数学建模的应用

数学建模的应用
论文摘要：数学建模，是源于生活和生产中的问题，但是我们必须运用数学思想、方法和知识将它抽象成一个数学模型，然后用各种手段把模型求解并应用到实际中去检验，数学建模是沟通理论和实际运用的桥梁和途径。

本文结合自己的教学体会从理论上和实际上阐述数学建模的作用和基本方法。

关键词：数学建模、数学模型方法、数学建模意识
一、数学学习现状
如果我们在高中学生中做一个调查，问其学习数学的目的是什么？可能大部分同学的回答是：为了高考；如果我们在非数学系的在读大学生中做一个调查，问其学习数学的用处是什么？可能大部分同学的回答是：应付考试。

应该说，我们的中学数学教学是一种“目标教学”。

一方面，我们一直想教给学生有用的数学，但学生高中毕业后如不攻读数学专业，就觉得数学除了高考拿分外别无它用；另一方面，我们的“类型十方法”的教学方式的确是提高了学生的应试“能力”，但是学生一旦碰到陌生的题型或者联系实际的问题却又不会用数学的方法去解决它。

大部分同学学了十二年的数学，却没有起码的数学思维，更不用说用创造性的思维自己去发现问题，解决问题了。

由此看来，中学数学教与学的矛盾显得特别尖锐。

加强中学数学建模教学正是在这种教学现状下提出来的。

“无论从教育、科学的观点来看，还是从社会和文化的观点来看，这些方面（数学应用、模型和建模）都已被广泛地认为是决定性的、重要的。

”我国普通高中新的数学教学大纲中也明确提出要“切实培养学生解决实际问题的能力”要求“增强用数学的意识，能初步运用数学模型解决实际问题，逐步学会把实际问题归结为数学模型，然后运用数学方法进行探索、猜测、判断、证明、运算、检验使问题得到解决。

”这些要求不仅符合数学本身发展的需要，也是社会发展的需要。

因为我们的数学教学不仅要使学生获得新的知识而且要提高学生的思维能力，要培养学生自觉地运用数学知识去考虑和处理日常生活、生产中所遇到的问题，从而形成良好的思维品质，造就一代具有探索新知识，新方法的创造性思维能力的新人。

二、数学建模的作用
1、提高学习主动性
由于数学建模是源于宽泛的生活和生产问题，而每个人的知识面是有限的。

但是为了建模所需要的知识，除了与问题相关的数学知识外，还必须掌握诸如计算方法、计算机语言、应用软件等其他学科的知识。

它是多学科知识、技能和能
力的高度综合。

宽泛的学科领域和泛博的技能技巧是我们学生原来没有学过的，只能通过我们自学和讨论来进一步掌握。

然而，不像课堂上的填鸭式的上课是一种被动式的学习，建模所需要的知识很多都是我们自己十分迫切希望学到而课堂来不及讲授的。

这就增加了我们有目的性学习知识的主动性。

2、提高查阅和使用资料能力
建模涉及的知识确实太多了，掌握和精通所有建模的知识是没必要也不现实的，毕竟人的精力还是有限的。

因此充分利用已有的资源是十分重要的。

数学建模为我们查阅和使用资料能力的培养创设了一个积极的情境。

当建模问题涉及到很强的专业知识背景时，我们必须围绕需要解决的实际问题广泛查阅与问题相关的资料，从中吸取自己所需要的东西，这大大锻炼和提高了我们自觉使用资料的能力。

这就是原微软副总裁李开复先生对我们大学生说过的利用网络资源学习的能力，这种能力是日后在工作和科研中永远需要的。

3、更加注重团队合作精神
在数学建模过程中，充分发挥每位队员的特长和智慧才能提高效率，这就要求我们加强团队精神，合作意识，组织、协作素养，学习他人长处，求同存异，取长补短，团结互助等优秀品质。

4、培养创新能力
数学建模没有固定的求解方法，没有指定的参考书，没有规定的数学工具与手段，从建立数学模型开始就要求我们自己进行思考、研究和讨论。

这就可能让我们亲身去体验一下数学的创造或发现过程，亲口尝一尝梨子的滋味，培养我们的独立思考的能力。

在每一次建模过程中，我们都可以利用自己的知识和智慧独树一帜或者站在别人的肩膀上进行创新。

爱因斯坦就曾经说过：“数学，人类纯思维的结晶，完全脱离于现实经验，怎么可能如此完美地适合物理世界的物体呢?”确实，数学不能独立于现实而存在。

如果你通过数学建模可以轻松自如地将现实问题“翻译”成数学语言，然后利用计算机将实际问题解决并得到实践的检验时候，你会发现数学建模的魅力所在：让理论和现实联系起来并让他们进入一个美妙并且不断完善自我的“死循环”。

授人以鱼不如授人以渔。

在这个知识爆发的时代，具备上面几个能力对于每个现代的学生来说都是必要的。

数学建模及应用是理论联系实际的一种数学问题，1993年以后，在高考试卷中成为必考内容，体现出加强数学应用教学的数学改革方向。

数学建模及应用，按知识内容分类，包括初等代数，平面几何，立体几何，三角，平面解析几何，概率统计等数学知识内容的应用；就现实生常生活中的应用进行分类，有成本-价格-利润，存款贷款，运输-航行-行程，管理决策，最佳位置，农业生产规模，
生物繁殖等。

从应用角度来看，有四个层次：直接导出公式计算；利用现成的数学模型对应用问题进行进行分析；对已经经过加工提炼，忽略了次要条件，保留下来的诸因素关系比较清楚的实际问题建立模型；对原始的实际问题进行加工，提炼数学模型。

其中第四个层次属于典型数学建模，几年我们高考试卷中出现的数学应用问题常定位在第一，二两个层面，我们称前三个层面为简单的数学应用。

对于数学建模及应用问题，无论内容多复杂，我们都应该弄清问题的已知条件和问题要求的结论，程序：阅读问题-联想关系-构造模型并解答。

三、构建数学建模意识的基本途径。

1、为了培养学生的建模意识，中学数学教师应首先需要提高自己的建模意识。

这不仅意味着我们在教学内容和要求上的变化，更意味着教育思想和教学观念的更新。

中学数学教师除需要了解数学科学的发展历史和发展动态之外，还需要不断地学习一些新的数学建模理论，并且努力钻研如何把中学数学知识应用于现实生活。

2、数学建模教学还应与现行教材结合起来研究。

教师应研究在各个教学章节中可引入哪些模型问题，如讲立体几何时可引入正方体模型或长方体模型把相关问题放入到这些模型中来解决；又如在解几中讲了两点间的距离公式后，可引入两点间的距离模型解决一些具体问题,而储蓄问题、信用贷款问题则可结合在数列教学中。

要经常渗透建模意识，这样通过教师的潜移默化，学生可以从各类大量的建模问题中逐步领悟到数学建模的广泛应用，从而激发学生去研究数学建模的兴趣，提高他们运用数学知识进行建模的能力。

3、注意与其它相关学科的关系。

由于数学是学生学习其它自然科学以至社会科学的工具而且其它学科与数学的联系是相当密切的。

因此我们在教学中应注意与其它学科的呼应，这不但可以帮助学生加深对其它学科的理解，也是培养学生建模意识的一个不可忽视的途径。

例如教了正弦型函数后，可引导学生用模型函数y=Asin（wx+Φ）写出物理中振动图象或交流图象的数学表达式。

又如当学生在化学中学到CH4CL4，金刚石等物理性质时，可用立几模型来验证它们的键角为arccos（-1/3）=109°28′……可见，这样的模型意识不仅仅是抽象的数学知识，而且将对他们学习其它学科的知识以及将来用数学建模知识探讨各种边缘学科产生深远的影响。

4、在教学中还要结合专题讨论与建模法研究。

我们可以选择适当的建模专题，如“代数法建模”、“图解法建模”、“直（曲）线拟合法建模”，通过讨论、分析和研究，熟悉并理解数学建模的一些重要思想，掌握建模的基本方法。

甚至可以引导学生通过对日常生活的观察，自己选择实际问题进行建模练习，从而让学生尝到数学建模成功的”甜”和难于解决的“苦”借亦拓宽视野、增长知识、积累经验。

这亦符合玻利亚的“主动学习原则”，也正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之深固也”。

四把构建数学建模意识与培养学生创造性思维过程统一起来。

在诸多的思维活动中，创新思维是最高层次的思维活动，是开拓性、创造性人才所必须具备的能力。

麻省理工大学创新中心提出的培养创造性思维能力，主要应培养学生灵活运用基本理论解决实际问题的能力。

由此，我认为培养学生创造性思维的过程有三点基本要求。

第一，对周围的事物要有积极的态度；第二，要敢于提出问题；第三，善于联想，善于理论联系实际。

因此在数学教学中构建学生的建模意识实质上是培养学生的创造性思维能力，因为建模活动本身就是一项创造性的思维活动。

它既具有一定的理论性又具有较大的实践性；既要求思维的数量，还要求思维的深刻性和灵活性，而且在建模活动过程中，能培养学生独立，自觉地运用所给问题的条件，寻求解决问题的最佳方法和途径，可以培养学生的想象能力，直觉思维、猜测、转换、构造等能力。

而这些数学能力正是创造性思维所具有的最基本的特征。

1、发挥学生的想象能力，培养学生的直觉思维
众所周知，数学史上不少的数学发现来源于直觉思维，如笛卡尔坐标系、费尔马大定理、歌德巴赫猜想、欧拉定理等，应该说它们不是任何逻辑思维的产物，而是数学家通过观察、比较、领悟、突发灵感发现的。

通过数学建模教学，使学生有独到的见解和与众不同的思考方法，如善于发现问题，沟通各类知识之间的内在联系等是培养学生创新思维的核心。

例:证明sin5°+sin77°+sin149°+sin221°+sin293°=0
分析：此题若作为“三角”问题来处理，当然也可以证出来，但从题中的数量特征来看，发现这些角都依次相差72°，联想到正五边形的内角关系，由此构造一个正五边形（如图）
从而它们的各个向量在Y轴上的分量之和亦为0，故知原式成立。

这里，正五边形作为建模的对象恰到好处地体现了题中角度的数量特征。

反映了学生敏锐的观察能力与想象能力。

如果没有一定的建模训练，是很难“创造”出如此简洁、优美的证明的。

正如E·L泰勒指出的“具有丰富知识和经验的人，比只有一种知识和经验的人更容易产生新的联想和独创的见解。

2、构建建模意识，培养学生的转换能力
恩格斯曾说过：“由一种形式转化为另一种形式不是无聊的游戏而是数学的杠杆，如果没有它，就不能走很远。

”由于数学建模就是把实际问题转换成数学问题，因此如果我们在数学教学中注重转化，用好这根有力的杠杆，对培养学生思维品质的灵活性、创造性及开发智力、培养能力、提高解题速度是十分有益的。

例如，在教学中，我曾给学生介绍过“购物问题”：两次购买同一种物品，可以有两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买的物品的数量一定；第二种是不物品价格的升降，每次购买物品所花的钱数一定，若两次购买
这种物品的价格不相同，问这两种策略中哪种更经济。

我们可以用数学方法来解决这个实际问题，设物品原价x元/个，现价y元/个,第一种策略每次买物品n个，则两次学生对这个问题的进一步研究，无疑会激发其学习数学的主动性，且能开拓学生思维能力，养成善于发现问题，独立思考的习惯。

3、以“构造”为载体，培养学生的创新能力
“一个好的数学家与一个蹩脚的数学家之间的差别，就在于前者有许多具体的例子，而后者则只有抽象的理论。

”
我们前面讲到，“建模”就是构造模型，但模型的构造并不是一件容易的事，又需要有足够强的构造能力，而学生构造能力的提高则是学生创造性思维和创造能力的基础：创造性地使用已知条件，创造性地应用数学知识。

例：某厂家拟在2006年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量x万件与年促销费用m万品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．
(1)将2006年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2006年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
解（1）由题意可知当
m=0时，x=1（万件），
从上面例子可以看出，只要我们在教学中教师仔细地观察，精心的设计，可以把一些较为抽象的问题，通过现象除去非本质的因素，从中构造出最基本的数学模型，使问题回到已知的数学知识领域，并且能培养学生的解决实际问题能力。

五、总结
综上所述，在数学教学中培养学生的数学建模意识与素质教学所要求提高学生的思维能力是相辅相成，密不可分的。

要真正培养学生的解决实际问题的能力，光凭传授知识是远远不够的，重要的是在教学中必须坚持以学生为主体，不能脱离学生搞一些不切实际的建模教学，我们的一切教学活动必须以调动学生的主观能动性，培养学生的解题能力为出发点，引导学生自主活动，自觉的在学习过程中构建数学建模意识，只有这样才能使学生分析和解决问题的能力得到长足的进步，也只有这样才能真正提高学生的创新能力，使学生学到有用的数学。

我们相信，在开展“目标教学”的同时，大力渗透“建模教学”必将为中学数学课堂教学改革提供一条新路，也必将为培养更多更好的“实用型”人才提供一个全新的舞台。

参考文献：
1、《数学建模》湖南师大出版社，1999年7月第1版。

2、《面向21世纪的数学教学》浙江教育出版社1997年5月第1版。

3、《中学数学教学纵横谈》山东教育出版社，1997年12月第1版。

4、《增强应用意识，增强建模能力》中学数学杂志1998年第5期。