2022年山东省泰安市东平县老湖镇中学高三数学理联考试题含解析

2022年山东省泰安市东平县老湖镇中学高三数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 能够把椭圆:的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“亲和函数”，下列函数是椭圆的“亲和函数”的是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
B
略
2. 已知正项等比数列{a n}满足：，，则( )
A．16 B．－16 C．15 D．－15
参考答案：
C
由等比数列的性质得．所以，
又因为，所以，所以，，．
3. 设全集U={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A={x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}，则?U A=（）
A．{﹣3，﹣2} B．{2，3} C．（﹣3，﹣2）D．（2，3）
参考答案：
A
【考点】补集及其运算．
【分析】求出A中的解集确定出A，根据全集U求出A的补集即可．
【解答】解：全集U={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，
集合A={x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}={﹣1，0，1，2，3}，
所以C U A={﹣3．﹣2}．
故选：A 4. 偶函数满足，且在时，，则关于的方程
，在上解的个数是（）
A．1 B.2 C.3 D.4
参考答案：
【知识点】函数的周期性；奇偶函数图象的对称性．B4
【答案解析】解析：解：∵∴∴原函数的周期T=2又∵
是偶函数，∴.又∵x∈[0，1]时，，函数的周期为2，∴原函数的对称轴是x=1，且f（-x）=f（x+2）．方程根的个数，即为函数y1=f （x）的图象（蓝色部分）与的图象（红色部分）交点的个数．
由以上条件，可画出y1=f（x），的图象：
又因为当x=1时，y1＞y2，∴在（0，1）内有一个交点．
∴结合图象可知，在[0，4]上y1=f（x），共有4个交点．
∴在[0，4]上，原方程有4个根．
故选D．
【思路点拨】根据已知条件推导函数f（x）的周期，再利用函数与方程思想把问题转化，画出函数的图象，即可求解．
5. 如果实数x、y满足条件那么z=4x·2-y的最大值为
A．1 B．2 C． D．
参考答案：
6. 已知集合,,则( )
A．B．C．D．
参考答案：
C
略
7. 点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是()
A． (x－2)2＋(y＋1)2＝4 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C． (x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
参考答案：
B
8. 已知直线与圆O：相交于A，B两点（O为坐标原点），则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
设，
联立，化为，
直线与圆相交于两点，为坐标原点），
，解得，
，
，
，
，
，
解得，
则“”是“”的充分不必要条件，故选A.
9. 如图所示为函数的部分图象,其中、两点之间的距离为5，那么( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
10. 下列程序框图输出的a的值为
A. 5
B. 0
C. -5
D. 10
参考答案：
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （坐标系与参数方程选做题）若直线与曲线没有
公共点，则实数
的取值范围是 ． 参考答案：
坐标系与参数方程选做题）
略
12. 已知数列的前n 项和为
，数列
的前n 项和为 。

参考答案： n ·2n 略
13. 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜色各不相同．三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表：
那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是 _______元．
参考答案：
1464
【知识点】函数模型及其应用
【试题解析】显然，面积大的房间用费用低的涂料，所以房间A 用涂料1，房间B 用涂料3， 房间C 用涂料2，即最低的涂料总费用是元。

故答案为：1464
14. 若函数f(a)＝，则等于____________.
参考答案：
＋1 略
15. 如图，函数
的图像与y 轴交于点（0，1）. 设P 是
图像上的最高点，M 、N 是图像与轴的交点，则的夹角的余弦值
为 ．
参考答案：
16. 在区间和分别取一个数,记为则方程 表示焦点在轴上
的椭圆的概率为
参考答案：
略
17. 如图，在△ABC 中，已知B ＝，AC ＝，D 为BC 边上一点．若AB ＝AD ，则△ADC 的周长的最
大值为________．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知点(1,2)是函数的图象上一点，数列{a n}的前n项和
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若，
①求数列{a n+b n}的前n项和；
②设数列的前n项和为，求证：.
参考答案：
（Ⅰ）把点代入函数得………………2分
所以数列的前n项和为
当时，；
当时，，对时也适合，∴.………………5分
（Ⅱ）①由a＝2，，可得………………7分
∴数列{b n}是以1为首项，4为公差的等差数列，
故
………………9分
②＝
＝
………………11分
法1：易知单调递增，故，又
所以.………………14分
法2：不等式运算
，，……14分
19. （12分）圆C的方程是（x＋2）2+（y+1）2=R2，轴被圆截得的弦长为。

（1）求圆的方程；
（2）直线：y=-x+b交圆C于，且AC⊥CB,求直线的方程.
参考答案：
20. （本小题满分13分）
已知函数，三个内角的对边分别为.
（I）求的单调递增区间；
（Ⅱ）若，求角的大小.
参考答案：
解：（I）因为
…………6分又的单调递增区间为，
所以令
解得
所以函数的单调增区间为，………………8分 (Ⅱ) 因为所以，
又，
所以，
所以……10分
由正弦定理
把代入，得到……………12分
又，所以，所以………13分
21. （本小题满分15分）
已知正方形的边长为2，．将正方形沿对角线折起，使，得到三棱锥，如图所示．
（1）当时，求证：；
（2）当二面角的大小为时，求二面角的正切值．
参考答案：
（1）证明：根据题意，在中，，，
所以，所以．
因为是正方形的对角线，
所以．
因为，
所以．………………………………………………………………5分（2）解法1：由（1）知，，如图，以为原点，，所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系，
则有，，，．
设，则，．
又设面的法向量为，
则即．
所以，令，则．
所以．
因为平面的一个法向量为，
且二面角的大小为，
所以，得．
因为，所以．
解得．所以．
设平面的法向量为，
因为，
则，即
令，则．
所以．
设二面角的平面角为，
所以．
所以．
所以二面角的正切值为．……………………………………………15分
解法2：折叠后在△中，，
在△中，．
所以是二面角的平面角，
即．
在△中，，
所以．
如图，过点作的垂线交延长线于点，
因为，，且，
所以平面．
因为平面，所以．
又，且，所以平面．
过点作作，垂足为，连接，
因为，，所以平面．
因为平面，所以．
所以为二面角的平面角．
在△中，，，则，，所以．
在△中，，所以
在△中，．
所以二面角的正切值为．…………………………………………15分
22. （本小题满分12分）已知函数
（1）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；
（2）当时，讨论函数的单调性。

参考答案：
解：（1）由导数的几何意义得
…………2分
由切点在直线上可知，解得
所以函数的解析式为…………5分（2）
当，函数在区间（-∞，1）及上为增函数，在区间
上为减函数8分
当，函数在区间（-∞，+∞）上为增函数；
当，函数在区间及上为增函数，在区间）上为减函数。

…12分。