2018年数学同步优化指导湘教版选修4-5练习：阶段质量

阶段质量评估(二) 绝对值不等式
A 卷
(时间：60分钟 满分：80分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A ＝{x ||x －2|＞2}，B ＝{x |x ∈N }，则(∁R A )∩B 等于( ) A ．{1,2,3} B ．{0,1,2,3} C ．{0,1,2,3,4}
D ．{1,2,3,4}
解析：解不等式|x －2|＞2，得x ＞4，或x ＜0. ∴A ＝{x |x ＞4，或x ＜0}，则∁R A ＝{x |0≤x ≤4}． ∴(∁R A )∩B ＝{0,1,2,3,4}． 答案：C
2．不等式|5x －x 2|＜6的解集为( ) A ．{x |x ＜2，或x ＞3} B ．{x |－1＜x ＜6} C ．{x |－1＜x ＜2或3＜x ＜6}
D ．{x |2＜x ＜3}
解析：|5x －x 2
|＜6⇔－6＜5x －x 2
＜6⇔⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－5x －6＜0，
x 2－5x ＋6＞0，
∴－1＜x ＜2或3＜x ＜6. 答案：C
3．对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥|x －1－x |＋|y －1－(y ＋1)|＝1＋2＝3. 答案：C
4．若关于x 的不等式|ax ＋2|＜6的解集为(－1,2)，则实数a 的值是( ) A ．8 B ．2 C ．－4
D ．－8
解析：由|ax ＋2|＜6，得－8＜ax ＜4. 当a ＞0时，－8a ＜x ＜4
a .
∵解集是(－1,2)，
∴⎩⎨⎧
－8
a
＝－1，4a ＝2.
该方程组无解． 当a ＜0时，4a ＜x ＜－8
a
.
由⎩⎨⎧
4
a
＝－1，－8
a ＝2，
得a ＝－4.
答案：C
5．已知y ＝log a (2－ax )在(0,1)上是增函数，则不等式log a |x ＋1|＞log a |x －3|的解集为( ) A ．{x |x ＜－1} B ．{x |x ＜1} C ．{x |x ＜1且x ≠－1}
D ．{x |x ＞1}
解析：∵a ＞0，且a ≠1，∴f (x )＝2－ax 在R 上为减函数． 又∵y ＝log a (2－ax )在(0,1)上是增函数， ∴0＜a ＜1.
∴|x ＋1|＜|x －3|，且x ＋1≠0，x －3≠0. 由|x ＋1|＜|x －3|，得(x ＋1)2＜(x －3)2. 即x 2＋2x ＋1＜x 2－6x ＋9，解得x ＜1. 又x ≠－1且x ≠3，
∴解集为{x |x ＜1且x ≠－1}． 答案：C
6．若关于x 的不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )
A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
B ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)
C ．(－∞，－4]∪[1，＋∞)
D ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)
解析：∵|x ＋3|－|x －1|≤|(x ＋3)－(x －1)|＝4， ∴a 2－3a ≥4，即a 2－3a －4≥0. 解得a ≤－1或a ≥4. 答案：A
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上) 7．若不等式|x －a |＋3x ≤0(其中a ＞0)的解集为{x |x ≤－1}，则实数a 的值是__________. 解析：∵a ＞0，x ≤－1，
∴x ＜a .∴原不等式可化为a －x ＋3x ≤0，
解得x ＝－a
2
.
∴不等式组的解集为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪
⎪
x ≤－a 2. 由题意，得－a
2＝－1，故a ＝2.
答案：2
8．定义运算：x *y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x ，x ≤y ，
y ，x ＞y .若|m －1|*m ＝|m －1|，则m 的取值范围是__________.
解析：依题意，有|m －1|≤m ，∴－m ≤m －1≤m . 解得m ≥1
2.
答案：⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 9．给出下列三个命题： ①若|a －b |＜1，则|a |＜|b |＋1； ②若a ，b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |； ③若|x |＜2，|y |＞3，则⎪⎪⎪⎪x y ＜2
3. 其中正确的有__________个．
解析：∵|a |－|b |≤|a －b |＜1，∴|a |＜|b |＋1. ∴①正确．
∵|a ＋b |－2|a |＝|a ＋b |－|2a |≤|a ＋b －2a | ＝|b －a |＝|a －b |. ∴②正确． ∵|x |＜2，|y |＞3， ∴⎪⎪⎪⎪x y ＝|x ||y |＜23.∴③正确． 答案：3
三、解答题(本大题共3小题，共35分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
10．(本小题满分10分)解不等式|2x －1－x |＜2. 解：原不等式⇔⎩⎨
⎧
2x －1－x ＜2，
2x －1－x ＞－2.
∵2x －1－x ＜2⇔2x －1＜x ＋2
⇔⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －1≥0，x ＋2≥0，2x －1＜(x ＋2)2，
∴x ≥12
.
又2x －1－x ＞－2⇔⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －1≥0，x －2≥0，
2x －1＞(x －2)2或⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －1≥0，
x －2＜0， 解得2≤x ＜5或1
2≤x ＜2，
∴1
2
≤x ＜5. ∴原不等式的解集为⎩
⎨⎧
x ⎪⎪⎭
⎬⎫
12
≤x ＜5. 11．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝|x －a |＋|x －1|，a ∈R . (1)当a ＝3时，解不等式f (x )≤4.
(2)当x ∈(－2,1)时，有f (x )＞|2x －a －1|，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
4－2x ，x ＜1，2，1≤x ≤3，
2x －4，x ＞3.
当x ＜1时，由f (x )≤4，得4－2x ≤4，解得0≤x ＜1； 当1≤x ≤3时，f (x )≤4恒成立；
当x ＞3时，由f (x )≤4，得2x －4≤4，解得3＜x ≤4. ∴不等式f (x )≤4的解集为{x |0≤x ≤4}．
(2)f (x )＝|x －a |＋|x －1|≥|x －a ＋x －1|＝|2x －a －1|， 当(x －1)(x －a )≥0时，f (x )＝|2x －a －1|； 当(x －1)(x －a )＜0时，f (x )＞|2x －a －1|. 记不等式(x －1)(x －a )＜0的解集为A ， 则(－2,1)⊆A ，故a ≤－2. ∵a 的取值范围是(－∞，－2]．
12．(本小题满分13分)已知关于x 的不等式|x －3|≤x ＋a
2
的解集为A ，Z 为整数集． (1)若A ≠∅，求a 的取值范围．
(2)是否存在实数a ，使A ∩Z ＝{3,4}？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：原不等式等价于不等式组
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋a
2
≥0，x －3≤x ＋a 2，
x －3≥－x ＋a 2
⇔⎩⎪⎨
⎪⎧
x ≥－a ，x ≤6＋a ，x ≥6－a 3.
(1)若A ≠∅，则6＋a ≥－a ，且6＋a ≥6－a
3⇒a ≥－3.即a 的取值范围为[－3，＋∞)．
(2)若存在实数a ，使A ∩Z ＝{3,4}，则A ≠∅. 由(1)知a ≥－3，∴6－a 3－(－a )＝2(a ＋3)
3
≥0.
∴6－a
3≥－a ，A ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪
6－a 3≤x ≤6＋a
. ∵A ∩Z ＝{3,4}，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2＜6－a 3≤3，
4≤6＋a ＜5，
解得－2≤a ＜－1. 故存在实数a ∈ [－2，－1)，使A ∩Z ＝{3,4}．
B 卷
(时间：60分钟 满分：80分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知|x －a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}，则实数a 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：由|x －a |＜b ，得a －b ＜x ＜a ＋b .
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝2，a ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝3，
b ＝1.
答案：C
2．已知不等式|2x －t |＋t －1＜0的解集为⎝⎛⎭⎫－12，1
2，则t 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1
D ．2
解析：原不等式可变为|2x －t |＜1－t ，解得t －12＜x ＜1
2.∵不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－12，12，∴t ＝0.
答案：A
3．若1＜1a ＜1
b ，则下列结论不正确的是( )
A ．log a b ＞log b a
B ．|log a b ＋log b a |＞2
C ．(log b a )2＜1
D ．|log a b |＋|log b a |＞|log a b ＋log b a |
解法一：(特殊值法) 由1＜1a ＜1
b
，知0＜b ＜a ＜1.
令a ＝12，b ＝14，则log a b ＝2，log b a ＝1
2.可判定选项A ，B ，C 均正确，选项D 不正确．
解法二：由1＜1a ＜1
b ，得0＜b ＜a ＜1.
∴log a b ＞log a a ＝1,0＜log b a ＜log b b ＝1. ∴选项A ，B ，C 正确．
由绝对值不等式的性质，知|log a b |＋|log b a |＝|log a b ＋log b a |，故选项D 不正确． 答案：D
4．若对任意x ∈R ，不等式|x |≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜－1 B ．|a |≤1 C ．|a |＜1
D ．a ≥1
解析：当x ＞0时，a ≤|x |x ＝1，当x ＜0时，a ≥|x |
x ＝－1，当x ＝0时，a ∈R ，∴|a |≤1.
答案：B
5．已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b |
|a ＋b |
，则m ，n 的大小关系是( ) A ．m ＞n B ．m ＜n C ．m ＝n
D ．m ≤n
解析：由绝对值不等式的性质，知|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.又|a |－|b |≤|a －b |， ∴
|a |－|b ||a －b |≤1≤|a |＋|b |
|a ＋b |
. 答案：D
6．关于x 的不等式|sin x ＋tan x |＜a 的解集为N ；关于x 的不等式|sin x |＋|tan x |＜a (a ＞0)的集合为M ，则集合M 与N 的关系是( )
A ．N ⊆M
B ．M ⊆N
C ．N
M
D ．M N
解析：|sin x ＋tan x |≤|sin x |＋|tan x |，则x ∈M 时，必有x ∈N ，即M ⊆N (当sin x ·tan x ≥0时，M ＝N )．
答案：B
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上) 7．使关于x 的不等式|x ＋1|＋k ＜x 有解的实数k 的取值范围是__________. 解析：|x ＋1|＋k ＜x ，即|x ＋1|＜x －k ，
若x ≥－1时有解，即⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥－1，
x ＋1＜x －k 有解，则1＜－k 成立，故k ＜－1；若x ＜－1时有
解，即⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＜－1，－x －1＜x －k 有解，则k －1
2＜－1，即k ＜－1.综上，k ＜－1.
答案：(－∞，－1)
8．设函数f (x )＝|x －1|＋|2x －a |，若关于x 的不等式f (x )≥1
4a 2＋1对x ∈R 恒成立，则实
数a 的取值范围是__________.
解析：当a
2
＜1，即a ＜2时，
f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－3x ＋a ＋1⎝⎛⎭
⎫x ＜a
2，x ＋1－a ⎝⎛⎭
⎫a 2≤x ≤1，3x －1－a (x ＞1)，
则有f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－12a ＋1≥14
a 2
＋1恒成立，解得－2≤a ≤0； 当a
2
＞1，即a ＞2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－3x ＋a ＋1(x ＜1)，
－x －1＋a ⎝⎛⎭⎫1≤x ≤a 2，
3x －1－a ⎝⎛⎭
⎫x ＞a 2，
则有f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝12a －1≥14
a 2
＋1恒成立，该不等式无实数解； 当a ＝2时，f (x )＝3|x －1|，则有f (x )min ＝f (1)＝0≥1
4a 2＋1恒成立，该不等式无实数解．
综上可得实数a 的取值范围是[－2,0]． 答案：[－2,0]
9．x ，y ∈R ，若|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2，则x ＋y 的取值范围为__________. 解析：∵|x |＋|x －1|≥1，|y |＋|y －1|≥1， ∴要使|x |＋|x －1|＋|y |＋|y －1|≤2， 只能|x |＋|x －1|＋|y |＋|y －1|＝2， 则|x |＋|x －1|＝1，|y |＋|y －1|＝1. ∴0≤x ≤1,0≤y ≤1. ∴0≤x ＋y ≤2.
答案：[0,2]
三、解答题(本大题共3小题，共35分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
10．(本小题满分10分)已知函数f (x )的定义域为，[0,1]，f (0)＝f (1)，若对任意的x 1，x 2
∈[0,1]，且x 1≠x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|＜|x 1－x 2|.
求证：|f (x 1)－f (x 2)|＜1
2.
证明：不妨设0≤x 1＜x 2≤1，
|f (x 1)－f (x 2)|＝|f (x 1)－f (0)－f (x 2)＋f (1)|≤|f (x 1)－f (0)|＋|f (x 2)－f (1)|≤x 1＋1－x 2. 又∵|f (x 1)－f (x 2)|＜|x 1－x 2|， ∴2|f (x 1)－f (x 2)|＜1. 故|f (x 1)－f (x 2)|＜1
2
.
11．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集．
(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2x ＋5，x ≤2，1，2＜x ＜3，
2x －5，x ≥3.
当x ≤2时，
由f (x )≥3，得－2x ＋5≥3，解得x ≤1； 当2＜x ＜3时，f (x )≥3无解； 当x ≥3时，
由f (x )≥3，得2x －5≥3，解得x ≥4. ∴f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.
当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a . 由条件，得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．
12．(本小题满分13分)某段城铁线路上依次有A ，B ，C 三站，AB ＝5 km ，BC ＝3 km ，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A 站发车，8时07分到达B 站并停车1 min,8时12分到达C 站．在实际运行中，假设列车从A 站正点发车，在B 站停留1 min ，并在行驶时以同一速度v km/h 匀速行驶，列车从A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差．
(1)分别写出列车在B ，C 两站的运行误差．
(2)若要求列车在B ，C 两站的运行误差之和不超过2 min ，求v 的取值范围． 解：(1)列车在B ，C 两站的运行误差(min)分别是⎪⎪⎪⎪300v －7和⎪⎪⎪⎪480
v －11.
(2)列车在B ，C 两站的运行误差之和不超过2 min ， ∴⎪⎪⎪⎪300v －7＋⎪⎪⎪
⎪480
v －11≤2.① 当0＜v ≤3007时，①式可变为300v －7＋480v －11≤2，解得39≤v ≤3007；
当
3007＜v ≤48011时，①式可变为7－300v ＋480v －11≤2，解得3007＜v ≤48011
； 当v ＞48011时，①式可变为7－300v ＋11－480v ≤2，解得48011＜v ≤1954.
综上所述，v 的取值范围是⎣⎡⎦⎤39，195
4.。