【学期】福建省莆田市2020届高三数学下学期教学质量检测3月试题文

【关键字】学期
2018年莆田市高中毕业班教学质量检测试卷
数学（文科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A．B．C．D．
2.设复数满足，则（）
A．B．C．D．
3.等比数列的前项和为，已知，，则（）
A．B．C．14 D．15
4.执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的（）
A．5 B．6 C.8 D．13
5.为了解某校一次期中考试数学成绩情况，抽取100位学生的数学成绩，得如图所示的频率分布直方图，其中成绩分组区间是，则估计该次数学成绩的中位数是（）
A．71.5 B．71.8 C.72 D．75
6.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、葵等十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、
酉、戌、亥等十二个符号叫地支．如：公元1984年农历为甲子年、公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年．则公元2047年农历为（）
A．乙丑年B．丙寅年 C.丁卯年D．戊辰年
7.已知为坐标原点，为抛物线的焦点，过作直线与交于两点．若，则重心的横坐标为（）A．B．2 C. D．3
8.已知函数，则下列说法正确的是（）
A．的最小正周期为B．在区间上是增函数
C. 的图像关于点对称D．的图像关于直线对称
9.甲乙两人被安排在某月1日至4日值班，每人各值班两天，则甲、乙均不连续值班的概率为（）
A．B． C. D．
10.如图，网络纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）
A．三棱锥B．四棱锥 C.三棱柱D．四棱柱
11.已知圆．若是圆上不同两点，以为边作等边，则的最大值是（）
A．B． C. 2 D．
12.已知直三棱柱外接球的表面积为，．若分别为棱上的动点，且，则直线被该三棱柱外接球球面截得的线段长为（）
A．B．2 C.4 D．不是定值
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每题小5分，共20分．
13.已知向量，．若，则．
14.若满足约束条件，则的最大值为．
15.已知数列满足，，则．
16.已知是上的偶函数，且．若关于的方程有三个不相等的实数根，则的取值范围是．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）如图，若，为外一点，，，求四边形的面积．
18.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售
量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近13年的宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
由散点图知，按建立关于的返回方程是合理的．令，则，经计算得如下数据：
（1）根据以上信息，建立关于的返回方程；
（2）已知这种产品的年利润与的关系为．根据（1）的结果，求当年宣传费时，年利润的预报值是多少？
附：对于一组数据，其返回直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 19.如图，四棱锥中，底面是平行四边形，分别为中点． （1）证明：平面；
（2）若是等边三角形，平面平面，，，求三棱锥的体积． 20.已知两定点，，动点使直线的斜率的乘积为． （
1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与交于两点，是否存在常数，使得？并说明理由． 21.已知函数，．
（1）若在定义域上是增函数，求的取值范围； （2）若存在b Z ∈，使得21
()(1)()2
q x b x p x ≤
+≤，求b 的值，并说明理由． （二）选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos x y α
α
=⎧⎪⎨=⎪⎩（α是参数）．以坐标原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()13
π
ρθ+=．
（1）求l 的直角坐标方程和C 的普通方程；
（2）l 与C 相交于,A B 两点，设点P 为C 上异于,A B 的一点，当PAB ∆面积最大时，求点P 到l 的距离．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()|||1|f x x a x =-+-．
（1）当2a =时，求不等式()4f x <的解集； （2）若2
()21f x a a ≥--，求a 的取值范围．
试卷答案
一、选择题
1-5:DBDCC 6-10:CBDBA 11、12：CA 二、填空题
13. 10- 14.4 15. 1
11
16. (0,2][3,4] 三、解答题
17.解：（1）在ABC ∆中，由正弦定理得sin cos sin C B B A +
=，
又()A B C π=-+，所以sin cos sin()2
C B B B C +
=+，
故sin cos 2
C B B +
sin cos cos sin B C B C =+，
所以sin cos B C B =
，
又(0,)B π∈，所以sin 0B ≠，故cos C =， 又(0,)C π∈，所以6
C π
=
．
（2）因为//AD BC ，故6
CAD ACB π
∠=∠=，
在ACD ∆中，2AD CD ==， 所以6
ACD CAD π
∠=∠=
，故23
ADC π∠=
， 所以222222222cos 123
AC π
=+-⨯⨯=， 又6ACB π
∠=
，AC BC =， 所以211
sin 3264ACB S AC BC AC π∆=⋅==，
又12sin 23
ACD S CD AD π
∆=⋅=
所以四边形ABCD
的面积为3．
18.解：（1）13
1
13
22
1
1313()i i
i i
i y y
b ωωω
ω∧
==-=
-∑∑ 2.10
100.21
-=
=-， 109.94100.16111.54a y b ω∧∧
=-=+⨯=，
则y 关于ω的回归方程为111.5410y ω∧
=-．
（2）依题意1010(111.5410)z y x x ω∧∧
=-=⨯--100
1115.4x x
=--， 当20x =时，1090.4z ∧
=， 所以年利润的预报值是1090.4.
19.解：（1）取AE 中点F ，连结,MF FN ． 因为AED ∆中，,F N 分别为EA ED 、中点， 所以1
//
2
FN AD ． 又因为四边形ABCD 是平行四边形，所以//BC AD ． 又M 是BC 中点，所以1
//
2
MC AD ，所以//FN MC ． 所以四边形FMCN 为平行四边形，所以//CN MF ， 又CN ⊄平面AEM ，MF ⊂平面AEM ， 所以//CN 平面AEM ．
（2）取BE 中点H ，连结AH ，则AH BE ⊥， 因为平面ABE ⊥平面BCE ，平面ABE 平面BCE BE =，AH ⊂平面ABE ，
所以AH ⊥平面BCE ．
又由（1）知//CN 平面AEM ，所以N AEM C AEM A MEC V V V ---==． 又因为M 为BC 中点， 所以1133A MEC MEC V S AH -∆=
⋅=1111
2322
BEC S AH ∆⋅⋅=⨯
⨯22⨯⨯=． 所以三棱锥N AEM -
20.解：（1）设(,)M x y ，由121
4
A M A M k k ⋅=-
， 得1
224y y x x ⋅=-+-，即2214x y +=．
所以动点M 的轨迹方程是2
21(2)4
x y x +=≠±． （2）因为2x ≠±，当直线PQ 的斜率为0时，与曲线C 没有交点，不合题意， 故可设直线PQ
的方程为x ty =-，
联立22440x y x ty ⎧+-=⎪⎨=-⎪⎩，消去x
得22
(4)10t y +--=，
设1122(,),(,)P x y Q x y
，则12y y +=
12
21
4
y y t =-+， 21224(1)
||1|4
t PQ y
y t +=+
-=+．
12(FP FQ x x ⋅=2
2
12122
1(1)4
t y y t y y t ++=+=-+． 故存在实数4λ=-，使得||4PQ FP FQ =-⋅恒成立． 21.解：（1）因为()ln(1)x
f x e a x =++在定义域上为增函数． 所以'()01
x a
f x e x =+
≥+在(1,)-+∞上恒成立， 即(1)x
a x e ≥-+在(1,)-+∞上恒成立．
令()(1)x
u x x e =-+，(1)x >-，则'()(2)0x
u x x e =-+<， 所以()u x 在(1,)-+∞上为减函数，故()(1)0u x u <-=，所以0a ≥． 故a 的取值范围为[0,)+∞． （2）因为21
()(1)()2
q x b x p x ≤
+≤， 取1x =，得ln 22b e ≤≤，又b Z ∈，所以1b =． 所以存在整数b ，当1b =时，21
ln(1)(1)(1)2
x x b x e x +≤
+≤>-．
令21()(1)ln(1)2g x x x =
+-+，则1(2)
'()111
x x g x x x x +=+-=
++， 令'()0g x =，得0x =．
()g x ，'()g x 的变化情况如下表：
所以0x =时，()g x 取到最小值，且最小值为1
(0)02
g =
>． 即21
()(1)2
q x x ≤
+． 令21()(1)2
x h x e x =-+，则'()(1)x
h x e x =-+，
令()1x
k x e x =--，由'()10x
k x e =-=，得0x =， 所以当10x -<<时，'()0k x <，()k x 在(1,0)-上单调递减， 当0x >时，'()0k x >，()k x 在(0,)+∞上单调递增， 所以()(0)0k x k ≥=，即1x e x ≥+．
因此'()0h x ≥，从而()h x 在(1,)-+∞上单调递增， 所以1()(1)0h x h e >-=>，即21
(1)()2
x p x +≤． 综上，1b =．
22.解：（1）因为直线l 的极坐标方程为cos()13
π
ρθ+
=，
所以1
(cos )12ρθθ=， 所以直线l
的直角坐标方程为20x --=．
曲线C
的参数方程为3cos x y α
α=⎧⎪⎨=⎪⎩
，（α是参数），
所以曲线C 的普通方程为22
193
x y +=． （2
）直线:20l x -=与曲线22
:193
x y C +=相交于A B 、两点，所以||AB 为定值． 要使PAB ∆的面积最大，只需点P 到直线l 的距离d 最大．
设点(3cos )P αα为曲线C 上任意一点．
则点P 到直线l 的距离|3cos 3sin 2|2d αα--
=|)2|
42
π
α+-=
， 当cos()14
π
α+
=-时，d
取最大值为2|
|122
-=+． 所以当PAB ∆面积最大时，点P 到l
的距离为1+
23.解：（1）当2a =时，不等式()4f x <，即|2||1|4x x -+-<．
可得2214x x x ≥⎧⎨
-+-<⎩，或12214x x x <<⎧⎨-+-<⎩，或1
214x x x ≤⎧⎨-+-<⎩
．
解得1722
x -
<<． 所以不等式的解集为17
{|}22
x x -
<<． （2）因为()|||1||1|f x x a x a =-+-≥-．
当且仅当()(1)0x a x --≤时，()f x 取得最小值|1|a -．
又因为对任意的2
,()21x f x a a ≥--恒成立，所以2
|1|21a a a -≥--， 即2
(1)|1|20a a ----≤，故|1|2a -≤，解得13a -≤≤． 所以a 的取值范围为[1,3]-．
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