2020-2021高三数学上期中模拟试卷(含答案)(21)

2020-2021高三数学上期中模拟试卷(含答案)(21)
一、选择题
1．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则
A ．111A
B
C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形
C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形
D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形
2．已知{}n a 为等差数列，若20
19
1<-a a ，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则n S 的最小正值为( ) A ．1S
B ．19S
C ．20S
D ．37S
3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95
495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4
B ．5
C ．6
D ．4或5
4．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2
B ．-2
C ．
1
2
D ．12
-
5．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A ．2
B ．4
C ．16
D ．8
6．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =
，c =，
30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )
A
B ．
3
4 C ．32
或
D ．
34
7．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若
(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC V 的形状为（）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
8．已知x ，y 满足条件0
{20
x y x
x y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( )
A ．－16
B ．－6
C ．-83
D ．6
9．若函数1
()(2)2
f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a 等于（ ） A ．3
B ．13+
C ．12+
D ．4
10．已知AB AC ⊥u u u v u u u v ，1AB t
=u u u
v ，AC t =u u u v ，若P 点是ABC V 所在平面内一点，且
4AB AC AP AB AC
=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则·PB PC u u u v u u u v 的最大值等于（ ）. A ．13
B ．15
C ．19
D ．21
11．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2
cos 22A b c
c
+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形
12．若0,0x y >>，且21
1x y
+=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(8,1)-
B ．(,8)(1,)-∞-⋃+∞
C ．(,1)(8,)-∞-⋃+∞
D ．(1,8)-
二、填空题
13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12m S -=-，0m S =，13m S +=.其中*m N ∈且
2m ≥，则m =______.
14．已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .
15．在平面内，已知直线12l l P ，点A 是12,l l 之间的定点，点A 到12,l l 的距离分别为和，点
是2l 上的一个动点，若AC AB ⊥，且AC 与1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小
值为____．
16．已知数列{}n a 满足11a =，11
1n n
a a +=-
+，*n N ∈，则2019a =__________． 17．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T 若对任意自然数n 都有
2343n n S n T n -=-，则93
5784
a a
b b b b +++的值为_______． 18．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________．
19．（理）设函数2
()1f x x =-，对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
，
2
()4()(1)4()x
f m f x f x f m m
-≤-+恒成立，则实数m 的取值范围是______． 20．已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
，若目标函数=+z -ax y 取得最大值的最优解不唯
一，则实数a 的值为__________．
三、解答题
21．在平面四边形ABCD 中，已知34
ABC π
∠=
，AB AD ⊥，1AB =．
（1）若5AC =
，求ABC ∆的面积；
（2）若25
sin CAD ∠=
，4=AD ，求CD 的长． 22．已知数列{}n a 是等差数列，111038,160,37n n a a a a a a +>⋅=+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若从数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第8项，L ，第2n 项，按原来的顺序组成一个新数列，求12n n S b b b =+++L . 23．已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程的根.
（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列2n n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和.
24．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ()
3cos 23cos a C b c A =
(Ⅰ)求角A 的大小；
(Ⅱ)若2a =，求ABC V 面积的最大值．
25．已知{}n a 为等差数列，前n 项和为(
)*
n S n N
∈，{}n
b 是首项为2的等比数列，且公
比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}221n n a b -⋅的前n 项和. 26．等比数列{}n a 中，1752,4a a a ==．
(Ⅰ)求{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)记n S 为{}n a 的前n 项和．若126m S =，求m ．
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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角
形，由
，得21
2121
2
{2
2
A A
B B
C C πππ=
-=
-=
-，那么，2222
A B C π
++=，矛
盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
由已知条件判断出公差0d <，对20
19
1<-a a 进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求出结果. 【详解】
已知{}n a 为等差数列，若20
191<-a a ，则201919
0a a a +<， 由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，可得0d <，
19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>， 31208190a a a a ∴+=+<，380S <，
则n S 的最小正值为37S 故选D
本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.
3．B
解析：B 【解析】
由{}n a 为等差数列，所以
95
532495S S a a d -=-==-，即2d =-， 由19a =，所以211n a n =-+， 令2110n a n =-+<，即112
n >
， 所以n S 取最大值时的n 为5， 故选B ．
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
把已知2
214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，
【详解】
因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即2
11111(21)(46).2
a a a a -=-=-，
故选D. 【点睛】
本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可． 【详解】
等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7， 可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7， ∴b 7＝4，
数列{b n }是等差数列，则b 5+b 9＝2b 7＝8． 故选D ． 【点睛】
本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．
解析：C 【解析】 【分析】
由已知利用余弦定理可得29180a a -+=，解得a 值，由已知可求中线1
2
BD c =
，在BCD V 中，由余弦定理即可计算AB 边上中线的长． 【详解】
解：3,33,30b c B ===o Q ，
∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得23927233a a =+-⨯⨯⨯，
整理可得：29180a a -+=，∴解得6a =或3．
Q 如图，CD 为AB 边上的中线，则1332BD c ==，
∴在BCD V 中，由余弦定理2222cos CD a BD a BD B =+-⋅⋅，可得：
222333336(
)26CD =+-⨯⨯⨯，或222333333()23CD =+-⨯⨯⨯
， ∴解得AB 边上的中线32CD =
或37
2
． 故选C ．
【点睛】
本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．
7．D
解析：D 【解析】 【分析】
由正弦定理化简(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，得到sin 2sin 20B A -=，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案． 【详解】
由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅， 结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -⋅⋅=-⋅⋅， 所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=， 所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=o ，
所以三角形是等腰或直角三角形． 故选D ． 【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．
8．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
由z ＝x ＋3y 得y ＝－
13x ＋3
z
，先作出0{x y x ≥≤的图象，如图所示，
因为目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，所以x ＋3y ＝8与直线y ＝x 的交点为C ，解得C (2,2)，代入直线2x ＋y ＋k ＝0，得k ＝－6.
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
将函数()y f x =的解析式配凑为()()1
222
f x x x =-++-，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的x 值，可得出a 的值.
【详解】
当2x >时，20x ->，则()()()11
1
2222222
2
f x x x x x x x =+=-++≥-⋅
--- 4=， 当且仅当()1
222
x x x -=>-时，即当3x =时，等号成立，因此，3a =，故选A. 【点睛】
本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.
10．A
解析：A
以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t
，(0,)C t ，
10)4(0,1)(1,4)AP =+=u u u r （，，即14)P （，，所以1
14)PB t
=--u u u r （，，14)PC t =--u u u r （，，因
此PB PC ⋅u u u r u u u r
11416t t =--+117(4)t t =-+，因为11
4244t t t t +≥⋅=，所以PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于
13，当14t t
=，即1
2
t =
时取等号．
考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
先根据二倍角公式化简，再根据正弦定理化角，最后根据角的关系判断选择. 【详解】 因为2
cos
22A b c c
+=，所以1cosA 22b c
c ++=,()
ccosA b,sinCcosA sinB sin A C ,sinAcosC 0===+=,因此cosC 0C 2
π
==
，,选A.
【点睛】
本题考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析转化能力，属基础题.
12．A
解析：A
【分析】 将代数式
21
x y
+与2x y +相乘，展开式利用基本不等式求出2x y +的最小值8，将问题转化为解不等式()2
min 72m m x y +<+，解出即可. 【详解】
由基本不等式得()21422448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭
， 当且仅当
()4,0y x
x y x y
=>，即当2x y =时，等号成立，所以，2x y +的最小值为8. 由题意可得()2
min 728m m x y +<+=，即2780m m +-<，解得81m -<<. 因此，实数m 的取值范围是(8,1)-，故选A. 【点睛】
本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，对于不等式恒成立问题，常转化为最值来处理，考查计算能力，属于中等题．
二、填空题
13．5【解析】【分析】设等差数列的再由列出关于的方程组从而得到【详解】因为所以设因为所以故答案为：【点睛】本题考查等差数列前项和公式的灵活运用考查从函数的角度认识数列问题求解时要充分利用等差数列的前前项
解析：5 【解析】 【分析】
设等差数列的()n An n m S =-，再由12m S -=-，13m S +=，列出关于m 的方程组，从而得到m . 【详解】
因为0m S =，所以设()n An n m S =-， 因为12m S -=-，13m S +=，
所以(1)(1)2,12
5(1)13,
13A m m m A m m -⋅-=-⎧-⇒=⇒=⎨
+⋅=+⎩. 故答案为：5. 【点睛】
本题考查等差数列前n 项和公式的灵活运用，考查从函数的角度认识数列问题，求解时要充分利用等差数列的前前n 项和公式必过原点这一隐含条件，从而使问题的计算量大大减
少.
14．【解析】【分析】【详解】由题意解得或者而数列是递增的等比数列所以
即所以因而数列的前项和故答案为考点：1等比数列的性质；2等比数列的前项和公式 解析：21n -
【解析】 【分析】 【详解】
由题意，1423149
8
a a a a a a +=⎧⎨⋅=⋅=⎩，解得141,8a a ==或者148,1a a ==，
而数列{}n a 是递增的等比数列，所以141,8a a ==，
即34
1
8
a q a =
=，所以2q =， 因而数列{}n a 的前n 项和1(1)1221112
n n
n n a q S q --=
==---，故答案为21n -. 考点：1.等比数列的性质；2.等比数列的前n 项和公式.
15．6【解析】【分析】【详解】如图所示设由题意知与相似所以所以所以当且仅当即时等号成立所以面积的最小值为6
解析：6 【解析】 【分析】 【详解】 如图所示，
设BF x =，由题意知3,2AE AF ==
ABF ∆与CAE ∆相似，所以
AB BF CA AE =,所以3AC AB x
=,所以2
11322ABC S AB AC AB x
∆=
=⨯ 21363(4)622x x x x =⨯⨯+=+≥，当且仅当632
x
x =，即2x =时，等号成立，所以
CAE ∆面积的最小值为6. 16．-2【解析】【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性进而得到结果【详解】根据题干表达式得到可以得数列具有周期性周期为3故得到故得到故答案为：-2【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项一般方法是 解析：-2 【解析】 【分析】
根据题干中所给的表达式得到数列的周期性，进而得到结果. 【详解】
根据题干表达式得到234123
1111
,2, 1.1211a a a a a a =-
=-=-=-=-=+++ 567455
1111
,2, 1.1211a a a a a a =-
=-=-=-=-=+++ 可以得数列具有周期性，周期为3，故得到20193673.÷= 故得到2019 2.a =- 故答案为：-2. 【点睛】
这个题目考查了求数列中的某些项，一般方法是求出数列通项，对于数列通项不容易求的题目，可以列出数列的一些项，得到数列的周期或者一些其它规律，进而得到数列中的项.
17．【解析】【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式代值计算可得【详解】∵{an}{bn}为等差数列∴∵＝∴故答案为【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式属基础题
解析：1941
【解析】 【分析】
由等差数列的性质和求和公式可得原式11
11
S T =，代值计算可得． 【详解】
∵{a n }，{b n }为等差数列，
∴
9393936
57846666
222a a a a a a a b b b b b b b b ++=+==++ ∵
61111111111622a S a a T b b b +==+＝211319411341
⨯-=⨯-，∴661941a b =， 故答案为
19
41
. 【点睛】
本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．
18．【解析】【分析】先根据条件列关于公差的方程求出公差后代入等差数列通项公式即可【详解】设等差数列的公差为【点睛】在解决等差等比数列的运算问题时有两个处理思路一是利用基本量将多元问题简化为首项与公差（公 解析：63n a n =-
【解析】 【分析】
先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，
13334366a d d d =∴+++=∴=Q ，，，36(1)6 3.n a n n ∴=+-=-
【点睛】
在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简化为首项与公差（公比）问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确：二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.
19．或【解析】【分析】先化简不等式再变量分离转化为对应函数最值问题最后根据二次函数最值以及解不等式得结果【详解】即即因为当时所以或故答案为：或【点睛】本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值考查综合分析
解析：m ≤或m ≥ 【解析】 【分析】
先化简不等式，再变量分离转化为对应函数最值问题，最后根据二次函数最值以及解不等式得结果. 【详解】
2()4()(1)4()x
f m f x f x f m m -≤-+Q
22222()14(1)(1)14(1)x
m x x m m
∴---≤--+- 即2
2
21(41)230m x x m
+---≥ 即222123341,()2
m x m x x +-
≥+≥ 因为当3
2
x ≥时223238
3932
4
x x +≤+=
所以2
2
21834134m m
m +-
≥∴≥∴32m ≤-或32
m ≥ 故答案为：32m ≤-或3
2
m ≥ 【点睛】
本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
20．或【解析】【分析】先画出不等式组所代表的平面区域解释目标函数为直线在轴上的截距由目标函数取得最大值的最优解不唯一得直线应与直线或平行从而解出的值【详解】解：画出不等式组对应的平面区域如图中阴影所示将
解析：2或1-. 【解析】 【分析】
先画出不等式组所代表的平面区域，解释目标函数为直线=+y ax z 在y 轴上的截距，由目标函数=+z ax y -取得最大值的最优解不唯一，得直线=+y ax z 应与直线20x y +-=或
220x y -+=平行，从而解出a 的值.
【详解】
解：画出不等式组20220220x y x y x y +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
对应的平面区域如图中阴影所示
将=+z ax y -转化为=+y ax z ，所以目标函数z 代表直线=+y ax z 在y 轴上的截距 若目标函数=+z ax y -取得最大值的最优解不唯一
则直线=+y ax z 应与直线20x y +-=或220x y -+=平行，如图中虚线所示 又直线20x y +-=和220x y -+=的斜率分别为1-和2 所以2a =或1a =- 故答案为：2或1-.
【点睛】
本题考查了简单线性规划，线性规划最优解不唯一，说明目标函数所代表的直线与不等式
组某条边界线平行，注意区分最大值最优解和最小值最优解.
三、解答题
21．（1）1
2
；（2 【解析】 【分析】
（1）在ΔABC 中，由余弦定理，求得BC =进而利用三角形的面积公式，即可求
解；
（2）利用三角函数的诱导公式化和恒等变换的公式，求解sin BCA ∠=
，再在ΔABC 中，利用正弦定理和余弦定理，即可求解. 【详解】
（1）在ΔABC 中，222AC AB BC 2AB BC COS ABC ∠=+-⋅⋅
即251BC BC =++ 2BC 40⇒+-=,解得BC =.
所以ΔABC 111S AB BC sin ABC 12222
∠=
⋅⋅=⨯=.
（2）因为0BAD 90,sin CAD 5∠∠==
,所以cos BAC 5
∠=，
sin BAC ∠=
π
sin BCA sin BAC 4所以∠∠⎛⎫
=- ⎪⎝⎭ )cos BAC sin BAC ∠∠=-
25510⎛=-= ⎝⎭
.
在ΔABC 中，
AC AB sin ABC sin BCA ∠∠=, AB sin ABC
AC sin BCA
∠∠⋅∴=
=
222CD AC AD 2AC AD cos CAD ∠=+-⋅⋅所以 5162413=+-=
所以CD = 【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
22．（1）32n a n =+；（2）6226n
n T n =⨯+-
【解析】
【分析】
（1）先由条件可以判断出数列是递增数列，再由等差数列的性质：
m n p q m n p q a a a a +=+⇒+=+ 可以求得110,a a ，然后根据等差数列通项公式即可求
解.
(2)由（1）可得数列n b 的通项公式，然后利用分组求和即可求解. 【详解】
（1）等差数列{}n a 中，111038,37n n a a a a a a +>+=+=，
110110
160
37a a a a ⋅=⎧⎨
+=⎩ 解得110
532a a =⎧⎨=⎩
325
3101
d -∴=
=-， ()51332n a n n ∴=+-⨯=+.
（2）由（1）知，12322b a ==⨯+，24342b a ==⨯+，…2322n n
n b a ==⋅+，
()()()
12322342322n n n S b b b ∴=+++=⨯++⨯+++⋅+L L (
)
1
22324223212
n n
n n +-=⨯++++=⨯+-L
13262n n +=⨯-+ 6226n n =⨯+-.
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式、性质、等比数列的求和公式、利用“分组求和法”求数列前n 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减；解题中需要熟练掌握公式和性质，对计算能力要求较高. 23．（1）112n a n =+;（2）1422
n n n S ++=-. 【解析】 【分析】 （1）方程的两根为2,3，由题意得233,2a a ==，在利用等差数列的通项
公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n 项和公式即可求出．
【详解】
方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2，3. 由题意得a 2＝2，a 4＝3.
设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12，从而得a 1＝32
. 所以{a n }的通项公式为a n ＝1
2
n ＋1. （2）设2n n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为S n ， 由（1）知2n n a ＝1
22n n ++， 则S n ＝
232＋3
42
＋…＋12n n +＋12
2n n ++， 12S n ＝332＋442＋…＋112n n ++＋222
n n ++， 两式相减得
1
2S n ＝34＋31112
2n +⎛⎫+⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭－222n n ++
＝
34＋111142n -⎛
⎫- ⎪⎝⎭－222
n n ++， 所以S n ＝2－
14
2
n n ++. 考点：等差数列的性质；数列的求和． 【方法点晴】
本题主要考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前n 项和公式、一元二次方程的解法等知识点的综合应用，解答中方程
的两根为2,3，由题意得
233,2a a ==，即可求解数列的通项公式，进而利用错位相减法求和是解答的关键，着重
考查了学生的推理能力与运算能力，属于中档试题． 24．（Ⅰ）6
π
；（Ⅱ）23+. 【解析】
分析：（13sin 2sin cos B B A =． （2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-结合基本不等式进行求解． 3sin cos 2sin cos 3sin cos A C B A C A = ()3sin 2sin cos A C B A +=3sin 2sin cos B B A = 又B 为三角形内角，所以sin 0B ≠，于是3cos A = 又A 为三角形内角，所以6
A π
=
．
（Ⅱ）由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-
得：224222
b c bc bc =+-≥，
所以(42bc ≤+
，所以1
sin 22
S bc A =
=. 点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的应用，属于中档题．
25．（1）32n a n =-，2n
n b =，*
n N ∈；（2）()14328
3
n n +-+，*n N ∈.
【解析】 【分析】
（1）由等差数列和等比数列的基本量法求数列的通项公式； （2）用错位相减法求和． 【详解】
（1）数列{}n b 公比为q ，则2
232212b b q q +=+=，∵0q >，∴2q =，
∴2n
n b =，
{}n a 的公差为d ，首项是1a ，
则41328a a b ==-，4
11411112176S b ==⨯=，
∴111328
1110111762a d a a d +-=⎧⎪
⎨⨯+⨯=⎪⎩
，解得113a d =⎧⎨=⎩． ∴13(1)32n a n n =+-=-．
（2）21221(62)2n n n a b n --⋅=-⋅，数列{}221n n a b -⋅的前n 项和记为n T ，
352142102162(62)2n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⋅L ，①
23572121242102162(68)2(62)2n n n T n n -+=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅L ，②
①－②得：3521
2138626262
(62)2n n n T n -+-=+⨯+⨯++⨯--⨯L 1218(14)
86(62)214
n n n -+-=+⨯--⨯-14(23)8n n +=--，
∴14(32)83
n n n T +-+=．
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和及错位相减法求和．在求等差数列和等比数列的通项公式及前n 项和公式时，基本量法是最基本也是最重要的方法，务必掌握，数列求和时除公式法外，有些特殊方法也需掌握：错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法等等．
26．(Ⅰ)2n
n a =或()2n
n a =--(Ⅱ)12
【解析】 【分析】
（1）先设数列{}n a 的公比为q ，根据题中条件求出公比，即可得出通项公式； （2）根据（1）的结果，由等比数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】
（1）设数列{}n a 的公比为q ，
27
5
4a q a ∴=
=， 2q ∴=±，
2n n a ∴=或(2)n n a =--.
（2）2q =时，()2122212612
n n n
S -==-=-，解得6n =；
2q =-时，()21(2)21(2)12612
3
n n
n
S --⎡⎤=
=--=⎣⎦+， n 无正整数解；
综上所述6n =. 【点睛】
本题主要考查等比数列，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于基础题型.。