主析取范式解析及其应用

主析取范式解析及其应用
[摘要]数理逻辑中的范式在课本中基本上都是直接定义，然后推演，导致学生不知道范式的重要性以及与生活中的联系，无法深入理解。

本文针对这一情况，深入分析了范式的定义，对比了各种范式求解方法，更为重要的是给出了范式中所包含的若干原理与方法，并且与显示生活中的问题连接了起来，使其构成了一个相对完整的知识体系。

为解决离散数学课程中普遍存在的问题提供了一个方法。

[关键词]范式数理逻辑离散数学
离散数学一方面充分地描述了计算机科学离散性的特点，而且给后继课程数据库原理、数据结构、编译原理等提供必要的数学基础；另一方面，离散数学课程所涉及的概念、方法和理论、所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，计算机科学所需要的概括抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能力都可以通过离散数学的学习得到加强和锻炼，计算机技术所需要的严谨、完整、规范的科学态度也会通过离散数学中的概念、模型描述、证明得到充分体现。

范式在离散数学的教学过程中是一个重点内容，同时也是一个难点内容，以至于有的学校将其作为选讲内容，笔者认为这一部分知识很重要，应该讲，且应该讲透。

这对学生有以下的帮助：可以深入理解数理逻辑，学会科学分析问题，找出与生活中问题的联系，求出解决方法，全面领略范式的魅力，从而领略逻辑魅力，提高学生学习离散数学的动力和能力，为解决离散数学课程中普遍存在的问题提供了一个方法。

一、目前教学中存在的问题
范式在目前的教学中往往只注重方法的讲解，例如真值表法，公式转换法，以及其它间接的求法等，一般先定义文字、短语等概念，然后引出主析取（合取）范式等，然后就直接告诉学生用主析取范式解决一些问题。

这样的讲解，往往使学生不能够深入理解范式的本质，概念难以理解，术语过多，往往在学过之后很快忘记。

为了避免这种现象，我们讨论以下的解决方法。

二、明确范式在整个命题逻辑中的主线作用
范式在数理逻辑教学中具有非常重要的地位，我们知道，数理逻辑是将数学延伸到了逻辑领域，在逻辑领域语言是一个重要的组成，如何对语言进行分析，推理是非常重要的。

数理逻辑将其符号化，使得争辩不再需要无谓的争执，只需要坐下来静静地拿一支笔将要讨论的问题符号化，然后进行数学演算就可以得到一个正确的结果，为了使这个结果有一个统一的表示形式，避免许多等价公式引来等价判断上的困难，我们引出了范式的概念，这样就将语言与逻辑联系起来，使得读者很容易理解为什么用“短语”等来定义范式中的组成成分。

通过对主析取范式进行不同的求解，我们将命题逻辑中的最基本的知识“真值表”与逻辑推演中的命题等价演算以及联结词的使用统一起来，而且我们可以通过实例使人们真切地体会主析取范式在生活中的应用。

这样，整个知识点就不再离散，而是变得系统，并且生动有趣了。

三、分析主析取范式中的原理以及其求解方法
1．分析真值表技术
在此，要首先将方法与生活相联系，使学生与具体问题的解决联系起来，学习致用。

例如求出G=（P∧Q）∨R的主析取范式。

真值表如表1。

将公式中G的真值中1对应的极小项取出来，例如第二行1所对应的命题变元P，Q，R取值分别为0，0，1，所对应的极小项为，可标记为M0.01=M1根据真值表技术，我们容易等到其主析取范式为：
其中我们可以将极小项看成要完成一件事情必须具备的各种条件的一种情况，主析取范式就可以各种情况下命题变元可能的组合方式的一个集合。

利用主析取范式，我们可以全面的考虑问题中出现的各种情况，避免了逻辑思维中遗漏对某些条件讨论的弊端，使问题的解决痕全面。

2．等价推演
如果命题变元较多，利用真值表会使工作量以级数2n的速度增加，而当将公式初步化为析取范式以后，各短语中包含的原子较少时，已经较接近主析取范式，通过增加合取缺少的变元P的(P∨P)，然后利用各种运算定律就可以轻松地解决问题。

上例可以如下推导：
推导过程并不难，但为何如此推导，很少有人深究，这是不对的。

我们增加短语中未出现命题变元的(P∨P)的形式，是与真值表法相同的，都是为了考虑到解决问题时的各种因素（即范式中的变元），这样一讲，事理很显然。

3．其他方法中的原理
我们可以使用真值表法求出公式G的否定G的主析取范式G′，然后将G′中未出现的极小项进行全析取G″就是公式G的主析取范式。

课本上对此一般是通过证明公式来完成的。

严格的证明是必须的，但也要找出其中的通俗道理，当这些条件使G′为假时，则G必为真，因此真值表中为0的那些真值指派必然使G为真，是G中的极小项，同理，当这些条件使G′为真时，则G必为假，因此真值表中为1的那些真值指派必然使G为假，不可能是G中的极小项。

四、范式的应用
1．在电路的逻辑设计方面有广泛的应用
加法器的设计，有两个n 位二进制数a,b 相加和为s(s=a+b) ，a,b 分别写成：
2. 在生活中的应用
安排课表，教语言课的教师希望将课程安排在第一或第三节；教数学课的教师希望将课程安排在第二或第三节；教原理课的教师希望将课程安排在第一或第二节。

如何安排课表，使得三位教师都满意。

五、总结
通过分析讨论各种方法的适用情况，求解方法，通俗的道理，使这些形式化的数理逻辑不再枯燥，与生活生动的联系在一起，极大地增强了学生学习的兴趣和动力，将难点分而化之。

参考文献：
[1]耿素云.离散数学[M].北京：清华大学出版社，1999.
[2]傅彦.离散数学[M].北京：机械工业出版社，2005.
[3]郁国瑞.主析取范式求法解析[J].河北能源职业技术学院学报，2004，（3）.。