高中数学人教B版必修第一册课时作业：3.1.2 第1课时 单调性的定义与证明

第三章 3.1 3.1.2 第1课时
请同学们认真完成 [练案20]
A 级 基础巩固
一、单选题(每小题5分，共25分) 1．函数y ＝x 2在区间[－1,2]上( D ) A ．是增函数 B ．是减函数
C ．既是增函数又是减函数
D ．不具有单调性
解析：画出函数y ＝x 2在区间[－1,2]上的图像如图所示．
由图像可知，函数y ＝x 2在区间[－1,2]上不具有单调性．
2．若函数f (x )在R 上是减函数，则下列关系式一定成立的是( D ) A ．f (a )＞f (2a ) B ．f (a 2)＜f (a ) C ．f (a 2＋a )＜f (a )
D ．f (a 2＋1)＜f (a 2)
解析：因为f (x )是R 上的减函数，且a 2＋1＞a 2，所以f (a 2＋1)＜f (a 2)．故选D ． 3．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的范围是( A ) A ．f (1)≥25 B ．f (1)＝25 C ．f (1)≤25
D ．f (1)＞25
解析：由y ＝f (x )的对称轴是x ＝m 8，可知f (x )在⎣⎡⎭⎫m 8，＋∞上递增，由题设得m 8≤－2，即m ≤－16，∴f (1)＝9－m ≥25.应选A ．
4．函数f (x )＝|x －1|＋3x 的单调递增区间是( D ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1] C ．[0，＋∞)
D ．(－∞，＋∞)
解析：f (x )＝|x －1|＋3x ＝⎩⎪⎨⎪⎧
4x －1，x ≥1，
2x ＋1，x ＜1，
∴函数f (x )＝|x －1|＋3x 的单调递增区间是(－∞，＋∞)．
5．已知函数f (x )＝2x 2－kx －3在[1,4]上具有单调性，则实数k 的取值范围为( D ) A ．(－∞，4]
B ．[16，＋∞)
C ．[4,16]
D ．(－∞，4]∪[16，＋∞)
解析：要使f (x )＝2x 2－kx －3在[1,4]上具有单调性，须使k 2×2≤1或k
2×2≥4，解得k ≤4
或k ≥16，故选D ．
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．函数y ＝f (x )的图像如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是__(－∞，1]，(1，＋∞)__.
解析：由函数图像可知，f (x )的递增区间为(－∞，1]，(1，＋∞)．
7．函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2)上是减函数，则f (1)＝__25__.
解析：由题意知函数f (x )的对称轴为x ＝－－m
2×4＝－2，所以m ＝－16，∴f (x )＝4x 2＋16x
＋5，∴f (1)＝25.
8．已知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且m ＝f (3
4)，n ＝f (a 2－a ＋1)，则m 与n 的大小关系
是__m ≥n __.
解析：a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥3
4，
∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数， ∴f (3
4)≥f (a 2－a ＋1)，
∴m ≥n .
三、解答题(共20分)
9．(6分)证明：函数y ＝x ＋9
x 在区间(0,3]上是减函数．
解析：任取0＜x 1＜x 2≤3，则有Δx ＝x 2－x 1＞0， Δy ＝y 2－y 1＝(x 2＋9x 2)－(x 1＋9
x 1)＝(x 2－x 1)－9(x 2－x 1)x 1x 2
＝(x 2－x 1)(1－
9
x 1x 2
)． ∵0＜x 1＜x 2≤3，
∴x 2－x 1＞0，9x 2x 1＞1，即1－9
x 2x 1＜0.
∴Δy ＝y 2－y 1＜0，
∴函数y ＝x ＋9
x
在(0,3]上是减函数．
10．(7分)讨论函数y ＝x 2－2(2a ＋1)x ＋3在区间[－2,2]上的单调性． 解析：∵函数图像的对称轴x ＝2a ＋1， ∴当2a ＋1≤－2，即a ≤－3
2时，
函数在[－2,2]上为增函数；
当－2＜2a ＋1＜2，即－32＜a ＜1
2
时，
函数在[－2,2a ＋1]上是减函数，在[2a ＋1,2]上是增函数； 当2a ＋1≥2，即a ≥1
2时，函数在[－2,2]上是减函数．
11．(7分)已知函数f (x )＝x ＋1
2x ＋2，x ∈[1，＋∞)．
(1)判断函数f (x )在区间[1，＋∞)上的单调性； (2)解不等式：f ⎝⎛⎭⎫2x －1
2＜f (x ＋1 007)． 解析：(1)设1≤x 1＜x 2， f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋
12x 1－x 2－1
2x 2
＝(x 1－x 2)＋x 2－x 12x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫
1－12x 1x 2 ＝(x 1－x 2)×2x 1x 2－1
2x 1x 2
.
由1≤x 1<x 2，得x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1， ∴2x 1x 2－1＞0.
∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在[1，＋∞)上为增函数． (2)∵f (x )在[1，＋∞)上为增函数，
∴f ⎝⎛⎭⎫2x －12＜f (x ＋1 007)⇒⎩⎨⎧
2x －1
2≥1，2x －12＜x ＋1 007，
解得34≤x ＜2 015
2
，
故原不等式解集为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x |3
4≤x ＜2 0152.
B 级 素养提升
一、选择题(每小题5分，共10分) 1．已知函数f (x )＝8＋2x －x 2，那么( D ) A ．f (x )在(－∞，0)上是减函数 B ．f (x )是减函数 C ．f (x )是增函数
D ．f (x )在(－∞，0)上是增函数
解析：函数f (x )＝8＋2x －x 2的图像为开口向下，对称轴是x ＝1的抛物线，∴函数f (x )在(－∞，0)上是增函数．
2．函数y ＝|x ＋2|在区间[－3,0]上是( C ) A ．递减 B ．递增 C ．先减后增
D ．先增后减
解析：y ＝|x ＋2|＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋2 (x ≥－2)－x －2 (x <－2)，
作出y ＝|x ＋2|的图像， 易知在[－3，－2]上为减函数， 在[－2,0]上为增函数．
二、多选题(每小题5分，共10分)
3．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为减函数的是( AD ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1
x ＋1
D ．f (x )＝－|x |
解析：选项A 中，f (x )＝3－x 在R 上单调递减；选项B 中，f (x )＝x 2－3x 在⎝⎛⎭⎫32，＋∞上为增函数，在⎝⎛⎦⎤－∞，32上为减函数；选项C 中，f (x )＝－1
x ＋1在(－∞，－1)和(－1，＋∞)上为增函数，选项D 中，f (x )＝－|x |在(0，＋∞)上为减函数．
4．下列说法中，正确的是( AD )
A ．若对任意x 1，x 2∈I ，当x 1＜x 2时，f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2＞0，则y ＝f (x )在I 上是增函数
B ．函数y ＝x 2在R 上是增函数
C ．函数y ＝－1
x
在定义域上是增函数
D ．函数y ＝1
x
的单调减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)
解析：由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2
＞0知Δy Δx ＞0，因此y ＝f (x )是增函数，故A 正确．y ＝x 2、y ＝－1
x 都有
增区间，但不是增函数，y ＝1
x
单调减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，故AD 正确．
三、填空题(每小题5分，共10分)
5．函数f (x )＝|x 2＋2x －3|的单调递增区间为__(－3，－1)，(1，＋∞)__.
解析：令g (x )＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4.先作出g (x )的图像，保留其在x 轴及x 轴上方部分，再把它在x 轴下方的图像翻折到x 轴上方就得到f (x )＝|x 2＋2x －3|的图像，如图所示．
由图像易得，函数的递增区间是(－3，－1)，(1，＋∞)．
6．函数f (x ＋1)＝x 2－2x ＋1的定义域是[－2,0]，则f (x )的单调递减区间是__[－1,1]__. 解析：f (x ＋1)＝x 2－2x ＋1，令t ＝x ＋1，所以x ＝t －1，所以f (t )＝(t －2)2，t ∈[－1,1]，即f (x )＝(x －2)2，x ∈[－1,1]，作出图像如图，结合图像可知[－1,1]是函数f (x )的减区间．
四、解答题(共10分)
7．讨论函数f (x )＝ax ＋1x ＋2(a ≠1
2)在(－2，＋∞)上的单调性．
解析：设x 1、x 2为(－2，＋∞)内的任意两个实数，且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝ax 2＋1x 2＋2－ax 1＋1x 1＋2
＝(ax 2＋1)(x 1＋2)－(ax 1＋1)(x 2＋2)
(x 1＋2)(x 2＋2)
＝
(2a －1)(x 2－x 1)
(x 1＋2)(x 2＋2)
.
∵x 1>－2，x 2>－2，x 1<x 2， ∴x 1＋2>0，x 2＋2>0，x 2－x 1>0.
因此，当a >1
2时，2a －1>0，此时f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 1)<f (x 2)，此时函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－
2，＋∞)上是增函数；
当a <1
2时，2a －1<0，此时f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 1)>f (x 2)，此时函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋
∞)上是减函数．
由Ruize收集整理。

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