磁场(旋转圆,缩放圆,移动圆)之欧阳物创编

旋转圆问题
时间：2021.02.07 命题人：欧阳物
1，宽h=2cm的有界且有垂直纸面向内的匀强磁场，纵向范围足够大，现有一群带正电的粒子从0点以相同的速率沿纸面不同方向进入磁场，若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径均为R=5cm，求匀强磁场右边界粒子射出的范围。

2在真空中，半径为r=3×10-2m的圆形区域内，有一匀强磁场，磁场的磁感应强度为B=0.2T，方向如图所示，一带正电粒子，以初速度v0=106m/s的速度从磁场边界上直径ab一端a点处射入磁场，已知该粒子荷质比为q/m=108C/kg，不计粒子重力，则
（1）粒子在磁场中匀速圆周运动的半径是多少？
（2）若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应如何（以v0与Oa的夹角θ表示）？最大偏转角多大？
3 如图，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里．许多质量为m带电量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射人磁场区域．不计重力，不计粒子间的相互影响．下列图中阴影部分表示带电粒子能经过区域，其
中R=mv/qB．哪个图是正确的？（）
A B
C D
4 如图所示，在屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。

P为屏上的一小孔，PC与MN垂直，一群质量为m的粒子（不计重力），一相同速率V，从P出沿垂直与磁场的方向射入磁场范围，粒子入射方向在于磁场B垂直的屏面内，且三开在于PC夹角为θ的范围内。

则在屏MN上被粒子打中的区域的长度为
A B C D .
5：如图，电子源S能在图示纸面360°范围内发射速率相同的电子（质量为m，电量为e），M、N是足够大的竖直挡板，与S的水平距离OS＝L，挡板左侧是垂直纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。

（1）要使发射的电子能到达挡板，电子速度至少为多大？（2）若S发射的电子速率为eBL/m时，挡板被电子击中的范围有多大？
6如图所示，A1、A2为两块面积很大、相互平行的金属板，两板间距离为d，以A1板的中点为坐标原点，水平向右和竖
7如图，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点。

有无数带有同样电荷、具有同样质量的粒子在纸面内沿各个方向以相同的速率通过P 点进入磁场。

这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的1/3。

将磁感应强度的大小从原来的B1变为B 2，结果相应的弧长变为原来的一半，则B2/B1等于
A ．
B ．
C ．2
D ．3
8在半径为R 的圆形区域内，存在垂直圆面的匀强磁场。

圆边上的P 处有一粒子源，不
沿垂直于磁场的各个方向，向磁场区发射速率均为0v 的同种
粒子，如图所示。

现测得：当
磁感应强度为1B 时，粒子均从由P 点开始弧长为R π21的圆周范围内射出磁场；当磁感应强度为2B 时，粒子则都从由P 点开始弧长为R π32的
圆周范围内射出磁场。

不计粒子的重力，则
A ．前后两次粒子运动的轨迹半径比为3:2:21=r r
B ．前后两次粒子运动的轨迹半径比为3:2:21=r r
C ．前后两次磁感应强度的大小之比为3:2:21=
B B D ．前后两次磁感应强度的大小之比为2:3:21=B B
第21题图
9如图所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P 为磁场边界的一点。

大量比荷大小分别为k1、
k2的带电粒子以相同的速率v经过P点，在纸
面内沿不同方向射入磁场。

其中，比荷大小为
是k1的粒子在磁场边界的出射点分布在四分
之一圆周PM上；比荷大小为是k2的粒子在磁场边界的出射点分布在三分之一圆周PN上，不计重力及带电粒子
之间的相互作用。

则k1:k2为
A．6:2B．6:3C．2:6D．3:6
10如图所示，在边长L＝8 cm的正方形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B0＝0.1 T．距AB、AD 边均为d＝1 cm的P点有一粒子，能在纸面内向各个方向发射出速率不同的带正电的粒子，粒子的质量m＝1.0×10－14? kg，粒子的电荷量q＝1.0×10－5 C，粒子的重力可忽略不计，不考虑带电粒子之间的相互作用．(计算结果可保留根号)
(1)速率在什么范围内的粒子将不可能射出磁场，被完全约束在正方形内？
(2)速度大小为5.0×106 m/s的粒子将从BC边的什么范围内射出？
11如图所示，在0≤x≤a，0≤y≤范围内有垂直于xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。

坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正
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2021.02.07
电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0~90°范围内。

已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。

求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的(1)速度的大小；(2)速度方向与y轴正方向夹角的正弦。

12如图所示，S处有一电子源，可向纸面内任意方向发射电子，平板MN垂直于纸面，在纸面内的长度L＝9.1cm，中点O与S间的距离d＝4.55cm，MN与SO直线的夹角为θ，板所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B＝2.0×10－4T，电子质量m＝9.1×10－31kg，电量e＝－1.6×10－19C，不计电子重力。

电子源发射速度v＝1.6×106m/s的一个电子，该电子打在板上可能位置的区域的长度为l，则
（排版问题图片见第九题，）
A．θ＝90°时，l＝9.1cm B．θ＝60°时，l＝9.1cm
C．θ＝45°时，l＝4.55cm D．θ＝30°时，l ＝4.55cm
缩放圆问题
1如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd 区域内，O点是cd边的中点．一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场．现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是（）
A．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ad边射出磁场
B ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从cd 边射出磁场
C ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从bc 边射出磁场
D ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ab 边射出磁场
2如图所示，等腰直角三角形abc 的直角边长度为L ，该区域内存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B 。

三个相同的带电粒子从b 点沿bc 方向
分别以速度v1、v2、v3射入磁场，在磁场中
运动的时间分别为t1、t2、t3，且t1：t2：t3=2：
2：1。

不计粒子的重力，下列说法正确的是
A ．三个速度的大小关系一定是v1= v2< v3
B ．三个速度的大小关系可能是v1< v2< v3
C ．粒子的比荷12q m Bt π=
D ．粒子的比荷32v q m BL =
3
磁场中的复杂运动形式
如图所示，在的区域I内有垂直于纸面向里的匀强磁场，在的区域Ⅱ内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强崖的大小均为。

质量为m、电荷量为的粒子沿x轴从原点O射入磁场。

当粒子射人速度不大于v0时，粒子在磁场中运动的时间都相同，求：
(1)速度v0的大小；
(2)若粒子射人磁场的速度大小为，其轨迹与
轴交点的横坐标；
(3)调节区域Ⅱ磁场的磁感强度为，使粒予以
速度轴射入时，粒子均从O点射
出磁场，n与满足的关系。

磁聚焦原理图解
1圆形磁场区域半径与粒子轨道半径一样大
2从圆心打出的任意方向的粒子最终水平飞出
3可逆性
数学公式推导
设速度夹角为a，粒子运动半径为r，磁场半径
也为r，则粒子圆心的横纵坐标为X=rsina Y=rcosa
显然，所有圆心的轨迹方程依然是圆X2+y2=r2 圆心在坐
标原点，半径为r 下面求粒子的出点坐标（x1，y1）磁场圆的参数方程： X2+（y-r ）2=r2 粒子的轨迹参数方程： （X-rsina ）2+（y-rcosa ）2=r2
将出点坐标代入两个方程解：x1=rsina ，y1=r+rcosa
说明出点的和圆心在同一竖直线上，即出点水平。

例题：在xoy 平面内有很多质量为m ，电量为e 的电子，从坐标原点O 不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如图所示．现加一垂直于xOy 平面向里、磁感强度为B 的匀强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于x 轴且沿x 轴正向运动，试问符合该条件的磁场的最小面积为多大？（不考虑电子间的相互作用） 如图，ABCD 是边长为a 的正方形。

质量为m 电荷量为e 的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC 边射入正方形区域。

在正方形内适当区域中有匀强磁场，电子从BC 边上的任意点入射，都只能从A 点射出磁场。

不计重力，求： （1）此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向； （2）此匀强磁场区域的最小面积 设匀强磁场的磁感应强度的大小为B 。

令圆弧AEC 是自C 点垂直于BC 入射的电子在磁场中的运行轨道。

依题意，圆心在A 、C 连线的中垂线上，故B 点即为圆心，圆半径为a ，
按照牛顿定律有 ev0B= mv02/a ，得B= mv0/ea 。

（1）自BC 边上其他点入射的电子运动轨道只能在BAEC 区域中。

因而，圆弧AEC 是所求的最小磁场区域的一个边界。

设某射中A 点的电子速度方向与BA 的延长线夹角为θ的情形。

该电子的运动轨迹qpA 如图所示。

图中圆弧Ap 的圆心为O ，pq 垂直于BC 边 ，圆弧Ap 的半径仍为a ，在D 为原点、DC 为x 轴、DA 为y 轴的坐标系中，p 点的坐标为(x ， A B C D E F p q O θ
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y)，则x=asinθ，y=-acosθ。

由④⑤式可得：x2+y2=a2，这意味着在范围0≤θ≤π/2内，p点处在以D为圆心、a为半径的四分之一圆周AFC上，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。

因此，所求的最小匀强磁场区域，是分别以B和D为圆心、a为半径的两个四分之一圆周AEC和AFC所围成的区域，其面积为S=2(πa2/4-a2/2) =(π-2)a2/2
（2009年浙江卷）如图，在xOy平面内与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。

在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q(q＞0)和初速度v的带电微粒。

发射时，这束带电微粒分布在0＜y＜2R的区间内。

已知重力加速度大小为g。

（1）从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小与方向。

（2）请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并说明理由。

（3）在这束带电磁微粒初速度变为2v，那么它们与x轴相交的区域又在哪里？并说明理由。

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如图，在xOy平面内，有以O′(R，0)为圆心，R为半径的圆形磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直xOy平面向外，在y=R上方有范围足够大的匀强电场，方向水平向右，电场强度大小为E。

在坐标原点O处有一放射源，可以在xOy 平面内向y 轴右侧（x >0）发射出速率相同的电子，已知电子在该磁场中的偏转半径也为R，电子电量为e，质量为m。

不计重力及阻力的作用。

（1）求电子射入磁场时的速度大小；
（2）速度方向沿x轴正方向射入磁场的电子，求它到达y 轴所需要的时间；
（3）求电子能够射到y轴上的范围
磁场与动量
1．在光滑绝缘的水平桌面上有三个质量均为m的小球A、D、C，其中只有A球带有电荷，带电荷量为+q，其余两球均不带电。

这三个小球的初始位置如图所示，即A与D、D 与C之间的距离均为L，A与C之间的距离为3L。

已知水平桌面上存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。

现给A球一个水平面内的初速度，使其在磁场中运动，其经过时间t1与D球发生碰撞，碰撞后结合在一起继续在水平桌面内做匀速圆周运动，又经过时间t2与C球发生碰撞，碰撞后三个小球结合在一起继续在水平桌面内做匀速圆周运动，又经过时间t3，三球恰好第一次经过A球运动的初始位置，不计小球之间碰撞的时间，下列判断正确的是（）
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2021.02.07
A ．A 球的初速度m BqL v =0，方向与AD 边成30°角
B ．A 球的初速度
m BqL v 230=，方向与
AC 边垂直 C ．t1：t2=1：2
D ．t1+t2=43
t E t1+t2+t3=2πm/qB
如图K37－10所示，以O 为圆心、MN 为直径的圆的左半部分内有垂直纸面向里的匀强磁场，三
个不计重力、质量相同、带电量相同的
带正电粒子a 、b 和c 以相同的速率分
别沿aO 、bO 和cO 方向垂直于磁场射
入磁场区域，已知bO 垂直MN ，aO 和cO 与bO 的夹角都为30°，a 、b 、c 三个粒子从射入磁场到射出磁场所用时间分别为ta 、tb 、tc ，则下列给出的时间关系可能的是( )
A ．ta<tb<tc
B ．ta>tb>tc
B ．ta ＝tb<tc D ．ta ＝tb ＝tc
时间：2021.02.07
命题人：欧阳物。