高中数学1.2任意角的三角函数1.2.4诱导公式同步训练新人教B版必修4(2021学年)

高中数学 1.2 任意角的三角函数1.2.4 诱导公式同步训练新人教B版必修4
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1.2.４诱导公式
知识点一:诱导公式（１）(2）(3）
1．(全国高考Ⅰ，文1）cｏs300°等于
A．-错误! B.-错误! C。

错误! D。

错误! 2．与ｃｏs错误!的值相同的是
A.ｓｉｎ＼f（π，3) B．sin＼f(π,６)
C.ｓin π
4
Ｄ．ｓin错误!
３．已知ｃos(π＋α)=－错误!且α是第四象限角,则sin(－２π＋α)等于
Ａ．＼f（4,5) B．－＼ｆ(4，5) C.±错误!Ｄ。

＼f（3,5)
４.若siｎ(-α)＝-m，则sｉn（3π＋α)+＼f（1,2)sin(2π－α）等于
A．－错误!m B.-错误!m Ｃ．错误!m Ｄ.错误!m
5.若|cosα|=ｃos(π+α),则角α的集合为____＿＿＿___．
6.化简siｎ(-α）·coｓ(2π＋α)·tan（2π+α）＝_＿__＿__＿＿_。

知识点二:诱导公式(４)
７.ｓｉｎ2(错误!＋α)＋cｏs(π＋α)·cos(－α）+1的值是
Ａ.1 Ｂ．2ｓin2α C.２cos2α D．0
８．设A、B、C是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是
Ａ.cos（A＋B)=cｏsＣ B.ｓin（A＋Ｂ)=siｎＣ
Ｃ.tａn(A+Ｂ)=tａnＣ D．sin错误!=siｎ错误!
9．若ｃos(π+α）＝-错误!，那么ｓin（错误!－α)等于
10．f（sinｘ）=3－coｓ2x，则ｆ(cosx)＝＿＿＿__＿＿＿__。

１１.sin２(错误!-x)+sｉｎ2(错误!+ｘ)＝____＿＿____。

能力点一:利用诱导公式求值
12.已知α为锐角，且２tａn(π-α)-3coｓ(＼f（π,２)+β）＋5=0，tan（π＋α）+6si ｎ(π+β)－1=０,则sinα的值是
A。

错误!Ｂ．错误!
C。

错误! D．错误!
13．sin2１5０°＋siｎ２１35°＋２siｎ２１０°＋cos222５°的值是
A。

1
4
B．错误! C。

错误!D。

错误!
1４.（20１０全国高考Ⅰ，理２）记ｃos（－80°)=k，那么ｔａn100°等于A。

错误!Ｂ.-错误!
C.错误!Ｄ．-错误!
15．错误!=___＿______.
1６．求下列各三角函数值:
(１)sｉn＼f（π,４）ｃoｓ错误!tan错误!;
(２)错误!sin(-1 20０°)ｔａn错误!－ｃos５8５°ｔａn（－错误!）．
17．已知ｓinα是方程５x2-７ｘ-6=0的根，求[sin（α＋错误!)·ｓin(错误!-α)·tan２(２π-α）·tａn(π－α）］÷[ｃｏs(错误!－α)·cｏs（错误!+α)]的值.
能力点二：利用诱导公式进行化简
18.设tａn(5π+α)＝ｍ,则＼ｆ（sinα-3π+cｏｓπ-α，sｉｎ－α-coｓπ＋α)化简的结果为＿____＿_＿_＿.(用m表示)
19.化简：
(1)sｉｎ2１°+ｓiｎ22°＋…＋siｎ2８9°;
(2)taｎ1°tan2°tａn3°…tａn89°。

２０。

化简:cｏs（＼f(４n-１，４）π-α）·sin(４n+1
4
π-α）(n∈Ｚ)．
能力点三：利用诱导公式进行证明
2１．求证：tａｎ(2π－α)ｓiｎ（-２π-α）coｓ（６π－α）=sｉn2α。

22．设ｋ∈Z,求证:错误!=－1。

23．已知α是第三象限的角,f(α)=错误!.
(1）化简f（α）;
（2）若cos（α-＼f（３π,2))=错误!,求f(α)的值;
(3)若α=－１ 8６0°，求f（α）的值.
答案与解析
基础巩固
１.Ｃ cos3０0°＝cｏs(300°-360°）
=ｃos(-60°)＝ｃｏs６0°=
1
２。

２.Ｂｃos错误!＝cos(４π+错误!) =cos错误!＝错误!＝ｓin错误!。

3．B
4．Ｂ∵ｓin(-α)＝-m,
∴ｓinα＝ｍ.
ｓｉn（3π+α）+1
2
sｉn(2π-α)＝ｓin（π+α）＋
１
2
sin(－α)＝-sｉｎα－＼f(1，2)
sinα＝－错误!ｓinα=-错误!ｍ。

５．｛α|２kπ＋错误!≤α≤2kπ+错误!,k∈Z}
6.-sin2α
7.A
8．Ｂ∵A、Ｂ、C满足Ａ＋B＝π－C，A+B
2
=
π
2
－＼ｆ(C,2),
∴B正确.
9．Ａ∵cos(π+α)=-错误!,
∴ｃｏsα＝＼f(1,3）.
∴siｎ(错误!－α）＝-cosα＝－错误!．
10．3＋ｃos2x ∵coｓx=sｉｎ（错误!-x）,
∴f（ｃosｘ)＝ｆ[ｓin（＼f（π，2）-x)]
＝3－cos［２(错误!－x）］
=3-ｃos(π-2ｘ）
=3＋cos2ｘ.
11.1 ∵(错误!-x)＋（错误!+x)＝错误!,
∴原式=sin2(错误!-x)＋coｓ2(错误!－ｘ)＝1.能力提升
12．C 由已知得错误!
∴错误!
∴sinβ=1
3
,tanα＝3。

又∵α为锐角，∴sｉnα〉０.
由错误!
解得siｎα=错误!错误!.
1３．Ａ
14．B ∵ｃos(-8０°)＝cos8０°＝ｋ,∴sin80°＝错误!=错误!。

∴tan1００°＝-tan8０°
＝-错误!=－错误!。

１5.1 原式=ｔan(45°+θ）taｎ（４5°－θ）＝tan(4５°＋θ)·ｃoｔ（4５°＋θ）=１.
16．解：(１）原式=siｎ错误!cｏs(2π+错误!）taｎ（4π+错误!)
=错误!cｏｓ错误!tａｎ错误!
=＼f（＼ｒ（2),2)cos(π+π
６
)tａn（π＋＼f(π,４）)
＝＼f(２,2）（－cos π
6
)tan＼f（π，４)
＝-错误!×错误!×1
=-错误!．
（２)原式=－＼ｒ（3)sｉn１200°taｎ（2π＋错误!）-cos（３60°＋225°)(-taｎ错误!）=－＼r（3)sin(-24０°）tａn错误!－cos45°tan（π＋错误!)
=３×＼ｆ(３,3)sｉn(1８0°+60°）－错误!tａn错误!
=-＼r（3)×错误!ｓｉｎ60°－错误!
=-错误!。

１７.解:5x2-7x－6=0的根为x＝2或ｘ＝－３5
,
所以sinα=-3
5。

所以cｏsα＝±1-siｎ２α＝±错误!.
所以tanα＝±
3
４。

原式＝错误!
＝ｔanα＝±错误!.
18。

＼f(ｍ+1,m-1) 由taｎ（5π＋α)=taｎα＝ｍ知,
原式=错误!＝错误!＝错误!．
19．解:(1）原式＝（sin21°+sin28９°）＋(sｉn2２°＋sin28８°）+…+（sin244°＋sin246°)+ｓｉｎ245°＝（sｉｎ２１° +cｏs21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin２4４°＋ｃｏs244°)＋错误!
＝１+１＋…+１+错误!
＝4４＋错误!=错误!。

（2)∵ｔaｎ1°tan８9°=错误!
＝错误!＝1.
同理，tａn２°tａｎ８8°=1＝tan３°tan8７°
=…=tａn４4°taｎ46°＝1,
且ｔaｎ4５°＝1。

∴原式=(taｎ1°tａｎ89°)(ｔａn2°ｔａn88°）(tan3°tａn87°)…（tan４4°taｎ46°）tan45°＝1。

20．解:原式=cos[nπ－(错误!＋α)］·sin[nπ＋(错误!-α)]．
当n为奇数时,
原式＝cos[π－(错误!+α)]·ｓｉn[π＋(错误!-α)］
=－cos（π
４
+α）·[-sｉｎ(错误!－α)]
=cos[错误!－(错误!-α)]sin（错误!-α）
=ｓｉn2(π
4
－α），
当n为偶数时,原式=cos[-（＼f(π,4）+α)]·sｉn（＼ｆ（π，４）-α)
=cos（＼ｆ（π，4)＋α)·sｉｎ（错误!－α)
＝coｓ［＼f（π,2)－(错误!－α）]·siｎ（错误!-α）＝sin２(＼f(π,4)-α),
综上,原式=siｎ2（＼f(π,4)-α）．
２1．证明：左边=tan（-α)·ｓin(-α)·cos(-α)
=(－tａnα)·（-siｎα)·cosα
＝sin２α=右边，
∴原等式成立．
２2．证明：(1）当k＝2n(ｎ∈Z）时,
∵左边=错误!
＝-1＝右边,
∴原式成立;
（２）当k=２n+１(n∈Z)时,
∵左边=ｓｉnα－ｃosαｓiｎαcosα
=-１＝右边,
∴原式成立．
综上所述,原式成立．
拓展探究
２3.解：(1)f（α）＝
错误!
＝＼ｆ（sinα·cosα·cotα,－ｃotαsinα）
＝－ｃosα.
(2)∵cos(α－＼f(3π，２))=coｓ(错误!+α)＝－sinα，
∴sinα=－错误!,cosα＝-错误!＝－错误!错误!。

∴f(α)＝＼f（2,5）错误!.
(3)ｆ(α)=f(-１ 86０°)
＝－cos(-1 86０°)＝-cｏs1 ８6０°
=－cos（３60°×5+6０°)
=－cos60°=－错误!.
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