数字电子技术基础逻辑代数和逻辑函数化简详解

A1 A
( AB C) 1 AB C
第26页，共80页。
2.反演规则：求逻辑函数的反函数
将 Y 式中“.”换成“+”,“+”换成“.”
“0”换成“1”,“1”换成“0”
Y
原变量换成反变量，反变量换成原变量
例如：已知 Y1 A(B C ) CD
运算顺序： 括号 与 或
则
Y1
(
A
BC
)
(
C
开关A 开关B
电源
灯Y
与逻辑关系
功能表
AB Y 断断 灭 断合 灭
合断 灭
合合 亮
第3页，共80页。
与逻辑的表示方法：
真值表 （Truth table）
AB Y 00 0 01 0
10 0
11 1
功能表
AB Y 断断 灭 断合 灭 合断 灭 合合 亮
开关断用0表示, 开关闭合用1表示 灯亮用1表示, 灭用0表示
10 1 11 0
(5) 同或逻辑 (异或非)
Y5 A B
A
B
AB AB
=1
A B Y5
Y5 0 0 1 01 0
10 0
= A⊙B
11 1
第13页，共80页。
2. 1. 3 逻辑符号对照
国标符号
曾用符号
A
& Y AB A
B
B
美国符号
Y
A B
Y
A ≥1 Y A B AB源自BYA B
Y
A
右图是一个控制楼梯照 明灯的电路。为了省电，人
ab
A
B
在楼下开灯，上楼后可关灯； ~ c d
反之亦然。A、B是两个单刀 220
双掷开关，A装在上，B
装在楼下。只有当两个开关同时向上或向下时， 灯才被点亮。试用一个逻辑函数来描述开关A、 B与照明灯之间的关系。
第33页，共80页。
解：(1) 设开关A、B为输入变量:开关接
优点：书写简洁方便，易用公式和定理进行运算、 变换。
缺点： 逻辑函数较复杂时，难以直接从变量取值看出 函数的值。
第35页，共80页。
1. 逻辑表达式的类型
核心
Y AB AC BC 与或式
与非-与非式
或与非式
与或非式
或与式
AB AC ( A B)( A C )
AB AC BC (A B) (A C)
与： 0 ·0 = 0 0 ·1 = 0 1 ·1 = 1
或： 1 + 1 = 1
1+0=1
0+0=0
非： 0 1
1 0
二、变量和常量的关系(变量：A、B、C…)
与: A ·1 = A 或： A + 0 = A 非： A A 0
A ·0 = 0
A+1=1
A A1
第16页，共80页。
三、与普通代数相似的定理
异或 A B AB AB 同或 A⊙B AB A B
A B = A⊙B A⊙B A B
(1) 交换律
A B B A
(2) 结合律
(A B) C A ( B C )
(3) 分配律
A ( B C ) AB AC
第22页，共80页。
(4) 常量和变量的异或运算
A1 A A A0
2.3.1 逻辑表达式
2.3.2 真值表 2.3.3 卡诺图 2.3.4 逻辑图 2.3.5 波形图 2.3.6 逻辑函数表示方法间的相互转换
第29页，共80页。
逻辑函数的基本概念
逻辑函数：如果输入逻辑变量 A、B、C ∙ ∙ ∙的
取值确定之后，输出逻辑变量 Y 的 值也被唯一确定，则称 Y 是 A、B、 C ∙ ∙ ∙的逻辑函数。并记作
Y F ( A ,B ,C ,D ) ( 4 变量共有 16 个最小项) ABC D ABCD ABC D … … ABC D ABCD
A B AB
AB A B
(AC) B AC B AC B
AB BC AB BC ( A B) (B C)
A BC A BC A (B C)
第25页，共80页。
A A1
AB AB 1
AB C AB C 1
A AB A B
AB ABC AB C A AB A B
•最后，将上述乘积项相或，即为所求函数：
L A B AB
AB 00
01
10 11
b B
d
L
1 0 0
1
第34页，共80页。
2. 3. 1 逻辑表达式
我们已经学习过三种最基本的逻辑运算：逻辑与； 逻辑或；逻辑非，用他们，可以解决所有的逻辑运算问
题，因此可以称之为一个“完备逻辑集”。
Y AB BC CA
D
)
不属于单个变量上
的反号应保留不变 已知 Y2 AB C D C
则 Y2 ( A B) C D C
第27页，共80页。
3. 对偶规则： 如果两个表达式相等，则它们的对偶 式也一定相等。
将 Y 中“. ”换成“+”,“+”换成“.”“0” 换成 “1”,“1”换成“0”
Y
( 对偶式 )
0000 0
00
0
0010 0
01
0
0100 0
10
0
0111 1
11
1
100 0 1
11
1
101 0 1
11
1
110 0 1
11
1
1111 1
11
1
相等
第18页，共80页。
四、逻辑代数的一些特殊定理
同一律
A ·A = A A + A = A
德 摩根定理 A B A B A B A B
第4页，共80页。
真值表
AB Y
00 0
01 0 10 0 11 1
见0为0 全1为1
逻辑函数式
Y A B AB
逻
辑
符
A
&Y
号
B
与门（AND gate)
第5页，共80页。
2. 或逻辑：
决定某一事件的条件只要有一个或一个以上具备时， 这个事件就会发生,这样的逻辑关系称为或逻辑。
真值表
开关A
AB Y
第20页，共80页。
(5) AB AB A B AB
AB A B
A B AB
左 AB AB ( A B) ( A B)
A A A B AB B B A B AB 即 A B = A⊙B 同理可证 A⊙B A B
第21页，共80页。
六、关于异或运算的一些公式
第9页，共80页。
2. 1. 2 复合逻辑运算
(1) 与非逻辑
逻辑函数式 Y1 AB
真值表
AB
00
01
10
11
Y Y1 01
01
01
10
逻
辑A & 符B
Y1
号
见0为1 全1为0
第10页，共80页。
2. 1. 2 复合逻辑运算
(2) 或非逻辑
逻辑函数式 Y2 A B
真值表
AB
00 01
10
11
交换律 A B B A
AB B A
结合律 ( A B) C A (B C )
(A B) C A (B C) 分配律 A(B C ) AB AC
A BC ( A B) ( A C )
证明公式
A BC ( A B)( A C )
方法一：公式法
右式 ( A B)( A C ) A A A C A B B C
AB AC
A B AC
或非-或式
或非-或非式
AB AC
第36页，共80页。
2. 逻辑函数的标准形式
1 ） 最小项 标准与或表达式
Y F ( A ,B ,C ) AB AC
AB(C C ) AC(B B) ABC ABC ABC ABC
最小项 标准与或式就是最小项之和的形式
例如 Y1 A( B C ) CD
Y1 ( A BC ) (C D)
Y2 AB C D C
对偶规则的应用：证明等式成立
0 ·0 = 0
1+1=1
Y2 ( A B) C D C
运算顺序： 括号 与 或
A A 0 A A1
第28页，共80页。
2.3 逻辑函数的表示方法及其转换
Y F A, B,C
第30页，共80页。
逻辑函数具有以下特点： 1. 输入变量与输出变量之间的逻辑关系； 2. 函数由三种基本逻辑运算组成； 3. 输入和输出逻辑变量的取值只能是0或1。
逻辑函数的相等
F1 f1 (a1, a2 ,...an ) F2 f 2 (a1, a2 ,...an )
A AC AB BC A(1 C B) BC
A BC 左式
第17页，共80页。
证明公式 A BC ( A B)( A C )
方法二：真值表法 (将变量的各种取值代入等式
两边，进行计算并填入表中)
A B C B C A BC A B A C ( A B)( A C )
数字电子技术基础第二章逻辑 代数和逻辑函数化简ppt课件
第1页，共80页。
2.1 基本逻辑运算和复合逻辑运算
与逻辑 或逻辑
非逻辑
Y A B AB Y AB Y A
数码
0, 1 相反的逻辑状态
第2页，共80页。
2.1.1 基本逻辑运算
1. 与逻辑： 当决定一事件的所有条件都具备时，这个 事件才发生,这样的逻辑关系称为与逻辑。
Y Y2
01 10
10
10
逻
辑 A ≥1
符 号
B
Y2
见1为0 全0为1
第11页，共80页。
(3) 与或(非)逻辑 与或非逻辑
Y3 AB CD
与或逻辑
Y3 AB CD
A & ≥1
B C
Y3
D
(真值表略)
第12页，共80页。
(4) 异或逻辑 A B
=1
Y4
A B Y4 00 0
01 1
Y4 A B AB AB
00 0 01 1 10 1 11 1
电源
开关B
灯Y
或逻辑关系
开关断用0表示, 开关闭合用1表示
灯亮用1表示, 灭用0表示
第6页，共80页。
真值表
AB Y 00 0 01 1 10 1 11 1
逻辑函数式
Y AB
见1为1
全0为0
逻
辑 A ≥1 符B
Y
号
或门（OR gate)
第7页，共80页。
例：根据输入波形画出输出波形
A
&
A
>1
B
Y1 B
A
B
Y1
Y2
见““01””为为““10””，，全全““0”1为”为 “10””
Y2
第8页，共80页。
3. 非逻辑：
只要条件具备，事件便不会发生；条件不具备，
事件一定发生的逻辑关系。
真值表
R
A
Y
0
1
1
0
逻辑函数式
Y A
电源
开关A
灯Y
非逻辑关系
逻
辑
符A
1
Y
号
非门（NOT gate)
1 YA
A
YA
Y
第14页，共80页。
国标符号
曾用符号
A & Y AB A
B
B
美国符号
Y
A B
Y
A ≥1 Y A B A
B
B
Y
A B
Y
A B
=1 Y A B A B
Y
A B
Y
第15页，共80页。
2.2 逻辑代数的基本定律及规则
2. 2. 1 逻辑代数的基本定律
一、 常量之间的关系(常量：0 和 1 )
证明：德 摩根定理
AB
00 01 10 11
AB AB
01 01 01 10
A B A B A B A B AB
11 1 0 1 1
10 1 1 0 0
01 1 1 0 0
00 0 1 0 0
相等
相等
还原律
AA
第19页，共80页。
五、若干常用公式
(1) AB AB A(B B) A (2) A AB A(1 B) A 推广 A A( ) A
(5) 因果互换律
如果 A B C
证明
A0 A A A1
则有 A C B BC A
A AB AC 0B AC
ABB CB A0 C B
第23页，共80页。
刘雪婷 邮箱：liuxuet@163.第2c4页o，m共80页。
2.2.2 逻辑代数的基本规则
1. 代入规则： 等式中某一变量都代之以一个逻辑 函数，则等式仍然成立。
分配律 A BC ( A B) ( A C )
(3) A AB ( A A)( A B) A B
(4) AB AC BC AB AC
左 AB AC ( A A) BC A AB A AB AC ABC ABC AB AC
推论
AB AC BCD AB AC
标准与 或式
第37页，共80页。
（1） 最小项的概念： 包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或 反变量的形式出现一次。
Y F ( A ,B ) ( 2 变量共有 4 个最小项)
AB AB AB AB Y F ( A ,B ,C ) ( 3 变量共有 8 个最小项) ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
若两逻辑函数具有相同的真值表，则这两个逻 辑函数相等。
第31页，共80页。
从逻辑问题建立逻辑函数的过程
在现实生活中，为了解决实际逻辑问题，应 根据提出的问题，确定哪些是逻辑自变量， 哪些是逻辑因变量，然后研究他们之间的因 果关系，列出真值表，再根据真值表写出逻 辑表达式。
第32页，共80页。
•通过一个简单的例子加以介绍。
上面为 “1”，开关接下面为“0”
a
设电灯L为输出变量，灯亮L=1，
A
灯灭L=0。
(2) 列出A、B所有状态及对应输出L的状态， ~
c
即真值表。
220
(3) 根据真值表，写出逻辑表达式：
• 把对应函数值为“1”的变量组合挑出（即第1、 4）组合，写成一个乘积项；
•凡取值为“1”的写成原变量 A，取值为 “0”的写成反变量 A ；