自动控制理论—典型环节的频率特性

1 2 2 p T
M p A( p ) 1 2 1 2
-2
0.2
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微分环节的频率特性
⒌ 微分环节的频率特性： 微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函 数分别为： G( s) s
G( s) 1 Ts G( s) T 2 s 2 2Ts 1 频率特性分别为： G( j ) j
0
时：A() 0， () 90 P() 0，Q() 0
4
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惯性环节的奈氏图
极坐标图是一个圆，对 称于实轴。证明如下：
K P ( ) 1 T 2 2 KT Q ( ) 1 T 2 2
0
极坐标图是一个圆心在原点， 半径为1的圆。
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7、开环系统极坐标频率特性的绘制（绘制奈氏图） 开环系统的频率特性或由典型环节的频率特性组合而成， 或是一个有理分式，不论那种形式，都可由下面的方法绘制。 [绘制方法]：
j ( ) 将开环系统的频率特性写成P( ) jQ( ) 或 A( )e 的形 式，根据不同的算出 P( ),Q( )或 A( ), ( )可在复平面上得到不 同的点并连之为曲线。（手工画法）。或直接用经验法绘制。
, G(0)
0
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延迟环节的奈氏图
⒍ 延迟环节的频率特性： 传递函数： G(s) es 频率特性： G( j ) e j 幅频特性：A( ) 1 相频特性： ( ) ( rad ) 57.3 (deg)
0
1

0
0
1 G( s) s(1 s)(1 5s)
10 G( s) s(1 s)(1 5s)
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[具有积分环节的系统的频率特性的特点 ]： m (1 i s) 1 i 1 G ( j ) 频率特性可表示为： ( j ) n

2
tg 1T1 tg 1T2
[分析]1、当 0 时， P(0) k (T1 T2 ), Q(0) , (0) 2 G ( j )的渐近线是一条通过实轴 k (T1 T2 ) 点， 显然，当 0 时， 且平行于虚轴的直线。 1 1 Q( ) 0 ，解得： 2、与实轴的交点。令： ，这时： T1T2 kT1T2
使用MATLAB工具绘制。
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k (1 jT1 )(1 jT2 ) 试列出实频和虚频特性的表达式。当 k 1, T1 1, T2 5 绘制奈氏 G( j ) [例5-1]设开环系统的频率特性为：
图。
k (1 jT1 )(1 jT2 ) k (1 T1T2 2 ) 解：G( j ) 2 2 2 2 2 2 (1 T1 )(1 T2 ) (1 T1 2 )(1 T2 2 ) k (T1 T2 ) j P( ) jQ( ) 2 2 2 2 (1 T1 )(1 T2 )
P( ) 1, Q( ) T

Im 一阶微分环节的极坐标 图为平行于虚轴直线。 频率从0→∞特性曲线 相当于纯微分环节的特 性曲线向右平移一个单 位。
0
Re

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二阶微分环节的频率特性
③ 二阶微分环节： 幅频和相频特性为：
G( j ) 1 jT G( j ) 1 T 2 2 j 2T
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纯微分环节的奈氏图
① 纯微分环节： G( j ) j
A( ) , , 0 ( ) 2 , 0 2
Q ( ) T P( )
K 1 T 1
G ( j ) 1 j 1

K 2
0
P
K K 1 T 2 2 1 ( Q )2 P
整理得： ( P K )2 Q 2 ( K )2 2 2
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P( ) 0, Q( ) 0

0
k 1, T 1, 0.7
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G (s)
1 s 1.4 s 1
2
Q( ) 0 ， 当 0 时， 曲线在3，4象限；当 0 时，与之对称 于实轴。 实际曲线还与阻尼系数 有关
下半个圆对应于正频率部 分，而上半个圆对应于负 频率部分。 5
振荡环节的频率特性
K Kn 2 ⒋ 振荡环节的频率特性： G( s) 2 2 T s 2Ts 1 s 2 n s n 2
2
讨论 0 1时的情况。当K=1时，频率特性为：
G( j ) 1 (1 T 2 2 ) j 2T

Im
P( ) 0 ,
Q( )
0
微分环节的极坐标图为 正虚轴。频率从0→∞ 特性曲线由原点趋向虚 轴的+∞。
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Re

10
一阶微分环节的奈氏图
② 一阶微分：
A( ) 1 T 2 2 , ( ) tg 1T
Q( ) 1 2T ( ) tg tg P( ) 1 T 2 2
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振荡环节的奈氏图
1 T 2 2 P( ) (1 T 2 2 )2 4 2 2T 2 2T Q ( ) (1 T 2 2 )2 4 2 2T 2 1 A( ) (1 T 2 2 )2 (2T )2
( ) tg 1
2 T 1 T 2 2
当 0时，A( ) 1, ( ) 0 P( ) 1, Q( ) 0 1 1 A( ) , ( ) ; 当 时， 2 2 T 1 P( ) 0, Q ( ) 2 当 时， A( ) 0, ( )
G ( j )
K Tj 1
Im

0时：A(0) K， (0) 0
P(0) K，Q(0) 0
Re
1 1 K 1 时：A( ) ， ( ) 45 T T T 2 1 K 1 K P( ) ，Q( ) T 2 T 2
0

1 T
Im
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2
积分环节的奈氏图
⒉ 积分环节的频率特性：G ( s )
K s K K K j e 2 频率特性： G( j ) j K K A( ) ( ) tg 1 ( 0)
P( ) 0
j
( ) tg 1 i 其相角为：
i 1
m

2
tg 1T j
1
j 1
j 1 n
(1 T s)
|
当 0 时， (0)

2
( j ) ( ) m ( n ) ( n m ) , 当 时， 2 2 2 2 G ( j ) | 0, (若n m)
G(s) T 2 s 2 2Ts 1
2 2 2 2 1
2 T A( ) (1 T ) (2 T ) , ( ) tg 1 T 2 2 P( ) 1 T 2 2 , Q( ) 2T
Im


1 T
2
0
0 1
Re
P(1 )
3 P() 0, Q() 0, () 3、当 时， ，渐近线方向向下。 2
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T1 T2
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k 1, T1 1, T2 5 k 1, T1 1, T2 5

k 10, T1 1, T2 5
Q ( )
K

2


Im
积分环节的极坐标图为 负虚轴。频率从0→∞ 特性曲线由虚轴的－∞ 趋向原点。
Re
Tuesday, April 02, 2019 03惯性环节的奈氏图
K G( s) ⒊ 惯性环节的频率特性： Ts 1 K A( ) , ( ) tg 1T 1 T 2 2 K KT P( ) , Q ( ) 2 2 1 T 1 T 2 2
第二节 典型环节与开环频率特性
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1
一、奈奎斯特图 ⒈ 比例环节： G( s) K ;
G( j ) K
P( ) K ；虚频特性： Q( ) 0 ； 实频特性 ：
( ) 0 A( ) K ；相频特性： 幅频特性：
比例环节的极坐标图为 实轴上的K点。 K Re
试绘制极坐标特性曲线。
k (T1 T2 ) k (1 T1T2 2 ) [解]： G( j ) j P( ) jQ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 T1 )(1 T2 ) (1 T1 )(1 T2 )
( )
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0 P ( ) 1 Q ( ) 0

0.2 3.85 -5.77
1 5
0
5 6
0.8 -0.79 -1.72

0 0
相角： ( ) tg 1 tg 1 5
0 ( ) 0

0.2 -56.31
1 5
0.8
-114.62
1 5 2 6 当 k 1, T1 1, T2 5时， P( ) , Q ( ) (1 2 )(1 25 2 ) (1 2 )(1 25 2 )
找出几个特殊点（比如 0, ，与实、虚轴的交点等）， 可大致勾勒出奈氏图。为了相对准确，可以再算几个点。

-180
-90
用上述信息可以大致勾勒出奈氏图。
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下图是用 Matlab工具绘制的奈氏图。
G( s)
1 (1 s)(1 5s)
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G( j ) [例5-2]设开环系统的频率特性为：
k j (1 jT1 )(1 jT2 )
7
振荡环节的奈氏图
Im
-1
0 .1
0
2 1
-1
0
1
0.6 0 .5 0.4
0 .3
由图可见无论是欠 Re 阻尼还是过阻尼系 0 .1 统，其图形的基本 形状是相同的。 当过阻尼时，阻尼 系数越大其图形越 接近圆。
0.8 0.7
实频、虚频、幅频和相频特性分别为： 1 T 2 2 2T P( ) , Q( ) 2 2 2 2 2 2 (1 T ) 4 T (1 T 2 2 )2 4 2 2T 2
A( ) P( ) 2 Q( ) 2
1
1 (1 T 2 2 ) 2 (2T ) 2