(江苏专用)2019_2020学年高中数学课时跟踪检测(二十六)二项分布苏教版选修2_3

课时跟踪检测（二十六）二项分布
[课下梯度提能]
一、基本能力达标
1．若X ～B (10,0.8)，则P (X ＝8)＝( ) A ．C 8
10×0.88
×0.22
B ．
C 810×0.82×0.28
C ．0.88
×0.22
D ．0.82
×0.28
解析：选A P (X ＝8)＝C 8
100.88
×0.22
.
2．有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p (0<p <1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有1位同学能通过测试的概率为( )
A ．(1－p )n
B ．1－p n
C ．p n
D ．1－(1－p )n
解析：选D 所有同学都不能通过测试的概率为(1－p )n ，则至少有1位同学能通过测试的概率为1－(1－p )n
.
3．某电子管正品率为34，次品率为1
4，现对该批电子管进行测试，设第X 次首次测到正
品，则P (X ＝3)＝( )
A ．C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫142
×34
B ．
C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫342
×14
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫342×14
解析：选C X ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是⎝ ⎛⎭
⎪⎫142
×34
. 4．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向
为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是1
2.则质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率
为( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫125
B ．
C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125
C ．C 35⎝ ⎛⎭
⎪⎫123
D ．C 25C 35⎝ ⎛⎭
⎪⎫125
解析：选B 质点每次只能向上或向右移动，且概率均为1
2，所以移动5次可看成做了5
次独立重复试验．质点P 移动5次后位于点(2,3)(即质点在移动过程中向右移动2次，向上
移动3次)的概率为C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝C 25⎝ ⎛⎭
⎪⎫125
.
5．设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，若P (X ≥1)＝5
9，则P (Y ≥2)的值为( )
A.3281
B.1127
C.6581
D.1681
解析：选B ∵随机变量X ～B (2，p )，P (X ≥1)＝5
9，
∴1－C 02p 0·(1－p )2
＝59，∴p ＝13，∴Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，
∴P (Y ≥2)＝C 24
⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＋C 44×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝1127
，故选B.
6．若X ～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5，12，则P (X ≥4)＝________. 解析：由题意得P (X ＝4)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫124×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝532，P (X ＝5)＝C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫125
＝132，∴P (X ≥4)＝P (X
＝4)＋P (X ＝5)＝532＋132＝3
16
.
答案：3
16
7．某气象台预报每天天气的准确率为0.8，则在未来3天中，至少有2天预报准确的概率是________．
解析：“至少有2天”包括“恰有2天”和“恰有3天”，其概率为C 2
3×0.82
×0.2＋C 3
3×0.83
＝0.896.所以至少有2天预报准确的概率为0.896.
答案：0.896
8．某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击3次，且他每次射击是否击中目标之间没有影响，有下列结论：
①他三次都击中目标的概率是0.93
； ②他第三次击中目标的概率是0.9；
③他恰好2次击中目标的概率是2×0.92
×0.1； ④他恰好2次未击中目标的概率是3×0.9×0.12
. 其中正确结论的序号是________．
解析：①正确；由每次射击，击中目标概率为0.9，知他第三次击中目标概率也为0.9，②正确；3次射击恰好2次击中目标概率为C 2
30.92
×0.1，③不正确；恰好2次未击中目标，即恰好击中目标1次，概率为C 1
30.9×0.12
，④正确．
答案：①②④
9．某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．
(1)记X (单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的概率分布；
(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率． 解：(1)由题设知，X 的可能取值为10,5,2，－3，且
P (X ＝10)＝0.8×0.9＝0.72， P (X ＝5)＝0.2×0.9＝0.18， P (X ＝2)＝0.8×0.1＝0.08， P (X ＝－3)＝0.2×0.1＝0.02.
由此得X 的概率分布列为
(2)设生产的4 由题设知4n －(4－n )≥10，解得n ≥14
5.
又n ∈N ，得n ＝3，或n ＝4.
所以P ＝C 3
4×0.83
×0.2＋C 4
4×0.84
＝0.819 2. 故所求概率为0.819 2.
10．在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是2
3
.
(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列； (2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率． 解：(1)X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.
依条件可知，X ～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫6，23， P (X ＝k )＝C k 6⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
136－k
(k ＝0,1,2,3,4,5,6)． X 的分布列为：
(2)P (A )＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭
⎪⎫234＋C 14×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫235＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
236
＝
32
81. 故教师甲在一场比赛中获奖的概率为32
81.
二、综合能力提升
1．若随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5，13，则P (X ＝k )最大时，k 的值为( ) A ．1或2 B ．2或3 C ．3或4
D ．5
解析：选A 依题意P (X ＝k )＝C k 5×⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ×⎝ ⎛⎭
⎪⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5. 可以求得P (X ＝0)＝32243，P (X ＝1)＝80243，P (X ＝2)＝80243，P (X ＝3)＝40243，P (X ＝4)＝10
243
，
P (X ＝5)＝
1
243
.故当k ＝1或2时P (X ＝k )最大． 2．一只蚂蚁位于数轴x ＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，若它向右移动的概率为23，向左移动的概率为1
3，则3秒后，这只蚂蚁在x ＝1处的概率为
________．
解析：由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位长度，向右移动两个单位长度才能到达
x ＝1处，所以蚂蚁在x ＝1处的概率为C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫
232×⎝ ⎛⎭
⎪⎫13
1
＝49
. 答案：49
3．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为1
2，乙每次击中目标的概率为
2
3
.求： (1)甲恰好击中目标2次的概率； (2)乙至少击中目标2次的概率； (3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率． 解：(1)甲恰好击中目标2次的概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123
＝38.
(2)乙至少击中目标2次的概率为
C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232
·13＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝2027
. (3)设“乙恰好比甲多击中目标2次”为事件A ，“乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次”为事件B 1，“乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次”为事件B 2，则A ＝B 1＋B 2，且B 1，B 2为互斥事件．则P (A )＝P (B 1)＋P (B 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232
·13·C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233·C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝118＋
19＝1
6
. 所以乙恰好比甲多击中目标2次的概率为1
6
.
4．某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下(不包括90分)的被淘汰，若有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图．
(1)求获得参赛资格的人数；
(2)根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；
(3)若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛．已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响．已知他前两次连续答错的概率为1
9，求甲在初赛中答题个数X
的分布列．
解：(1)由频率分布直方图得，获得参赛资格的人数为 500×(0.005 0＋0.004 3＋0.003 2)×20＝125人．
(2)设500名学生的平均成绩为x ，则x ＝(40×0.006 5＋60×0.014 0＋80×0.017 0＋100×0.005 0＋120×0.004 3＋140×0.003 2)×20＝78.48(分)．
(3)设学生甲答对每道题的概率为P (A )， 则(1－P (A ))2
＝19，
∴P (A )＝2
3
.
学生甲答题个数X 的可能值为3,4,5，
则P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝1
3
，
P (X ＝4)＝C 13×1
3×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋C 13×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫
133
＝
10
27
， P (X ＝5)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭
⎪⎫23
2
＝
827
. 所以X 的分布列为。