(北师大版)上海市高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(含答案解析)

一、选择题
1．给出以下命题： （1）若()0h
a
f x dx >⎰
，则()0f x >；
（2）
20
|sin |4x dx π
=⎰
；
（3）()f x 的原函数为()F x ，且()F x 是以T 为周期的函数，则：
()()a
a T
T
f x dx f x dx +=⎰
⎰
其中正确命题的个数为（ ）． A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．如图，由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）
A ．1
B ．
23
C ．
43
D ．2
3．曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝2
π
所围成的平面区域的面积为( ) A ．π
20⎰(sin x －cos x )d x
B ．2π
40⎰(sin x －cos x )d x
C ．π20
⎰(cos x －sin x )d x
D ．2π40
⎰(cos x －sin x )d x
4．若连续可导函数()F x 的导函数()()'F x f x =，则称()F x 为()f x 的一个原函数.现给出以下函数()F x 与其导函数()f x ：①()2
cos F x x x =+， ()2sin f x x x =-；
②()3
sin F x x x =+， ()2
3cos f x x x =+，则以下说法不正确．．．
的是（ ） A ．奇函数的导函数一定是偶函数 B ．偶函数的导函数一定是奇函数 C ．奇函数的原函数一定是偶函数 D ．偶函数的原函数一定是奇函数
5．设若2
0lg ,
0()3,0
a
x x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩
⎰，((1))1f f =，则a 的值是( ) A ．-1 B ．2 C ．1 D ．-2
6．由2
3y x =-和2y x =围成的封闭图形的面积是（ ）
A ．23
B ．923-
C ．323
D ．353
7．定积分2
20
[4(2)]x x dx ---⎰
的值为（ ）
A ．
2
4
π- B ．2π- C ．22π- D ．48π-
8．曲线3y x =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为（ ） A ．8
3
B ．
73
C ．
53
D ．
43
9．已知幂函数a y x =图像的一部分如下图，且过点(2,4)P ，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A ．
163
B ．83
C ．
43
D ．
23
10．定积分()2
2x
e
x dx +⎰的值为（ ）
A ．1
B ．2e
C ．23e +
D ．24e +
11．二维空间中圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=，观察发现
()S r l '=：三维空间中球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）
34
3
V r π=，观察发现()V r S '=.则由四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四
维测度W =（ ）. A ．224r π
B ．2
83
r π
C ．5
14
r π
D ．42r π
12．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′π()6，则f π()3-与f π
()3
的大小关系是( ) A ．f π()3-
＝f π
()3
B ．f π()3-
＞f π
()3 C ．f π()3-
＜f π
()3
D ．不确定
二、填空题
13．若11
2lim 22n n
n n n t t +-→+∞-=+ ，则实数t 的取值范围是_____________.
14．已知1
2e a dx x
=⎰
，则()()4
1x x a ++展开式中3x 的系数为______.
15．由直线2x y +=，曲线2y x =所围成的图形面积是________
16．在平面直角坐标系中，角α的始边落在x 轴的非负半轴，终边上有一点是()
1,3-，若[
)0,2απ∈，则cos xdx α
α
-=⎰
______．
17．由曲线sin .cos y x y x ==与直线0,2
x x π
==所围成的平面图形的面积是______.
18．()
1
||
21
4x e
x dx -+-=⎰
__________________
19．
(
)
1
21
11x dx ---=⎰__________．
20．函数()x
f x e x =-在［-1，1］上的最小值__________．
三、解答题
21．已知函数2()ln f x x a x =-（a R ∈），()F x bx =（b R ∈）. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）设2a =，()()()g x f x F x =+，若12,x x （120x x <<）是()g x 的两个零点，且
12
02
x x x +=
， 试问曲线()y g x =在点0x 处的切线能否与x 轴平行？请说明理由. 22．计算： （1）7
10C （2）
()
2
22
24x x dx -+
-⎰
23．求由抛物线28(0)y x y =>与直线60x y +-=及0y =所围成图形的面积. 24．根据《山东省全民健身实施计划（2016-2020年）》，到2020年乡镇（街道）普遍建有“两个一”工程，即一个全民健身活动中心或灯光篮球场、一个多功能运动场.某市把甲、乙、丙、丁四个多功能运动场全部免费为市民开放.
（1）在一次全民健身活动中，四个多功能运动场的使用场数如图，用分层抽样的方法从甲、乙、丙、丁四场馆的使用场数中依次抽取a ，b ，c ，d 共25场，在a ，b ，c ，d 中随机取两数，求这两数和ξ的分布列和数学期望；
（2）设四个多功能运动场一个月内各场使用次数之和为x ，其相应维修费用为y 元，根据统计，得到如下表的y 与x 数据：
x
10 15 20 25 30 35 40 y
2302
2708 2996 3219 3401 3555 3689 10013
102
y z e =+ 2.49 2.99
3.55
4.00
4.49
4.99
5.49
（i ）用最小二乘法求z 与x 之间的回归直线方程； （ii ）
40
y
x +叫做运动场月惠值，根据（i ）的结论，试估计这四个多功能运动场月惠值最
大时x 的值.
参考数据和公式：4z =，
()
7
2
1
700i
i x x =-=∑，()()7
1
70i i i x x z z =--=∑，320e =，
()()
()
7
1
7
2
1
ˆi
i
i i
i x x z z b
x x ==--=-∑∑，a y bx =-.
25．已知函数f （x ）=3sin
2x cos 2x +cos 22x +m 的图象过点（56
π
，0）． （1）求实数m 值以及函数f （x ）的单调递减区间； （2）设y=f （x ）的图象与x 轴、y 轴及直线x=t （0＜t ＜23
π
）所围成的曲边四边形面积为S ，求S 关于t 的函数S （t ）的解析式．
26．如图，阴影部分区域是由函数cos y x =图象，直线1,y x π==围成，求这阴影部分区域面积。

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
(1)根据微积分基本定理,得出
()()()0h
a
f x dx F h F a =->⎰
,可以看到与()f x 正负无关.
(2)注意到sin x 在[]0,2π的取值符号不同,根据微积分基本运算性质,化为
220
|sin ||sin ||sin |x dx x dx x dx π
ππ
π
=+⎰
⎰⎰求解判断即可.
(3)根据微积分基本定理,两边分别求解,再结合()()F a T F a +=,()()0F T F =判定. 【详解】 (1)由()()()0h
a
f x dx F h F a =->⎰
,得()()F h F a >,未必()0f x >.(1)错误.
(2)
()2220
0|sin ||sin ||sin |sin sin x dx x dx x dx xdx x dx π
π
π
ππ
ππ
=+=+-⎰
⎰⎰⎰⎰
()()20cos |cos |11114x x ππ
π=-+=--+--=,(2)正确.
(3)()()0
()0a
f x dx F a F =-⎰
,()()()()()0a T
T
f x dx F a T F T F a F +=+-=-⎰
；
故
()()a
a T
T
f x dx f x dx +=⎰
⎰
；(3)正确.
所以正确命题的个数为2, 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了命题真假的判定与定积分的计算,属于中档题.
2．D
解析：D 【解析】
由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是
1
2
2
20
1
(1)(1)S x dx x dx =---⎰⎰
3132
01
11281()|()|2133333
x x x x -+-=+--+ 3．D
解析：D 【解析】
π
40
⎰(-sin x +cos x )d x 2
π4
π
+⎰(sin x -cos x )dx=2π
40
⎰(cos x －sin x )d x ,选D. 点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤 (1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；
(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； (3)确定被积函数；
(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．
2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．
4．D
解析：D
【解析】由①,
()()()(),,F x F x f x f x -=-=-∴B,C
正确; 由②,
()(),F x F x -=- ()(),f x f x -=∴A 正确,D 项,偶函数的原函数不一定是奇函数,比如
()()233cos sin 1f x x x F x x x =+=++的原函数可以为,此时F(x)为非奇非偶函数,所以D
错误,故选D.
5．C
解析：C 【详解】
23300
3|a
a
t dt t a ==⎰
，33(1)lg10,(0),1, 1.f f a a a ===∴==
故选：C
6．C
解析：C 【解析】
试题分析：画出函数图象如下图所示，所以围成的面积为
()1
3
1
2
23
332
32333
x x
x dx x x --⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭⎰.
考点：定积分.
7．B
解析：B 【解析】
试题分析：由定积分的几何意义有2
20
4(2)x dx --⎰
表示的是以(2,0)为圆心，半径为2
的圆的
1
4
部分，而20xdx ⎰表示的是直线y x =，0,2,x x x ==轴所围成的面积，故
2
20
[4(2)]x x dx ---⎰表示的图形如下图的阴影部分，面积为2
21122242
ππ⨯-⨯=-.故选B.
考点：1.定积分的几何意义；2.方程的化简.
8．A
解析：A 【解析】 试题分析：()'
3
2
3x x
=,所以切线方程为13(1),32y x y x -=-=-,所以切线与x 轴、直线
2x =所围成的三角形的面积()2
23
8323S x dx =-=
⎰.
考点：1、切线方程；2、定积分.
【易错点晴】本题易错点有三个,一个是切线方程,错解为看成过()1,1的切线方程；第二个
错误是看成与y 轴围成的面积,()()22
3
20
3
2810
3232333
S x dx x dx =-
-+-=
+=⎰⎰；第三个是没有将切线与x 轴的交点求出来,导致没有办法解决题目.切线的常见问题有两种,一种是已知切点求切线方程；另一种是已知切线过一点求切线方程,两种题目都需要我们认真掌握.
9．B
解析：B 【解析】
试题分析：由题意得，因为幂函数a y x =图像过点(2,4)P ，所以42α=，解得2α=，所以幂函数2
y
x ，则阴影部分的面积为2
2
3200
18|33S x dx x ===⎰，故选B.
考点：幂函数的解析式；定积分的应用.
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据微积分基本定理，计算出定积分. 【详解】
(
)
2
2
2020
222430
x x
e x dx e x e e e +=+=-+=+⎰.故选C.
【点睛】
本小题主要考查利用微积分基本定理，计算定积分.
11．D
解析：D 【解析】
因为4328W r W r V ππ'=⇒==，所以42W r π=，应选答案D ． 点睛：观察和类比题设中的函数关系，本题也可以这样解答：
3441
8824
W r dr r r πππ=⎰=
⨯=，应选答案D ． 12．C
解析：C 【解析】
依题意得f′(x)＝－sin x ＋2f′π()6 ，所以f′π()6＝－sin π()6＋2f′π()6，f′π()6
＝，f′(x)＝－sin x ＋1，因为当x ∈ππ(,)22-
时，f′(x)＞0，所以f(x)＝cos x ＋x 在ππ
(,)22
-上是增函数，所
以f π3⎛⎫-
⎪⎝⎭＜f π3⎛⎫
⎪⎝⎭
,选C. 二、填空题
13．【分析】利用数列的极限的运算法则转化求解即可【详解】解：当|t|≥2时可得可得t ＝﹣2当|t|＜2时可得：综上可得：实数t 的取值范围是：﹣22）故答案为﹣22）【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的 解析：[)2,2-
【分析】
利用数列的极限的运算法则，转化求解即可． 【详解】
解：当|t |≥2时，n+1n
n n-1n 2-t lim =22+t
→∞，
可得2n 2
2()1
1t lim 2121
n t t t
→∞
⨯--==⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ，可得t ＝﹣2． 当|t |＜2时，
n+1n n n-1n 2-t lim =22+t
→∞可得： 2
2()
2lim 211?()2
n n
t t t →∞+=+ ， 综上可得：实数t 的取值范围是：[﹣2，2）． 故答案为[﹣2，2）． 【点睛】
本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力．
14．32【分析】由定积分求出实数的值再利用二项式展开式的通项公式求解即可【详解】解：因为==2由展开式的通项为=即展开式中的系数为+=32故答案为32【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式属基础题
解析：32 【分析】
由定积分求出实数a 的值，再利用二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】 解：因为1
2e
a dx x
=
⎰
=2ln x e 1| =2, 由()4
2x +展开式的通项为1r T +=r
4C 42r r x - ,
即()()4
12x x ++展开式中3x 的系数为2
4C 22⨯+1
4C 2⨯ =32，
故答案为32. 【点睛】
本题考查了二项式展开式的通项公式，属基础题.
15．【解析】【分析】联立方程组求得交点的坐标利用定积分分别求得图形和的面积即可求解得到答案【详解】由题意联立方程组解得或即则图形的面积为图形的面积为所以围成阴影部分的面积为【点睛】本题主要考查了利用定积
解析：9
2
【解析】 【分析】
联立方程组，求得交点的坐标，利用定积分分别求得图形OAC 和ACB 的面积，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，联立方程组2
2
x y y x
+=⎧⎨
=⎩，解得1y =或2y =-，即(1,1),(4,2)A B -， 则图形OAC 的面积为31
1210
24
2
2|33
S xdx x ==⨯=⎰
， 图形ACB 的面积为34
24
22111219[(2)](2)236
S x x dx x x x =-+=-+=⎰,
所以围成阴影部分的面积为124199
362
S S S =+=
+=.
【点睛】
本题主要考查了利用定积分求解围成封闭图形的面积问题，其中解答中准确表示出封闭图形的面积的表示式，利用定积分准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
16．【解析】【分析】可得再利用微积分基本定理即可得出【详解】则故答案为【点睛】本题考查了微积分基本定理三角函数求值考查了推理能力与计算能力属于基础题 3
【解析】 【分析】
tan 3α=-，[)0,2απ∈，可得2.3
π
α=
再利用微积分基本定理即可得出． 【详解】
tan 3α=-，[)0,2απ∈，
23
πα∴=
． 则()2323
2233cos sin |
sin
sin 333
22xdx x α
ππα
ππ--⎛⎫⎛⎫
==--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎰． 故答案为3 【点睛】
本题考查了微积分基本定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
17．【分析】三角函数的对称性可得S=2求定积分可得【详解】由三角函数的对称性和题意可得S=2=2（sinx+cosx ）=2（+）﹣2（0+1）=2﹣2故答案为2﹣2【点睛】本题考查三角函数的对称性和定积 解析：222-
【分析】
三角函数的对称性可得S=2()4
cosx sinx dx π
-⎰，求定积分可得．
【详解】
由三角函数的对称性和题意可得S=2
()4
cosx sinx dx π
-⎰
=2（sinx+cosx ）40
|π
=2（22+22
）﹣2（0+1）=22﹣2 故答案为22﹣2
【点睛】
本题考查三角函数的对称性和定积分求面积，属基础题．
18．【解析】由定积分的几何意义知：是如图所示的阴影部分曲边梯形的面积其中故故故故答案为
解析：22233
e π+-+
【解析】
1
1
2
2
1
424x dx x dx --=-⎰⎰,由定积分的几何意义知：1
20
4x dx -⎰是如图所示的阴影部分
曲边梯形OABC 的面积，其中()
1,3,30B BOC ∠=，
故
221
242433x dx x dx π--=-=+11
1010
22|22x
x x e dx e dx e e -===-⎰⎰，
故
(
1
21
242233
x
e x dx e π--=+-⎰22233e π+-
19．【解析】由定积分的几何意义由微积分基本定理：有定积分的运算法则可得： 解析：
22
π
-
【解析】
由定积分的几何意义，
221
11122
x dx π
π--=⨯⨯=，
由微积分基本定理：1
1
11
1|2dx x --==⎰
，
有定积分的运算法则可得：
)
1
21
1122
x dx π
--=
-⎰.
20．1【解析】因此当时；当时；函数最小值为
解析：1 【解析】
()100x f x e x =-=∴'= ,因此当10x -≤< 时()0f x '< ；当01x <≤ 时
()0f x '> ；函数最小值为(0)1f =
三、解答题
21．（1）当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,+∞上单调递增，
0()a f x 所以时，的单调减区间是，单调增区间是⎛⎫>+∞ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）
()y f x =在0x 处的切线不能平行于x 轴. 。

【解析】
试题分析：（1）先对函数求导，再依据到函数值与函数单调性之间的关系分类探求单调区间；（2）先假设曲线()y g x =在点0x 处的切线能否与x 轴平行，然后依据假设建立方程组，最后再构造函数()22ln 1
t h t t t -=-
+，运用导数的知识断定假设不成立。

解：（Ⅰ）()222,0a x a
f x x x x x
--'==>
(1)当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,+∞上单调递增，
（2）当0a >时，()0f x x ='=
得有
()a 0f x 所以时，的单调减区间是，单调增区间是∞⎛⎫>+ ⎪ ⎪⎝⎭
(Ⅱ) ()2
2ln g x x x bx =-+
假设()y g x =在0x 处的切线能平行于x 轴. ∵()()2
2,0g x x b x x
+'=-
> 由假设及题意得：
()211112ln 0g x x x bx =-+=.................① ()222222ln 0g x x x bx =-+=................②
12
02
x x x += .................③ ()000
2
20g x x b x =-
+=' .............④ 由①-②得，()
()()22
1212122ln ln 0x x x x b x x ---+-=
即
1`20
12
2ln
2x x b x x x =--.................⑤ 由④⑤得，()1
12121
212
22
22ln
1x x x x x x x x x x --==++ 令1
2
x t x =，12,01x x t <∴<<.则上式可化为22
ln 1
t t t -=
+， 设函数()()22
ln 011
t h t t t t -=-
<<+，则 ()()()
()
2
22
114011t h t t t t t -=-=+'>+, 所以函数()22
ln 1
t h t t t -=-
+在()0,1上单调递增. 于是，当01t <<时，有()()10h t h <=，即22
ln 01
t t t --<+与⑥矛盾. 所以()y f x =在0x 处的切线不能平行于x 轴.
点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，精心设置了两个问题，旨在考查导数知识在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。

求解第一问时，先函数的解析式进行求导，再对参数进行分类讨论研究导函数的值的符号，从而求出函数的单调区间；求解第二问时，先假设存在0x 处的切线平行于x 轴，然后在假设的前提下进行分析推证，从而得出与已知和假设矛盾的结论，使得问题获解。

22．(1)120；(2)2π 【分析】
（1）根据组合数的对称性计算；
（2）将括号中内容拆分，一部分按定积分性质计算，另一部分使用定积分几何意义计算. 【详解】 （1）7
3
10101098
C =C ==1203⨯⨯！
； （2）
(
2
22
2
22
2
24=24x x dx xdx x dx ----+-⎰
⎰⎰
，其中2
2
2xdx -⎰中()2f x x =是奇函
数，所以 2
2
20xdx -=⎰
；2
22
4x dx --⎰
表示圆心在原点半径等于2的圆在x 轴上方的面
积，故
(
)
2
2
2
222
2
2
424=24022
x x dx xdx x dx π
π---+-+-=+
=⎰
⎰⎰
. 【点睛】 （1）计算()a
a
f x dx -⎰
（0a >）时，若()f x 为奇函数，则()0a
a
f x dx -=⎰；若()f x 为偶
函数，则
()2()2()a
a
a
a
f x dx f x dx f x dx --==⎰
⎰⎰.
（2）组合数对称性：C =C ()m
n m
n n m n -≤.
23．图形面积为403
． 【详解】
首先利用已知函数和抛物线作图，然后确定交点坐标，然后利用定积分表示出面积为
2
6
2
8(6)A xdx x dx =+-⎰
⎰，所以得到 32
2
6202
28|(6)|32x A x x =⨯+-,由此得到结论为403 解：设所求图形面积为A ，则
2
6
2
8(6)A xdx x dx =+-⎰
⎰322620228|(6)|32x A x x =⨯+-=403．即所求图形面积为 403．
24．（1）分布列见解析，252
；（2）（i ）13
102ˆz
x =+；（ii ）20. 【分析】
（1）根据题意，确定抽样比，得到a ，b ，c ，d 的值分别为5，6，9，5；所以这两数和ξ的所有可能的取值为10，11，14，15，求出对应概率，即可得出分布列与数学期望； （2）（i ）由最小二乘法，结合题中数据，求出a ，b 的估计值，从而可得回归直线方程；
（ii ）由（i ）得到1001313
102102
y z e x =+=+，所以100ln y x =，设
()100ln 4040
y x g x x x =
=++，用导数的方法求其最值即可. 【详解】
（1）根据题中所给的条形图，易知总场数为100，所以抽样比例为251
1004
=， 所以a ，b ，c ，d 的值分别为5，6，9，5. 所以这两数和ξ的所有可能的取值为10，11，14，15. 于是()2411106P C ξ==
=，()2421113
P C ξ===， ()2421143P C ξ==
=，()2411156
P C ξ===， 所以随机变量ξ的分布列为：
所以()1011141563362
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=. （2）（i ）因为25x =，4z =，
()
7
2
1
700i
i x x =-=∑，()()7
1
70i i i x x z z =--=∑，
所以()()
()
7
1
7
2
1
701
7010
ˆ0i
i
i i
i x x z z b
x x ==--==
=-∑∑， 即13
425ˆ102
ˆa
z bx =-=-⨯=， 所以z 与x 之间的回归直线方程为13
102
ˆz
x =+. （ii ）因为1001313
102102
y
z e x =+=+，
所以100ln y x =，
设()100ln 4040
y x
g x x x =
=++， 则()()
2
40
1ln '10040x x g x x +
-=+，
令()401ln h x x x =+
-，()2401
'0h x x x
=--<在()0,∞+恒成立， 则()y h x =在()0,∞+为减函数，又()200h =，
所以当()0,20x ∈时，()0h x >，()'0g x >，所以()g x 在()0,20上单调递增， 当()20,x ∈+∞时，()0h x <，()'0g x <，所以()g x 在()20,+∞上单调递减， 所以估计这四个多功能运动场月惠值最大时x 的值为20. 【点睛】
本题主要考查离散型随机变量的分布列与期望，回归直线方程的求法，以及导数的方法求函数的最值问题，熟记离散型随机变量分布列与期望的概念，会用最小二乘法求回归直线系数的估计值，以及导数的应用即可，属于常考题型. 25．（1）12m =-
，单调递减区间是42,233k k ππππ⎡
⎤++⎢⎥⎣⎦
，k ∈Z ；（2）
2()sin())33
s t t t ππ
=-<<．
【分析】
（1）利用二倍角的正弦和余弦公式降幂，化为y=1
62
sin x m π⎛⎫+++ ⎪⎝
⎭的形式，把点（
56
π
，0）代入函数解析式求得m 的值，再代入函数解析式后利用复合函数的单调性求得函数f （x ）的单调递减区间；
（2）对（1）中所求函数f （x ）求0到t 上的积分，即求被积函数f （x ）的原函数，代入积分上限和下限后作差得答案． 【详解】
（1）f （x ）2x cos 2x +cos 22
x +m
=
11
22cosx m +++ =1
62
sin x m π⎛⎫+
++ ⎪⎝
⎭． ∵f （x ）的图象过点（56
π
，0）， ∴51
0662
sin m ππ⎛⎫+++=
⎪⎝⎭，解得12m =-．
∴f （x ）=6sin x π⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
， 由
3222
6
2k x k π
π
πππ+≤+
≤
+，得42233
k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ．
故f （x ）的单调递减区间是42,23
3k k π
πππ⎡⎤
++
⎢⎥⎣
⎦
，k ∈Z ；
（2）由（1）得，f （x ）=
1
22
sinx cosx +．
∴012t
S cosx dx ⎫=⎰+⎪⎪⎝⎭=01|2t sinx ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
=110022sint sin ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=3sin t π⎛⎫- ⎪⎝⎭．
∴()3S t sin t π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭（203t π＜＜）． 【点睛】
本题主要考查二倍角公式、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图象与性质及定积分等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
26．π
【解析】
试题分析：由定积分的几何意义可知，所求阴影部分的面积为()0
1cos x dx π
-⎰，利用微积
分定理计算即可. 试题
所求图形面积为
()01cos x dx π
-⎰ ()sin 0x x π
=- π=.
【方法点睛】本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分
()b a
f x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、曲线y =()f x 以及直线,x a x b ==之间的曲边梯形
面积的代数和 ，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.。