山东省潍坊市王俊乡中学2018年高三数学文下学期期末试卷含解析

山东省潍坊市王俊乡中学2018年高三数学文下学期期
末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合，则（）
A. (-1,3)
B.
C.
D.
参考答案：
C
略
2. 抛物线（＞）的焦点为，已知点、为抛物线上的两个动点，且满
足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为( )
A. B. 1 C.
D. 2
参考答案：
【知识点】抛物线重要不等式 H7 E6
A如下图所示，设.
则，，所以
故选A.
【思路点拨】由抛物线性质可得，余弦定理得，再利
用重要不等式即可得 .
3.
展开式的第三项为10，则y关于x的函数图象大致形状
为（）
参考答案：
答案:A
4. 定义全集U的子集的特征函数为，这里表示集合在全集U中的补集，已，给出以下结论：①若，则对于任意，都有；②对于任意都有；③对于任意，都有；④对于任意，都有. 则结论正确的是
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
参考答案：
略
5. 已知、、是单位圆上三个互不相同的点.若，则的最小值是（）
(A)．（B）．（C）
．（D）．
参考答案：
C
6. 已知集合，，则（）A．B．C． D．
参考答案：
7. 已知函数f（x）＝3sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），，对任意x∈R恒有
，且在区间（，）上有且只有一个x1使f（x1）＝3，则ω的最大值为
A．
B．
C．
D．
参考答案：
C
8. 一观览车的主架示意图如图所示，其中为轮轴的中心，距地面32m（即长），巨轮的半径为30m，m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点为吊舱的初始位置，经过分钟，该吊舱距离地面的高度为m，则=
A. B.
C. D.
参考答案：
B
略
9. 已知函数R．
(I)求函数f(x)的最小正周期；
(II)在ABC中，若A=，锐角C满足，求的值．
参考答案：
解：（Ⅰ）因为
，………………………………………4分所以函数的最小正周期为………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，…………………8分
由已知，，又角为锐角，所以，……………………………10分
由正弦定理，得……………………………12分
略
10. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”. 给出下列函数：
①；②；
③；④.
其中“同簇函数”的是( )
A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【解析】若为“同簇函数”，则振幅相同，将函数进行化简
①，③，所以②③振幅相同，所以选C.
参考答案：
若为“同簇函数”，则振幅相同，将函数进行化简①，
③，所以②③振幅相同，所以选C.
【答案】C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 经过点且在y轴上截距为2的直线的方程为______________________.
参考答案：
略
12. 若满足，则的最大值为
参考答案：
13. 设等比数列的公比，前项和为，则．
参考答案：
15
略
14. 已知，，且
则．
，
参考答案：
15. 函数f（x）=在x=1处的切线l方程是，以直线l与y轴的交点为焦点的抛物线标准方程是．
参考答案：
x﹣2y+1=0, x2=2y.
【考点】抛物线的简单性质；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】根据题意，对函数f（x）=求导可得其导数，由导数的几何意义可得函数f （x）=在x=1处的切线l方程的斜率k，再求得f（1）的值，即可得切点的坐标，由直线的点斜式方程可得其切线的方程，进而可得直线与y轴交点的坐标，由抛物线的标准方程计算可得答案．
【解答】解：根据题意，对于函数f（x）==，有y′=，
则函数f（x）=在x=1处的切线l方程的斜率k==，
又由函数f（x）=，则f（1）=1，即切点的坐标为（1，1），
则有函数f（x）=在x=1处的切线l方程：y﹣1=（x﹣1），即x﹣2y+1=0；
对于直线x﹣2y+1=0，其与y轴的交点为（0，），
以（0，）为焦点的抛物线中必有p=2×=1，焦点在y轴上，
则其标准方程为：x2=2y；
故答案为：x﹣2y+1=0，x2=2y．
16. 已知正方形ABCD边长为2，E为AB边上一点，则?的最小值为．
参考答案：
3
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】以B点为原点，建立如图所示的坐标系，根据向量的坐标运算即可求出答案．【解答】解：以B点为原点，建立如图所示的坐标系，
∵正方形ABCD的边长为2，点E是AB边上的点，
设E（0，y），则y∈[0，2]；
又D（2，2），C（2，0），
∴=（2，2﹣y），=（2，﹣y），
∴?=2×2+（2﹣y）×（﹣y）=y2﹣2y+4=（y﹣1）2+3，
当y=1时，?取得最小值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查向量数量积的计算问题，解题时要注意数形结合法的合理运用．
17. 设等比数列的前项和为，若成等差数列，且，其中，则的值为．
参考答案：
135
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在数列中，点在直线上，数列满足条件：
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)若求成立的正整数的最小值.
参考答案：
解: (Ⅰ)依题意
又而，数列是以2为首项，2为公比的等比数列.
即得，为数列的通项公式.
(Ⅱ)由
上两式相减得
由，即得，
又当时，，当时，
故使成立的正整数的最小值为5.
略
19. （12分）如图甲，△ABC是边长为6的等边三角形，E，D分别为AB，AC靠近B，C的三等分点，点G为边BC边的中点，线段AG交线段ED于点F．将△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，连接AB，AC，AG，形成如图乙所示的几何体．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面AFG
（Ⅱ）求四棱锥A﹣BCDE的体积．
参考答案：
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．
专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．
分析：（Ⅰ）由图形折叠前后的特点可知DE⊥AF，DE⊥GF，ED∥BC，由线面垂直的判定和性质定理，即可得证；
（Ⅱ）由面面垂直的性质定理，得到AF⊥平面BCDE，再由棱锥的体积公式即可得到答案．
解答：（Ⅰ）证明：在图甲中，由△ABC是边长为6的等边三角形，
E，D分别为AB，AC靠近B，C的三等分点，
点G为边BC边的中点，得
DE⊥AF，DE⊥GF，ED∥BC，
在图乙中仍有，DE⊥AF，DE⊥GF，且AF∩GF=F，
∴DE⊥平面AFG，
∵ED∥BC，∴BC⊥平面AFG；
（Ⅱ）解：∵平面AED⊥平面BCDE，AF⊥ED，
∴AF⊥平面BCDE，
∴V A﹣BCDE=AF?S BCDE=××4×（36﹣×16）=10．
点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面垂直的判定和性质定理，以及面面垂直的性质定理，同时考查棱锥的体积计算，属于基础题．
20. 如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF=FA．
（1）求证：平面PAC⊥平面BEF；
（2）求平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值．
参考答案：
考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．
专题：综合题．
分析：（1）证明AC⊥平面PBC，可得AC⊥BE，又BE⊥PC，可得BE⊥平面PAC，从而可得平面PAC⊥平面BEF；
（2）取AF的中点G，AB的中点M，连接CG，CM，GM，证明平面CMG∥平面BEF，则平面CMG与平面平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）．
解答：（1）证明：∵PB⊥底面ABC，且AC?底面ABC，∴AC⊥PB，
由∠BCA=90°，可得AC⊥CB，
又∵PB∩CB=B，∴AC⊥平面PBC，
∵BE?平面PBC，∴AC⊥BE，
∵PB=BC，E为PC中点，∴BE⊥PC，
∵AC∩PC=C，∴BE⊥平面PAC，
∵BE?平面BEF，∴平面PAC⊥平面BEF；
（2）解：取AF的中点G，AB的中点M，连接CG，CM，GM，
∵E为PC的中点，2PF=AF，∴EF∥CG，
∵CG?平面BEF，EF?平面BEF，
∴CG∥平面BEF．
同理可证：GM∥平面BEF，∵CG∩GM=G，∴平面CMG∥平面BEF．
则平面CMG与平面平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）．
∵PB⊥底面ABC，CM?平面ABC
∴CM⊥PB，
∵CM⊥AB，PB∩AB=B，∴CM⊥平面PAB，
∵GM?平面PAB，∴CM⊥GM，
而CM为平面CMG与平面ABC的交线，
又AM?底面ABC，GM?平面CMG，∴∠AMG为二面角G﹣CM﹣A的平面角
根据条件可知AM=，AG=，
在△PAB中，cos∠GAM=，
在△AGM中，由余弦定理求得MG=，∴cos∠AMG=，
故平面ABC与平面PEF所成角的二面角（锐角）的余弦值为．
点评：本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确作出面面角，属于中档题．
21. 如图，直角三角形ABC中，A=60°，沿斜边AC上的高BD，将△ABD折起到△PBD的位置，点E在线段CD上．
（1）求证：PE⊥BD；
（2）过点D作DM⊥BC交BC于点M，点N为PB中点，若PE∥平面DMN，求．
参考答案：
【考点】直线与平面平行的性质．
【分析】（1）由BD是AC边上的高，得出BD⊥CD，BD⊥PD，由此证明BD⊥平面PCD，即可证明PE⊥BD；
（2）连接BE，交DM与点F，由PE∥平面DMN，得出PE∥NF，证明△DEF是等边三角形，
再利用直角三角形的边角关系求出的值即可．
【解答】解：（1）∵BD是AC边上的高，
∴BD⊥CD，BD⊥PD，
又PD∩CD=D，
∴BD⊥平面PCD，
又PE?平面PCD中，
∴BD⊥PE，即PE⊥BD；
（2）如图所示，
连接BE，交DM与点F，
∵PE∥平面DMN，
∴PE∥NF，
又点N为PB中点，
∴点F为BE的中点；
∴DF=BE=EF；
又∠BCD=90°﹣60°=30°，
∴△DEF是等边三角形，
设DE=a，则BD=a，DC=BD=3a；
∴==．
【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了空间想象能力与逻辑推理能力的应用问题，是综合性题目．
22. 已知抛物线C的标准方程为，M为抛物线C上一动点，
为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N.当A为抛物线C的焦点且直线与其对称轴垂直时，的面积为18.
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）记，若t值与点M位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由.
参考答案：
（1）由题意，，
，抛物线的标准方程为. （4分）
（2）设，设直线的方程为，联立得
..
由对称性，不妨设.
①当时，同号，
又
，
不论取何值，均与有关，即时，不是“稳定点”.
②当时，异号.
又，
当且仅当时，与无关，此时的点为“稳定点”.（12分）。