高考数学压轴专题最新备战高考《计数原理与概率统计》基础测试题含答案

【高中数学】《计数原理与概率统计》考试知识点
一、选择题
1．在区间[2,2]-上任意取一个数x ，使不等式20x x -<成立的概率为（ ）
A ．
16
B ．
12
C ．
13
D ．
14
【答案】D 【解析】 【分析】
先解不等式，再根据几何概型概率公式计算结果. 【详解】
由2
0x x -<得01x <<，所以所求概率为101
2(2)4
-=--，选D.
【点睛】
(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．
2．若1()n
x x
+的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A ．252 B ．70
C ．256x
D ．256x -
【答案】B 【解析】
由题意可得26
n n C C =，所以8n =，则展开式中二项式系数最大的项为第五项，即
44445881
()70T C x C x
===，故选B.
3．三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，若每人都选择其中两个科目，则有且仅有两人选择的科目完全相同的概率是（ ） A ．
14
B ．
13
C ．
12
D ．
23
【答案】D 【解析】 【分析】
先求出三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目的基本事件总
数，再求出有且仅有两人选择的科目完全相同所包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可得到答案. 【详解】
三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目共有23
3()27C =种不
同
结果，有且仅有两人选择的科目完全相同共有221
33218C C C ⋅⋅=种，故由古典概型的概率计
算公式可得所求概率为182273
=. 故选：D 【点睛】
不同考查古典概型的概率计算问题，涉及到组合的基本应用，考查学生的逻辑推理与数学运算能力，是一道中档题.
4．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为（ ）
A ．2，5
B ．5，5
C ．5，8
D ．8，8
【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得5x =，1
16.8(915101824)85
y y =+++++⇒=，选C. 考点：茎叶图
5．在第二届乌镇互联网大会中, 为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有 A ．96种 B ．124种 C ．130种 D ．150种
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意，分2步进行分析：①把5个个参会国的人员分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2；由组合数公式可得分组的方法数目，②，将分好的三组对应三家酒店；由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
根据题意，分2步进行分析：
①、五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住，∴可以把5个国家人分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2
当按照1、1、3来分时共有C53=10种分组方法；
当按照1、2、2来分时共有
22
53
2
2
15
C C
A
=种分组方法；
则一共有101525
+=种分组方法；
②、将分好的三组对应三家酒店，有336
A=种对应方法；
则安排方法共有256150
⨯=种；
故选D．
【点睛】
本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决．
6．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是
（）
表1
表2
表3
表4
A ．成绩
B ．视力
C ．智商
D ．阅读量
【答案】D 【解析】 【分析】
根据公式()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++分别计算得观察值，比较大小即可得结果.
【详解】
根据公式()()()()()2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++分别计算得：
A.2
2
52(6221014):0.00916363220
A K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯;
2
2
52(4201216): 1.76916363220
B K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯;
2
2
52(824812): 1.316363220
C K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯;
2
2
52(143062):23.4816363220
D K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯
选项D 的值最大，所以与性别有关联的可能性最大,故选D. 【点睛】
本题主要考查独立性检验的应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于
7．6件产品中有4件合格品，2件次品.为找出2件次品，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验后找出所有次品的概率为（ ） A ．
35
B ．
13
C ．
415
D ．
15
【答案】C 【解析】 【分析】
题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，计算概率得到答案. 【详解】
题目包含两种情况：
第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，231461
5
C p C ==；
第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，442461
15
C p C ==；
故12415
p p p =+=. 故选：C . 【点睛】
本题考查了概率的计算，忽略掉前面四次都是正品的情况是容易发生的错误.
8．若52345
012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则0123452345a a a a a a +++++为
（） A ．－233 B ．10
C ．20
D ．233
【答案】A 【解析】 【分析】
对等式两边进行求导，当x ＝1时，求出a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5的值，再求出a 0的值，即可得出答案． 【详解】
对等式两边进行求导，得：
2×5（2x ﹣3）4＝a 1+2a 2x +3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4， 令x ＝1，得10＝a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5； 又a 0＝（﹣3）5＝﹣243，
∴a 0+a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5＝﹣243+10＝﹣233． 故选A ．
本题考查了二项式定理与导数的综合应用问题，考查了赋值法求解二项展开式的系数和的方法，利用导数得出式子a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5是解题的关键．
9．若不等式组2302400x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
表示的区域为Ω，不等式222210x y x y +--+≤表示的
区域为T ，则在区域Ω内任取一点，则此点落在区域T 中的概率为（ ） A ．
4
π
B ．
8
π C ．
5
π D ．
10
π 【答案】D 【解析】 【分析】
作出不等式组2302400x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公
式即可得到结论． 【详解】
作出不等式组2302400x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
表示的区域Ω，
不等式2
2
2210x y x y +--+≤化为()()22
111x y -+-≤
它表示的区域为T ，如图所示；
则区域Ω表示ABC V ，由240
230
x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得点()12B -，； 又()20A -，，30B （，）
，∴()1
32252
ABC S =⨯+⨯=V ，
又区域T 表示圆，且圆心()11M ，在直线230x y +-=上，
在ABC V 内的面积为2
1
12
2
π
π⨯=
；
∴所求的概率为2510
P π
π==
，故选D ．
【点睛】
本题主要考查了几何概型的概率计算问题，利用数形结合求出对应的面积是解题的关键，属于中档题.
10．
若实数2a =，则101922810
1010222a C a C a -+-+L 等于( )
A ．32
B ．－32
C ．1 024
D ．512
【答案】A 【解析】 由题意可得：
(
)
()
1019222
10
101010
10
22222232.
a C a C a a -+-+=-==L
本题选择A 选项.
11．根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派7名党员去甲、乙、丙三个村进行调研，其中有4名男性党员，3名女性党员现从中选3人去甲村若要求这3人中既有男性，又有女性，则不同的选法共有（ ） A ．35种 B ．30种 C ．28种 D ．25种
【答案】B 【解析】 【分析】
首先算出7名党员选3名去甲村的全部情况，再计算出全是男性党员和全是女性党员的情况，即可得到既有男性，又有女性的情况. 【详解】
从7名党员选3名去甲村共有3
7C 种情况，3名全是男性党员共有3
4C 种情况，
3名全是女性党员共有3
3C 种情况，
3名既有男性，又有女性共有333
74330C C C --=种情况.
故选：B 【点睛】
本题主要考查组合的应用，属于简单题.
12．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为
A．1
2
B．
1
3
C．
1
6
D．
1
12
【答案】B 【解析】【分析】
求得基本事件的总数为
22
2
42
2
2
2
6
C C
n A
A
=⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事
件个数为222
2222
m C C A
==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，
基本事件的总数为
22
2
42
2
2
2
6
C C
n A
A
=⨯=，
其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为222
2222
m C C A
==,
所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为
1
3
m
p
n
==，故选B.
【点睛】
本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
13．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22
DF AF
==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）
A ．
413
B
．
13
C ．
926
D
．
26
【答案】A 【解析】 【分析】
根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可． 【详解】
在ABD ∆中，3AD =，1BD =，120ADB ∠=︒
，由余弦定理，得
AB =
所以DF AB =.
所以所求概率为2
4=13
DEF ABC S S ∆∆=. 故选A. 【点睛】
本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．
14．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ） A ．12E E ξξ<，12D D ξξ< B ．12E E ξξ=，12D D ξξ> C ．12E E ξξ=，12D D ξξ< D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>
【答案】B 【解析】 【分析】
分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 【详解】
1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，
()1409P ξ==
，()1129P ξ==，()1414
11999
P ξ==--=， 故123E ξ=
，22
214144402199999
D ξ=⨯+⨯+⨯-=. ()22110323P ξ⨯==
=⨯，()22122
1323
P ξ⨯⨯===⨯， 故223E ξ=
，2
221242013399
D ξ=⨯+⨯-=, 故12
E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B.
【点睛】
离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.
15．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，其中a 、b 、c ∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数共有( ) A ．125个 B ．60个 C ．100个 D ．48个
【答案】C 【解析】
由题意得，0a ≠，a 的选择一共有1
4C =4，b 的选择一共有155C =，c 的选择共155
C =种，根据分步计数原理，不同的二次函数共有N=455⨯⨯=100种。

选C.
16．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对
应的散点图，并求得其回归方程为 1.160.5ˆ37y
x =-，以下结论中不正确的为（ ）
A ．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B ．15名志愿者身高和臂展成正相关关系，
C ．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米
D ．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米， 【答案】D 【解析】 【分析】
根据散点图和回归方程的表达式，得到两个变量的关系，A 根据散点图可求得两个量的极差，进而得到结果；B ，根据回归方程可判断正相关；C 将190代入回归方程可得到的是估计值，不是准确值，故不正确；D ，根据回归方程x 的系数可得到增量为11.6厘米，但是回归方程上的点并不都是准确的样本点，故不正确. 【详解】
A ，身高极差大约为25，臂展极差大于等于30，故正确；
B ，很明显根据散点图像以及回归直线得到，身高矮臂展就会短一些，身高高一些，臂展就长一些，故正确；
C ，身高为190厘米，代入回归方程可得到臂展估计值等于189.65厘米，但是不是准确值，故正确；
D ，身高相差10厘米的两人臂展的估计值相差11.6厘米，但并不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点,故说法不正确. 故答案为D. 【点睛】
本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y 之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.
17．我国在北宋1084年第一次印刷出版了《算经十书》，即贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》．这些书中涉及的很多方面都达到古代数学的高峰，其中一些“算法”如开立方和开四次方也是当时世界数学的高峰．某图书馆中正好有这十本书现在小明同学从这十本书中任借两本阅读，那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为（ ） A ．
518
B ．
12
C ．
59
D ．
79
【答案】D 【解析】 【分析】
现在小明同学从这十本书中任借两本阅读，基本事件总数2
10C 45n ==，他取到的书的书
名中有“算”字包含的基本事件总数211
555C C C 35m =+=，由此能求出他取到的书的书名中
有“算”字的概率． 【详解】
解： 小明同学从这十本书中任借两本阅读，基本事件总数2
10C 45n ==，
他取到的书的书名中有“算”字包含的基本事件总数211
555C C C 35m =+=，
那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为357459
m p n ===． 故选：D ． 【点睛】
本题考查排列组合与古典概型的综合应用，难度一般.注意此题中的书名中有“算”字包含两种情况：仅有一本书的书名中有“算”、两本书的书名中都有“算”，分类需要谨慎.
18．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为
12n -，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此
数列的前15项和为（ ）
A ．110
B ．114
C ．124
D ．125
【答案】B 【解析】 【分析】
利用二项式系数对应的杨辉上三角形的第1n +行，令1x =，得到二项展开式的二项式系数的和，再结合等差、等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】
由题意，n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第1n +行， 令1x =，可得二项展开式的二项式系数的和2n ，
其中第1行为02，第2行为12，第3行为22，L L 以此类推， 即每一行的数字之和构成首项为1，公比为2的对边数列，
则杨辉三角形中前n 行的数字之和为12
2112
n
n n S -==--，
若除去所有为1的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3,4,L
可以看成构成一个首项为1，公差为2的等差数列，则(1)
2
n n n T +=， 令
(1)
152
n n +=，解得5n =， 所以前15项的和表示前7行的数列之和，减去所有的1，即(
)
7
2113114--=， 即前15项的数字之和为114，故选B. 【点睛】
本题主要考查了借助杨辉三角形的系数与二项式系数的关系考查等差、等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中认真审题，结合二项式系数，利用等差等比数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
19．某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中，则他第1次、第2次两次均未命中的概率是（ ） A ．
12
B ．
310
C ．
14
D ．
15
【答案】D 【解析】 【分析】
先求出基本事件总数，再求出第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数，计算即
可求出第1次、第2次两次均未命中的概率． 【详解】
由题可得基本事件总数33
6320n C C == ，
第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数213
2434m C C C ==
所以他第1次、第2次两次均未命中的概率是4
1205
m P n === 故选D. 【点睛】
本题考查计数原理及排列组合的应用，解题的关键是正确求出基本事件个数．
20．如图所示，线段BD 是正方形ABCD 的一条对角线，现以BD 为一条边，作正方形
BEFD ，记正方形ABCD 与BEFD 的公共部分为Ω（如图中阴影部分所示），则往五边形ABEFD 中投掷一点，该点落在Ω内的概率为（ ）
A ．
16
B ．
15
C ．
14
D ．
13
【答案】B 【解析】 【分析】
五边形ABEFD 的面积5
2S =，阴影Ω的面积为12
，得到概率. 【详解】
不妨设1AB =，故五边形ABEFD 的面积15222
S =
+=，阴影Ω的面积为1
2，
故所求概率为112
1
5
22
P =
=
+， 故选：B ． 【点睛】
本题考查了几何概型，意在考查学生的计算能力和应用能力.。