走到的路程∆y
=以匀速f'(x)运动所走过的路程f'(x)∆x
+因为加速度的促进作用而产生的额外路程o(∆x)
定义4.2设y=f(x)在(a,b)有定义，如果对给定的x∈(a,b)，有∆y＝f(x+∆x)－f(x)＝a∆x＋o(∆x)，(∆x→0)其中a与∆x无关，则称f(x)在x点可微，并称a∆x为函数f(x)在x点的微分，记为
dy＝a∆x或df(x)＝a∆x
由前面的讨论得
微分具备两小关键特征：
2)微分是自变量的增量的线性函数；微分与函数增量∆y之差∆y-dy，是比∆x高阶的无穷小量.因此，称微分dy为增量∆y的线性主要部分。

事实上当dy≠0时
o(∆x)∆ydy+o(∆x))＝1＝lim＝lim(1+∆x→0∆x→0∆x→0dya∆xdylim
即为∆y与dy就是等价无穷小量。

注1系数a是依赖于x的，它是x的函数，
备注2微分dy既与x有关，又与∆x有关，而x和∆x就是两个互相单一制的
变量，但它对∆x的依赖是线性的．
基准1自由落体运动中，s(t)=12gt2
11g(t+∆t)2-gt222∆s＝s(t+∆t)-s(t)＝=
=11g(2t+(∆t2))=gt∆t+g(∆t)222
即∆s可表为∆t的线性函数和∆t的高阶无穷小量之和，由微分定义知，s(t)在t点可微，且微分
ds=gt∆t
它等于以匀速s'(t)＝gt运动，在∆t时间内走过的路程．
基准2圆面积y=πr2，
∆y＝π(r+∆r)2一πr2＝2πr∆r+π(∆r)2．
∆y可以则表示为∆r的线性函数与∆r的高阶无穷小之和，故函数在r连续函数，且微分
dy=2πr∆r
从几何来看，微分可以这样认知：
2πr是圆周长，当半径r变大即圆面积膨胀时，设想圆周长保持不变，半径增大∆r 所引起的圆面积变化就是2πr∆r。

这就是圆面积的微分，它与∆r成正比，与圆面积真正的变化之高就是较∆r高阶的无穷小，当然圆不可能将维持周长维持不变而收缩，这只是一种设想而已，但当∆r很小时，两者之高就更大了。

例3设正方形的边长为x，则面积为f(x)=x2
∆f(x)＝(x+∆x)2-x2＝2x∆x＋(∆x)2
即∆f(x)可表为∆x的线性函数和∆x的高阶无穷小量之和，故f(x)在x点可微，且微分
dy＝2x∆x．
可微与可导的关系：
定理4.5函数y＝f(x)在x点连续函数的充要条件就是：函数f(x)在x点可微．这时微分中∆x的系数a=f'(x)．
证明充分性前面已证。

必要性．设f(x)在x点可以微，由定义言
∆y=a∆x+o(∆x)
∆ya∆x+o(∆x)因此li=lim＝a∆x→0∆x→0∆x∆x
故f(x)在x点可导，且f'(x)＝a
规定：自变量的微分dx等同于自变量的发生改变量∆x，
这样微分公式又可写成
dy=f'(x)dx
于是有dydy=f'(x)，在定义导数（微商）时，符号是作为一个整体，dxdx而现在微商可以看作是微分之商．也就是说，微商的确是微分之商．
微分的几何意义：
微分是曲线y=f(x)在(x,y)处的切线对应的改变量．用微分dy近似地代替改变量∆y，从几何上看就是用切线的改变量近似地代替函数的改变量（以直代曲）
由导数公式可以获得基本初等函数的微分公式
dxα=αxα-1dx；
dlnx=1dx；x
dsinx=cosxdx
等等．同样借助微商的运算法则，立即可以得下面的微分运算法则
(1)四则运算法则．
d(f(x)±g(x))=df(x)±dg(x)
d(f(x)g(x))=g(x)df(x)+f(x)dg(x)
d(f(x)g(x)df(x)-f(x)dg(x))=(g(x)≠0)g(x)g2(x)
(2)复合函数的微分．
设y=f(u),u=g(x)，则无机函数y=f(g(x))的微分为
dy=(fg)'(x)dx=f'(g(x))g'(x)dx
dy=f'(u)du
把dy=f'(u)du与dy=f'(x)dx相比较，
虽然x就是自变量，u就是中间变量，但两者形式上就是一样的，这一性质称作一阶微分形式的不变性。

一阶微分形式不变性说明，可以在微分等式中代入变量
比如y=eu，u=x2，则dy=uedu
代入变量u=x得dy=edx=e2xdx
这种“代入”运算，在微商公式中就不可以搞．比如在y'=eu中代入变量u=x2，得y'=ex，似乎结果就是错误的．
例设y=esin(ax+b)+x，利用微分运算法则求函数的微分。

1+x222x22x2
求解dy=e
=esin(ax+b)(1+x2)dx-xd(1+x2)dsin(ax+b)+22(1+x)sin(ax+b)(1+x2)dx-
2x2dxcos(ax+b)d(ax+b)+22(1+x)(1-x2)acos(ax+b)dx+dx22(1+x)
(1-x2)acos(ax+b)+]dx(1+x2)2sin(ax+b)=[e
sin(ax+b)
利用微分近似计算
用微分近似增量，即∆y≈dy。

考虑x0=0点
x~x（x→0）y=sinx，∆y=sin∆x≈dy=cos0∆x=∆xsin
x2y=cosx，∆y=co∆sx-1≈dy=-sin0∆x=01-cosx~（x→0）2
1-cosx=o(∆x)，x→0
x~x（x→0）y=tanx，∆y=tan∆x≈dy=sec20∆x=∆xtan
y=ln(1+x)，∆y=ln(1+∆x)≈dy=1∆x=∆xln1(+x)~x（x→0）1+0
y=ex，∆y=e∆x-1≈dy=e0∆x=∆xex-1~x（x→0）
y=(1+x)α，∆y=(1+∆x)α-1≈dy=α∆x(1+x)α-1~αx（x→0）
1例求sin3的近似值.
解令f(x)＝sinx，x=30＝ππ，∆x＝1＝，由∆f(x)≈df(x)得1806
f(x+∆x)≈f(x)+f'(x)∆x
sin31︒=sin(
≈π6+π180)≈sinπ+cos66180ππ1×0.01745＝0.5151+22。