定积分的背景_教学设计(省优质课)
4.1.1定积分的背景
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
解
将区间[0,1] 5等分，如图
如图(1)中，所有小矩形的面积之和(记为S1)，显然为过剩估计
值，
S1＝(0.23＋0.43＋0.63＋0.83＋13)×0.2＝0.36，
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时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？
[审题指导] 求 变速 运 动 的路 程 ， 可转 化 为 求曲 边 梯 形面
积，只要判断准函数v(t)的单调性，就不难得出不足估计值
和过剩估计值．
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【解题流程】 分割 → 以直代曲 → 求和 → 近似估计 → 估计误差
[规范解答] 将行驶时间1 h平均分成10份．
如图(2)中，所有小矩形的面积之和(记为s1)，显然为不足估计 值， s1＝(03＋0.23＋0.43＋0.63＋0.83)×0.2＝0.16， 因此，该曲边梯形的面积介于0.16与0.36之间．
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(1)估计曲边梯形的面积，主要是求其过剩估计值与 不足估计值，其关键是合理等分x的区间，求出相应的面积之 和．
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自学导引
1．曲边梯形 曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线 y＝f(x)所围
成的图形称为曲边梯形(如图)．
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定积分概念的课程设计
定积分概念的课程设计一、教学目标本节课的教学目标是让学生掌握定积分的概念及其应用。
具体来说，知识目标包括：了解定积分的定义、性质和计算方法；理解定积分在实际问题中的应用。
技能目标则要求学生能够运用定积分解决简单的问题，如计算曲线下的面积、求解弯曲物体的质心等。
情感态度价值观目标则是培养学生的数学思维能力，提高他们对数学的兴趣和自信心。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括定积分的定义、性质和计算方法。
首先，引导学生回顾不定积分的基本概念，为学生引入定积分做铺垫。
然后，详细讲解定积分的定义，通过实例让学生理解定积分的概念。
接着，介绍定积分的性质，如线性性质、保号性等，并通过例题让学生掌握这些性质的应用。
最后，讲解定积分的计算方法，如牛顿-莱布尼茨公式、分部积分法等，并通过练习让学生熟练运用这些方法。
三、教学方法为了达到本节课的教学目标，我将采用多种教学方法相结合的方式进行教学。
首先，运用讲授法，清晰、系统地讲解定积分的概念、性质和计算方法。
其次，采用讨论法，引导学生分组讨论定积分在实际问题中的应用，激发学生的思考。
此外，还将运用案例分析法，通过分析具体案例，让学生更好地理解定积分的应用。
最后，适时进行实验法，让学生在实验中感受定积分的作用，提高他们的实践能力。
四、教学资源为了支持本节课的教学内容和教学方法的实施，我将准备以下教学资源：教材、参考书、多媒体资料、实验设备。
教材和参考书将作为主要教学资源，为学生提供系统的理论知识。
多媒体资料则用于辅助教学，以图片、动画等形式展示定积分的概念和应用，增强学生的学习兴趣。
实验设备则用于进行实验教学，让学生在实践中掌握定积分的方法。
五、教学评估为了全面、客观地评估学生的学习成果，本节课的评估方式包括平时表现、作业和考试三个部分。
平时表现主要考察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，以鼓励学生积极思考和提问。
作业则包括定积分的计算练习和应用问题，以此检验学生对知识的掌握程度。
定积分的背景
1.1定积分的背景——面积和路程问题
学习目标：通过探求曲边梯形的面积、变速直线运动物体的路程和拉力做的功，使学生了解定积分的实际背景，体会定积分的思想方法。
问题导学：
1 结合课本问题1，回答以下问题：
（1）分割区间[]1,05等分，这5个闭区间分别是 ，而每个区间长度都是0.2 。
（2）求和:在计算不足近似值和过剩近似值时，先分别利用上面5个闭区间的左或右端点来计算小矩形的高，再用高分别乘以区间长度。
（3）求极限：当被分割成的小区间的长度 ，不足近似值和过剩近似值就都会趋于 。
（4）在分割区间时，我们先5等分，再10等分，如果不等分，结果会有所不同吗？
（5）如何使该问题的误差小于0.01？
2 试总结求曲边梯形面积的解题过程：
3 应用上面2总结的解题过程划分问题2的分析，比较问题1与问题2的相同点。
4 仿上面2个问题分析本节动手实践做功问题如下：
（1） 分割区间[]10,010等分.
（2） 求和：做功的过剩估计值=1W . 做功的不足估计值=1w .
（3） 这两个估计值的误差都不超过 .
5 试概括总结上面3个实际问题:
6 合作探究:练习1, 练习2, 习题4-1A 组3题
7 课堂总结。
定积分的背景——面积和路程问题
案例分析新课程NEW CURRICULUM一、教学内容分析课题：定积分的背景—面积和路程问题课型：新授课教材：《普通高中课程标准数学教科书·数学选修2-2》（北师大版）教材分析：本节的主要内容是展现定积分的实际背景，形成定积分的概念。
教材设计了3个实例：求曲边梯形的面积、根据物体运动的速度求路程、求物体拉力做的功。
通过这些问题的解决，总结这些问题的解决思路：即通过分割求和、加细、减小误差，然后再提高精确度的过程，这个过程是定积分思想的核心，为定积分概念的引入奠定了背景和方法的基础。
二、学情分析从学生的思维特点看，会从物理角度对问题进行解决。
这是积极因素，应因势利导。
教学对象是学生，虽然经过一年多的高中数学学习，具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。
三、设计思想《新课程改革纲要》提出，要“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力”。
对这一目标本人认为更加注重培养学生作为学习主体的能动性、独立性、创造性、发展性。
四、教学目标1.知识与技能：（1）了解定积分的实际背景。
（2）借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念。
2.过程与方法：通过洞察不同背景问题中蕴涵的相同数学内涵的过程，领会如何先考虑得到近似解，然后再研究提高精确程度的定积分的解决问题的基本方法，提高从数学角度分析和看待问题的能力。
3.情感、态度与价值观：通过对不同背景下的问题用统一数学方法的揭示，认识数学与实际生活的联系，以及数学的广泛应用。
五、教学重点与难点1.教学重点：对实际问题解决的分析（即如何通过分割、求和、取极限求出曲边梯形面积和变速直线运动物体的路程），这个过程是积分思想的灵魂。
2.教学难点：例题的分析及解题思路的总结提炼。
定积分的起源和背景
定积分的起源和背景一、定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是对曲线下面的面积进行计算的一种方法。
在数学上，定积分是对一个函数在某个区间内的面积进行求解，通常用符号∫来表示。
二、定积分的起源和背景1. 希腊数学家亚历克西斯·斯图菲特（Alexis Clairaut）提出了曲线下方面积的概念，并将其称为“fluxion”，这是定积分的最早形式。
2. 后来，德国数学家高斯（Carl Friedrich Gauss）和勒贝格（Joseph Louis François Bertrand）独立地发明了现代意义上的定积分。
3. 在17世纪末期，牛顿和莱布尼茨独立地发明了微积分，并将其应用于物理学、工程学等领域中。
三、定积分的定义与性质1. 定义：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上的定积分为∫abf(x)dx。
其中dx表示自变量x所取得小量。
2. 性质：（1）可加性：若f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，则∫ab[f(x)+g(x)]dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx。
（2）线性性：若f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，c为任意常数，则∫ab[c·f(x)]dx=c·∫abf(x)dx。
（3）区间可加性：若f(x)在区间[a,c]和[c,b]上连续，则∫abf(x)dx=∫cf(x)dx+∫bf(x)dx。
四、定积分的计算方法1. 几何法：将曲线下方的面积分割成若干个小面积，然后将这些小面积相加得到整个曲线下方的面积。
2. 牛顿-莱布尼茨公式：设F(x)是f(x)的一个原函数，则有∫abf(x)dx=F(b)-F(a)，即定积分等于原函数在区间端点处的差值。
3. 分部积分法：设u=u(x)，v=v(x)，则有∫uv'dx=uv-∫u'vdx。
五、定积分的应用1. 几何应用：可以计算曲线下方的面积、曲线长度、曲线旋转体体积等几何量。
《定积分的概念》参考省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
g(x)dx
a
S1
b
y a
fg((x))dx
b
S2
g ( x)dx
a
O aa
bx
（三）、定积分旳基本性质
性质1.
b
b
a kf ( x )dx k a f ( x )dx
性质2.
b
b
b
[ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx
a
a
a
三：定积分旳基本性质 性质3. 定积分有关积分区间具有可加性
积分上限
n
b
f ( x)dx I
a
lim
n
i 1
f (i )xi
积分 下限
积分变量 被积体现式 被积函数
阐明：
(1) 定积分是一种数值,
它只与被积函数及积分区间有关，
而与积分变量旳记法无关，即
b f(x)dx
b
f (t)dt
b f(u)du。
a
a
a
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
a
定积分旳定义：
即
b a
f
( x)dx
lim
n
n i1
b
n
a
f
(i )
定积分旳有关名称：
———叫做积分号， y
f(x) ——叫做被积函数，
y f (x)
f(x)dx —叫做被积体现式，
x ———叫做积分变量，
a ———叫做积分下限， O a
b ———叫做积分上限，
bx
[a, b] —叫做积分区间。
a
Oa
b
c
f (x)dx =-Sf (x)dx
定积分的背景
定积分的背景【学习目标】1.会求过剩估计值和不足估计值。
2.掌握如何减小误差3.由不同背景的问题蕴涵统一的数学内容，体会数学的实用性 【重点难点】理解误差趋于零时过剩估计值和不足估计值趋于同一常数 【问题提出】我们已经学会了正方形、三角形、梯形等图形的计算、这些图形有一个共同特征：每条边都是 。
但我们生活与工程实际中经常接触的大都是 ，它们的面积怎么计算呢？ 【学习过程：】学习课本75页对问题1分析方法后完成导学问题1问题1：学习课本75页问题分析方法后完成问题1和问题2。
图1中阴影部分是由曲线xx f 1)(=，直线2,3x x ==以及轴围成的平面图形。
试估计这个曲边梯形的面积S 。
分析：（1）在区间[]2,3上等间隔插入4个点，如下图2所示将它等分成 个小区间，我们将区间长度记为x ∆，x ∆= 图2-1中所有小矩形的面积之和记为1S ，1S 显然 所求的曲边梯形的面积，我们称1S 为S 的 ,有1S = =图2-2中所有小矩形的面积之和记为1s ，1s 显然 所求的曲边梯形的面积，我们称1s 为S 的 ,有1s = =从图2-3可知无论用过剩估计值1S 或不足估计值1s 近似表示曲边梯形面积S ，都存在误差，误差都不会超过 =（2）类似的，将区间[]2,310等分，区间长度x ∆= 所求曲边梯形面积的过剩估计值为2S = =不足估计值为2s = =无论用过剩估计值2S 或不足估计值2s 近似表示曲边梯形面积S ，都存在误差，误差都不会超过 =学习课本76页对问题2分析方法后完成导学问题2和问题3问题2：如果汽车在某一段时间内的速度函数为()20,05v t t t =≤≤，试估计汽车在这段时间内走过的距离，并写出估计值的误差。
解：将区间[]0,5分成10等份，每一等份的长度x ∆=过剩估计值S = =不足估计值s = = 过剩估计值与不足估计值之差为S —s =问题3：设力F (单位N )的方向与物体运动的方向一致，力的大小随着物体走过的路程x （单位：m ）而变化，可以表示为：1()1F F x x==+，估计力F 0~1m 在这段路程内做的功，要求误差不超过1N m ⋅。
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的背景-曲边梯形的面积-课件省名师优质课赛课获奖课件
y = f(x) y
怎样求曲边梯 形旳面积
A1
Oa
b
x
用一种矩形旳面积A1近似替代曲边梯形旳面积A，
得 A A1.
y = f(x) y
怎样求曲边梯 形旳面积
A1 Oa
Байду номын сангаас
A2
b
x
用两个矩形旳面积 近似替代曲边梯形旳面积A， 得 A A1+ A2
y = f(x) y
怎样求曲边梯 形旳面积
A1
A2
北师大版高中数学选修2-2 第四章《定积分》
一、教学目旳：了解求曲边图形面积 旳过程：分割、以直代曲、逼近，感受在 其过程中渗透旳思想措施。
二、教学重难点：
要点：掌握过程环节：分割、以直代 曲、求和、逼近（取极限）
难点：对过程中所包括旳基本旳微积 分 “以直代曲”旳思想旳了解
三、教学措施：探析归纳，讲练结合
y x2
⑴分割
⑵近似替代
⑶求和 ⑷取极限
第i个小区间 O i - 1 i 1 x
nn
区间长度：△x=
1 n
区间高：h=
f
i
1 n
小矩形面积：△S=
f
i 1 n
1 n
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成旳曲边梯形旳面积。
解把底边[0,1]提成n等份,然后在每个分点作底边旳垂线, 这么 曲边三角形被提成n个窄条, 用矩形来近似替代,然后把这些小 矩形旳面积加起来, 得到一种近似值:
A3
A4
Oa
b
x
用四个矩形旳面积 近似替代曲边梯形旳面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
y = f(x) y
高中数学定积分的背景教案
高中数学定积分的背景教案
一、教学目标：
1. 了解定积分的定义和意义；
2. 掌握定积分的计算方法和性质；
3. 能够应用定积分解决实际问题。
二、教学重点：
1. 定积分的定义；
2. 定积分的计算方法；
3. 定积分的应用。
三、教学难点：
1. 定积分的计算方法；
2. 定积分在实际问题中的应用。
四、教学准备：
1. 教师备课：整理定积分的相关知识点和例题；
2. 教材准备：准备教材和课件；
3. 学生准备：学生需要具备基础的微积分知识。
五、教学过程：
1. 导入：通过举例引出定积分的定义和意义；
2. 讲解：介绍定积分的定义，计算方法和性质；
3. 练习：布置相关练习题，引导学生理解和掌握定积分的计算方法；
4. 应用：通过实例演示定积分在实际问题中的应用；
5. 总结：总结定积分的重点知识点和解题技巧。
六、教学反思：
1. 教学内容设计是否合理；
2. 学生是否能够理解和掌握定积分的相关知识点；
3. 学生在课堂中的表现和反馈。
七、课后作业：
1. 完成相关练习题；
2. 总结定积分的计算方法和应用。
八、教学评价：
1. 通过课堂表现和作业完成情况评价学生的学习水平；
2. 及时反馈学生的问题并做好辅导工作。
定积分的概念省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
x
以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
近似
曲边梯形面积旳近似值为
n
A f (i )xi
i 1
求和
当分割无限加细,即小区间的最大长度
max{x1, x2 ,xn } 趋近于零 ( 0) 时，
n
曲边梯形面积为
A
lim
0
i 1
f
(i )xi
播放
曲边梯形如图所示， 在区间 [a,b]内插入若干
个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b,
把区间 [a,b] 分成 n y
个小区间 [ xi1, xi ]， 长度为 xi xi xi1;
分割
在每个小区间 [ xi1, xi ]
上任取一点
，
i
o a x1
b xi1i xi xn1
取极限
实例2 旅程问题（Distance Problem)
设某质点作直线运动，速度v v(t ) 是时间 间隔[T1 ,T2 ]上t 的一个连续函数，求物体在这
段时间内所经过的路程.
对于匀速运动，我们有公式 旅程=速度X时间
处理变速运动旳旅程旳基本思绪
把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速 度看作不变，求出各小段旳旅程旳近似值,再相加， 便得到旅程旳近似值，最终经过对时间旳无限细分 过程求得旅程旳精确值．
A
曲边梯形旳面积 旳负值
y
a
A2
o
A1
b
A3 x
它是介于 x 轴、函数 f ( x) 的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代 数和． 在 x 轴上方的面积取正号； 在 x 轴下方的面 积取负号．
定积分的市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案
定积分的教案导语：定积分是高中数学中的一项重要内容，属于高中数学必修三的范畴。
定积分的学习可以帮助学生进一步理解函数的性质和几何意义，掌握积分的基本概念和方法。
本教案旨在帮助教师在课堂上设计一堂生动有趣的定积分课，引导学生主动参与学习，提高他们的理解能力和解题能力。
一、教学目标1. 理解定积分的几何意义，掌握定积分的定义。
2. 掌握定积分的计算方法，包括利用定积分计算函数的面积、利用定积分求解函数的平均值等。
3. 运用定积分解决实际问题，培养学生的问题解决能力和应用能力。
二、教学重点1. 定积分的几何意义和定义。
2. 定积分的计算方法。
3. 实际问题的应用。
三、教学难点1. 定积分与函数面积的联系。
2. 定积分的定义和计算方法的理解。
四、教学过程1. 导入新知识（5分钟）教师引导学生回顾曲线的面积计算方法，并提出定积分的问题：如何对曲线下的面积进行准确计算呢？2. 基础知识讲解（15分钟）教师依据课本内容，简要解释定积分的定义和几何意义。
定积分是通过将区间划分为无穷多个小段，然后对每个小段内的面积进行求和来进行计算的。
教师结合示意图，让学生理解定积分的基本概念。
3. 计算方法讲解（20分钟）（1）教师介绍定积分的计算方法。
通过将区间划分为若干个小段，每个小段内取一个点作为代表点，并计算出每个小段的面积，然后将这些小段的面积相加，即可得到定积分的近似值。
随着小段的数量趋于无穷大，定积分的近似值也会趋于准确值。
（2）教师通过例题演示，说明如何利用定积分计算函数的面积和求解函数的平均值。
4. 应用与拓展（25分钟）（1）教师设计实际问题，结合现实生活中的场景，引导学生运用所学知识进行定积分的应用。
例如，计算某段道路上的车流量，或者计算某段曲线下的液体体积等。
（2）教师组织学生分组进行课堂竞赛，让学生通过运用定积分解决问题，提高他们的问题解决能力和团队合作能力。
5. 总结与展望（10分钟）教师对本节课的内容进行总结，并展望下一节课的主题。
高中数学-定积分定义省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
一、定积分问题举例 二、定积分定义 三、定积分旳性质
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一、定积分问题举例
1.曲边梯形旳面积
•曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线xa、xb、
y0及曲线yf (x)所围成旳图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称 为曲边.
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n n
1
1e n
n
1
n(1e n )
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•利用几何意义求定积分
例例22 用定积分的几何意义求 01(1 x)dx .
解 函数 y1x在区间[0, 1]上旳定积分是以y1x为曲边, 以区间[0, 1]为底旳曲边梯形旳面积.
因为以y1x为曲边, 以区间[0, 1]为底旳曲边梯形是一种 直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以
n
(3)求和:
曲边梯形旳面积近A 似li为m 0 i1
f
(x i
)Dxi
;.
(4)取极限: 设max{Dx1, Dx2,, Dxn}, 曲边梯形旳面积为
n
A
lim
0 i1
f
(x i
)Dxi
.
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2.变速直线运动旳旅程
已知物体直线运动旳速度vv(t)是时间 t 旳连续函数, 且
S
T2v(t)dt T1
.
阐明：
定积分旳值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变
量旳记法无关, 即
b
a
f
(x)dx
b
a
f
(t)dt
b
a
f
(u)du
.
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定积分的背景省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
f
(i ) xi
积分下限
积分和
积分变量 被积体现式 被积函数
定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分
变量用什么字母表达无关 , 即
b
b
b
a f (x) dx a f (t) d t a f (u) d u
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定积分旳几何意义:
b
f (x) 0, a f (x)dx A
曲边梯形面积
f (x) 0,
b
a f (x)dx A
曲边梯形面积旳负值
y
A1
a
A2
A3
A5
A4
bx
b
a f (x) d x A1 A2 A3 A4 A5
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可积旳充分条件:
定理1. 函数 f (x) 在 [a,b]上连续
f (x) 在 [a,b]可积 .
1i n
n
y
A
lim
0
i
1
Ai
n
lim
0
i1
f
( i
)xi
o a x1 xi1 xi b x
i
1、分割 将[a，b]分割为n个小区间
2、取介点 在每个小区间上任取一点ξi
3、局部以直代曲 每个小区间上旳曲线y=f(x)用
y
直线段y=f(ξi)替代
4、作和：S∆= f (1)x1 f (2 )x2 f (i )xi f (n )xn
f
(x),
则 a a
f
( x) dx
0
证:
a
0
a
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
定积分概念、求解省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
y
f ( )
o a
b
在区间[a, b]上至少存在
一点 ,使得以区间[a, b]为
底边,以曲线y f ( x)为曲 边的梯形面积等于同一底
边而以f ( )为高的一个矩
x 形面积.
定积分旳计算
定积分计算
怎样计算定积分？
b a
f (t)dt
n
lim 0 i1
f (i )xi
定义很复杂，直接计算很困
f ( x) 0,
b f ( x)dx A 曲边梯形旳面积旳负值 a y
A1
a O A2
A3
A4 b x
b a
f ( x)dx
A1
A2
A3
A4
几何意义
它是介于 x 轴、函数 f ( x)的图形及两条直 线 x a, x b 之间的各部分面积的代数和． 在x 轴上方的面积取正号;在 x 轴下方的面积 取负号．
0
0
6
023 036
定理 b1 dx b dx b a .
a
a
a
b
π 2 3dx
0
3
π
2 dx
0
3 2π
.
对定积分旳补充要求:
(1)当a b时,令 b f ( x)dx 0. a
(2)当a b且 a f ( x)dx存在时,则 b
b f ( x)dx a f ( x)dx.
0
表示由x 0, x 1, y 1 x2 及x轴围成
的 1圆面积. 4
y x
1 1 x2dx 0
1 π 12 1 .
4
4
x0 A x1
0 y0 1
三、定积分旳性质
定理 若f ( x)在[a, b]上可积, k为常数,则kf ( x)
定积分概念背景2教师用
第一节 定积分的概念背景（2）姓名 . 日期 .教学目标：1.借助几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；2.理解掌握定积分的几何意义．3．体会无限细分和无穷累积的思想。
教学重难点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义． 【预习案】1.曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：2．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上，将区间[,]a b 分成n 个小区间，分点为0121......i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n δ= ，区间长度为i x ∆作和式：11221()()()...()...()nn i i i n n i S f x f x f x f x f x ξδδδδ==∆=∆+∆+∆++∆∑当n →+∞，i x ∆趋于0，上述和式n S 无限趋近于常数A ，那么称该常数A 为函数()y f x =在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()b af x dx A =⎰，其中⎰叫作 ，a 叫作 ，b 叫作 ， ()f x 叫作 ，x 叫作积分变量，[,]a b 叫作积分区间。
3.几何意义和物理意义：曲边图形面积：()b aS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功()b aW F r dr =⎰注：若被积函数是负的，函数图像在x 轴 ，定积分的值就是带负号的曲边梯形的面积。
【探究案】1．用图形表示下列定积分： （1）21ln xdx ⎰（2）01xe dx -⎰2.用定积分的几何意义求值 （1）21(1)x dx +⎰ （2）b axdx ⎰（0a b <<且,a b 为常数）（3）3⎰【训练案】1． 502xdx ⎰= .2．11x dx -⎰= .定积分性质：性质1:1ba dxb a =-⎰；性质2:()()()b b a akf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数；性质3:[()()]()()b b b aaaf xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰；性质4:()()()()bc ba acf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中另外：(1) ()()b aabf x dx f x dx =-⎰⎰； (2) ()a af x dx =⎰AM N B AM PC C PN BS S S =+曲边梯形曲边梯形曲边梯形。
高中数学同步学案 定积分的背景 面积和路程问题 定积分
§1 定积分的概念1.1 定积分的背景——面积和路程问题1.2 定积分学 习 目 标核 心 素 养1．了解定积分的实际背景及定积分的概念. 2．理解定积分的几何意义及性质．(难点) 3.能利用定积分的几何意义解决简单的定积分计算问题．(重点)1．借助图形理解定积分的几何意义,提升了学生的直观想象的核心素养.2．借助利用定积分的几何意义求定积分的学习,培养了学生数学运算的核心素养.1．曲边梯形的面积 (1)曲边梯形的概念由直线x ＝a,x ＝b(a≠b),y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图所示)．(2)求曲边梯形面积的步骤①分割,②近似替代,③求和,④取极值． 2．定积分 (1)定积分的定义一般地,给定一个在区间[a,b]上的函数y ＝f(x),将[a,b]区间分成n 份,分点为：a ＝x 0<x 1<x 2<…<x n －1<x n ＝b.第i 个小区间为[x i －1,x i ],设其长度为Δx i ,在这个小区间上取一点ξi ,使f(ξi )在区间[x i －1,x i ]上的值最大,设S ＝f(ξ1)Δx 1＋f(ξ2)Δx 2＋…＋f(ξi )Δx i ＋…＋f(ξn )Δx n .在这个小区间上取一点ζi ,使f(ζi )在区间[x i －1,x i ]上的值最小,设s ＝f(ζ1)Δx 1＋f(ζ2)Δx 2＋…＋f(ζi )Δx i ＋…＋f(ζn )Δx n .如果每次分割后,最大的小区间的长度趋于0,S 与s 的差也趋于0,此时,S 与s 同时趋于某一个固定的常数A,我们就称A 是函数y ＝f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作⎠⎛a bf(x)dx,即⎠⎛abf(x)dx ＝A.其中∫叫作积分号,a 叫作积分的下限,b 叫作积分的上限,f(x)叫作被积函数．(2)定积分的几何意义如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0,那么定积分⎠⎛abf(x)dx 表示由直线x ＝a,x ＝b(a≠b),x 轴和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．(3)定积分的性质 ①⎠⎛a b1dx ＝b －a ；②⎠⎛a b kf(x)dx ＝k ⎠⎛abf(x)dx(k 为常数)；③⎠⎛a b [f(x)±g(x)]dx＝⎠⎛a b f(x)dx ±⎠⎛abg(x)dx ；④⎠⎛ab f(x)dx ＝⎠⎛ac f(x)dx ＋⎠⎛cbf(x)dx(其中a<c<b)．[提醒] 若f(x)在[－a,a]上连续,则①当f(x)是偶函数时,⎠⎛-aaf(x)dx ＝2 ⎠⎛0af(x)dx ；②当f(x)是奇函数时,⎠⎛-aaf(x)dx ＝0.1．函数f(x)＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2,…,n)上,( ) A ．f(x)的值变化很小 B ．f(x)的值变化很大 C ．f(x)的值不变化D ．当n 很大时,f(x)的值变化很小D [当n 很大时,矩形的宽越来越小,区间端点处的函数值越来越接近,函数值变化很小．]2．在计算由曲线y ＝－x 2以及直线x ＝－1,x ＝1,y ＝0所围成的图形面积时,若将区间[－1,1]n 等分,则每个小区间的长度为__________．2n [每个小区间长度为1－(－1)n＝2n .] 3．已知⎠⎛ab f(x)dx ＝6,则⎠⎛ab6f(x)dx ＝________.36 [⎠⎛a b 6f(x)dx ＝6⎠⎛a bf(x)dx ＝6×6＝36.]4．若⎠⎛abf(x)dx ＝3,⎠⎛abg(x)dx ＝2,则⎠⎛ab[f(x)＋g(x)]dx ＝________.5 [原式＝3＋2＝5.]求曲边梯形的面积2思路探究：按分割、近似代替、求和、取极限四个步骤进行求解．[解] 分割：在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个点,将区间[1,2]等分成n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，n ＋1n ,⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋1n ，n ＋2n ,…,⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋n －1n ，2n n . 记第i 个区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1,2,…,n),其长度为Δx＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n .分别过上述n －1个分点作x 轴的垂线,从而得到n 个小曲边梯形,它们的面积分别记作：ΔS 1,ΔS 2,…,ΔS n ,显然,S ＝∑i ＝1nΔS i .近似代替：记f(x)＝x 2,当n 很大,即Δx 很小时,在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n，n ＋i n 上,可以认为函数f(x)＝x 2的值变化很小,近似地等于一个常数,不妨认为它近似地等于右端点处的函数值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i n 2,从图形(图略)上看,就是用平行于x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样,在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n 上,用小矩形的面积ΔS′i 近似地代替ΔS i ,即在局部小范围内“以直代曲”,则有ΔS i ≈ΔS′i ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i n ·Δx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i n 2·1n ＝1n 3(n 2＋2ni ＋i 2)(i ＝1,2,…,n),①求和： 由①可推知S n ＝∑i ＝1nΔS′i ＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i n ·Δx＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i n 2·1n ＝∑i ＝1n 1n 3(n 2＋2ni ＋i 2) ＝1n 3(∑i ＝1n n 2＋2n ∑i ＝1n i ＋∑i ＝1ni 2)＝1n 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤n 3＋2n ·n (n ＋1)2＋n (n ＋1)(2n ＋1)6 ＝2＋1n ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ,从而得到S 的近似值S≈S n ＝2＋1n ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n .取极限：可以看到,当n 趋向于无穷大时,即Δx 趋向于0时,S n ＝2＋1n ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n 趋向于S,从而有S ＝lim n→∞)S n ＝lim n→∞)∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i n ·1n ＝lim n→∞)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋1n ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＝2＋0＋13(1＋0)(1＋0)＝2＋13＝73.由极限法求曲边梯形的面积的步骤第一步：分割．在区间[a,b]中等间隔地插入n －1个分点,将其等分成n 个小区间[x i －1,x i ](i ＝1,2,…,n),小区间的长度Δx i ＝x i －x i －1．第二步：近似代替,“以直代曲”．用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,求出小曲边梯形面积的近似值．第三步：求和．将n 个小矩形的面积进行求和得S n . 第四步：取极限．当n→∞时,S n →S ,S 即为所求．1．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1,x ＝2,y ＝0所围成的平面图形面积时,把区间5等分,则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．1.02 [将区间5等分所得的小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，65,⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，75,⎣⎢⎡⎦⎥⎤75，85,⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，95,⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，2,于是所求平面图形的面积近似等于110⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×25525＝1.02．]定积分的几何意义(1) ⎠⎛-339－x 2dx ；(2)⎠⎛03(2x ＋1)dx ；(3)⎠⎛-11(x 3＋3x)dx.思路探究：对于本题(1)、(2)可先确定被积函数、积分区间,画出图形,然后用几何法求出图形面积,从而确定定积分的值；对于(3)可根据被积函数的奇偶性求解．[解] (1)曲线y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆如图①所示． 其面积为S ＝12·π·32＝92π.由定积分的几何意义知⎠⎛-339－x 2dx ＝92π.(2)曲线f(x)＝2x ＋1为一条直线.⎠⎛03(2x ＋1)dx 表示直线f(x)＝2x ＋1,x ＝0,x ＝3,y ＝0围成的直角梯形OABC 的面积,如图②.其面积为S ＝12(1＋7)×3＝12．根据定积分的几何意义知⎠⎛03(2x ＋1)dx ＝12．图① 图②(3)∵y＝x 3＋3x 在区间[－1,1]上为奇函数,图像关于原点对称,∴曲边梯形在x 轴上方部分面积与x 轴下方部分面积相等．由定积分的几何意义知⎠⎛-11(x 3＋3x)dx ＝0.1．定积分的几何意义的应用(1)利用定积分的几何意义求⎠⎛abf(x)dx 的值的关键是确定由曲线y ＝f(x),直线x ＝a,x ＝b 及y ＝0所围成的平面图形的形状．常见的图形有三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积,要注意分割点要确定准确．2．奇、偶函数在区间[－a,a]上的定积分(1)若奇函数y ＝f(x)的图像在[－a,a]上连续,则⎠⎛－aaf (x )dx ＝0.(2)若偶函数y ＝f(x)的图像在[－a,a]上连续,则⎠⎛－a af (x )dx ＝2⎠⎛0af(x)dx.2．根据定积分的几何意义求下列定积分的值． (1)⎠⎛-11xdx ；(2)⎠⎛02πcos xdx ；(3)⎠⎛-11|x|dx.[解] (1)如图①,⎠⎛-11xdx ＝－A 1＋A 1＝0.(2)如图②,⎠⎛02πcos xdx ＝A 1－A 2＋A 3＝0.(3)如图③,∵A 1＝A 2,∴⎠⎛-11|x|dx ＝2A 1＝2×12＝1．(A 1,A 2,A 3分别表示图中相应各处面积)定积分性质的应用1．怎样求分段函数的定积分？[提示] 可先把每一段函数的定积分求出后再相加． 2．怎样求奇(偶)函数在区间[－a,a]上的定积分？[提示] (1)若奇函数y ＝f(x)的图像在[－a,a]上连续,则⎠⎛a－af(x)dx ＝0； (2)若偶函数y ＝g(x)的图像在[－a,a]上连续, 则⎠⎛-a ag(x)dx ＝2⎠⎛0ag(x)dx.【例3】 利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积． (1)y ＝0,y ＝x,x ＝2； (2)y ＝x －2,x ＝y 2．思路探究：由定积分的几何意义,作出图形,分割区间表示． [解] (1)曲线所围成的平面区域如图①所示． 设此面积为S,则S ＝⎠⎛02(x －0)dx ＝⎠⎛2xdx.① ②(2)曲线所围成的平面区域如图②所示． 设面积为S,则S ＝A 1＋A 2．因为A 1由y ＝x,y ＝－x,x ＝1围成, A 2由y ＝x,y ＝x －2,x ＝1和x ＝4围成,所以A 1＝⎠⎛01[x －(－x)]dx ＝⎠⎛012xdx,A 2＝⎠⎛14[x －(x －2)]dx ＝⎠⎛14(x －x ＋2)dx.故S ＝⎠⎛012x dx ＋⎠⎛14(x －x ＋2)dx.利用定积分的性质求定积分的技巧灵活应用定积分的性质解题,可以把比较复杂的函数拆成几个简单函数,把积分区间分割成可以求积分的几段,进而把未知的问题转化为已知的问题,在运算方面更加简洁．应用时注意性质的推广：3．如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )A.14 B.15 C.16D.17C [根据题意,正方形OABC 的面积为1×1＝1,而阴影部分由函数y ＝x 与y ＝x 围成,其面积为⎠⎛01(x －x)dx ＝16.则正方形OABC 中任取一点P,点P 取自阴影部分的概率为16.]1．定积分是一个数值(极限值),它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限,而与积分变量用什么字母表示无关．定积分⎠⎛abf(x)dx 与积分区间[a,b]息息相关,不同的积分区间,定积分的积分上、下限不同,所得的值一般也不同．2．求曲边梯形的面积的步骤用直边形(如矩形)逼近曲边梯形的方法求曲边梯形的面积,具体步骤如下：3．定积分的物理意义：从物理学的角度来看,如果在时间区间[t 1,t 2]上v ＝v(t)连续且恒有v(t)≥0,那么定积分⎠⎛t 1t 2v(t)dt 表示做变速直线运动的物体在时间区间[t 1,t 2]内经过的路程．这就是定积分⎠⎛t 1t 2v(t)dt 的物理意义．4．关于定积分的几何意义由三条直线x ＝a,x ＝b(a<b),x 轴及一条曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积为S,则有： ①若在区间[a,b]上,f(x)≥0,则S ＝⎠⎛abf(x)dx,如图(1)所示,即⎠⎛abf(x)dx ＝S.(1) (2) (3)②若在区间[a,b]上,f(x)≤0,则S ＝－⎠⎛abf(x)dx,如图(2)所示,即⎠⎛abf(x)dx ＝－S.③若在区间[a,c]上,f(x)≥0,在区间[c,b]上, f(x)≤0,则S ＝⎠⎛a cf(x)dx －⎠⎛cbf(x)dx,如图(3)所示,即⎠⎛abf(x)dx ＝S A －S B (S A ,S B 表示所在区域A,B 的面积)．1．下列等式不成立的是( )A.⎠⎛ab[mf(x)＋ng(x)]dx ＝m ⎠⎛abf(x)dx ＋n ⎠⎛abg(x)dxB.⎠⎛ab [f(x)＋1]dx ＝⎠⎛abf(x)dx ＋b －aC.⎠⎛ab f(x)g(x)dx ＝⎠⎛ab f(x)dx·⎠⎛abg(x)dxD.⎠⎛－2π2πsin xdx ＝⎠⎛－2πsin xdx ＋⎠⎛02πsin xdxC [利用定积分的性质可判断A,B,D 成立,C 不成立．例如⎠⎛02xdx ＝2,⎠⎛022dx ＝4,⎠⎛022xdx ＝4,即⎠⎛022xdx≠⎠⎛02xdx·⎠⎛022dx.]2．当n 很大时,函数f(x)＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n，i n 上的值可以用下列哪个值近似代替( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1nB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n D ．f(0)C [当n 很大时,f(x)＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替,显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替．]3．由函数f(x)＝(x －1)3,x ＝12,x ＝2及x 轴围成的封闭图形的面积是________．1764 [由题意,函数f(x)＝(x －1)3,x ＝12,x ＝2及x 轴围成的封闭图形的面积为S ＝⎠⎛12(x －1)3dx －⎠⎜⎛121(x －1)3dx ＝14×(2－1)4＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＝1764.]4．用定积分的几何意义求⎠⎛-114－x 2dx.[解] 由y ＝4－x 2可知x 2＋y 2＝4(y≥0),其图像如图．⎠⎛-114－x 2dx 等于圆心角为60°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和．S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－3,S 矩形＝|AB|·|BC|＝23, ∴⎠⎛-114－x 2dx ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3.。
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定积分的背景
数学王乃雪高安二中 382317596qq.
【教学目标】
1.知识目标
通过曲边梯形的面积问题、变速直线运动物体的路程问题、变力做功问题理解定积分概念的形成的基本思想，初步了解、感受定积分的实际背景。
2.能力目标
通过探索求曲边梯形的面积的过程，了解用“分割、近似代替、求和、取极限”的步骤分析问题的方法，从而培养学生的逻辑思维能力；体会“以直代曲”，“逼近”的思想，理解用极限的思想方法思考与处理问题，从而培养学生的创新意识。
3. .情感目标
对不同背景下的问题中蕴含的统一数学涵的过程的揭示，认识到数学与生活的联系和数学在实用性方面的巨大力量，进而对数学中蕴含的理性美产生发自心的欣赏情感。
【教学重难点】
1.教学重点
了解以直代曲、逼近的数学思想，初步掌握求曲边梯形面积的步骤。
2.教学难点
曲边梯形的不足近似和过剩近似两种近似面积的求法。
【教学过程】
一、创设情境，引入新课
介绍我国晋时期的数学家徽以及他的“割圆术”： 徽(约公元225年—295年)，临淄人，晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一。
他的杰作《九章算术》，是中国最宝贵的数学遗产，影响、
支配中国古代数学的发展1000余年，是数学的典之
一，与希腊欧几里得的《几何原本》所代表的古代西方数学交相辉映。
他对数学的主要贡献是创造十进小数、证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理；定义许多重要数学概念解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题；创造了割圆术，运用极限观念计算圆面积和圆周率。
在右图中的圆作接正多边形，通过变量来改变正多边形的边数，用正多边形面积来近似估计圆的面积。
提问：
1.可以用正六边形的面积来表示圆的面积吗？可以用正12边形来表示吗？
2.要使用多边形的面积近似表示圆的面积更精确，应该怎么办？
3.用接正多边形的面积来表示圆的面积，怎么计算圆周率π？ 割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体无所
失矣。
——徽
O
O
圆内接正6边形
圆内接正12边形
刘徽（约公元225年—295年）
二、新课讲授
曲边梯形的概念：
由三条直线x 轴、x=a 、x=b 和一条曲线2
x y =围成的封闭图形，就叫做曲边梯形。
提问：我们知道多边形、圆形、扇形等规则图形的面积求法，那怎么求曲边梯形的面积？
探究一、求曲边梯形的面积
问题1：求由x 轴、直线x=1和曲线2x y =围成图形的面积
（一） 分割
为了计算曲边梯形的面积S ，将它分割成许多小曲边梯形，如下图所示。
（二） 近似代替 提问：
1.我们将曲边梯形分割后，可以用图1或者图2
中的小矩形的面
积和来代替由x 轴、x=a 、x=b 和曲线2x y =围成的图形的面积吗？
2.如果还有比较大的误差，我们可以怎么做使误差变小？
3.将区间[0,1]分的越细，误差越小吗？
在图1和图2中不断增加小矩形的数量，得到的阴影部分的面积会越来越接近由x 轴、直线x=1和曲线2
x y =围成的面积，而图3中的面积会越来越小，直至无限接近于0.因此，只要区间分的够细小，我们就可以用图1或者图2中的矩形的
面积来近似代替由x 轴、x=a 、x=b 和曲线2x y =围成的图形的面积。
下面以图1为例求不足近似的面积。
把区间[0，1]等分成n 个小区间：]1,1
[,],,1[
],2,1[],1
,0[n
n n i n i n n n
-- ；
每个区间长度为n 1，第i 个小矩形的高度为2)1
(n
i -，所以第i 个小矩形
的面积为2)1
(1n
i n -⨯。
（三） 求和
)12n (n )1n (6
1
n 1])1n (210[n 1]
)1()1()1()0[(1S S S S 3222232
222n 21--⨯=-+⋅⋅⋅+++=-++-+++=+⋅⋅⋅++=n
n n i n n n
（四） 逼近(求极限)
当分割无限变细，即+∞→n 时，3
1
)12n (n )1n (61n 13
→--⨯=S ，所以所求曲边梯形的面积为3
1。
练习1：仿照上面求不足近似面积的方法
求图2中由x 轴、直线x=1和曲线2x y =围成的图形的过剩近似面积
探究二、变速运动的路程问题 提问:
1.匀速直线运动路程公式是什么？
2.若以时间为横坐标，速度为纵坐标建立坐标系，那么路程可以用什么表示？
3.如果是变速直线运动，路程怎么求？
问题2：一辆汽车的司机猛踩刹车，汽车滑行5s 后停下，在这一过程中汽车的速度v 是时间t 的函数：)50(2510)(2≤≤+-=t t t t v ,请估计汽车在刹车过程中滑行的距离s 。
用横坐标表示时间，纵坐标表示速度，可以得到速度关于时间的函数图象如右图所示。
提问:
1. 仿照问题1中的近似方法将时间区间[0,5]5等分，得到的不足近似面积和过剩近似面积分别怎么计算？将区间[0,5]10等分呢？
2. 哪种分法得到的面积误差较小？，如果还要使误差更小，怎么办？
首先将滑行时间5等分，若用)4(),3(),2(),1(),0(v v v v v 近似表示各时间区间的平均速度，得到滑行距离是
)(551)]4()3()2()1()0([1m v v v v v s =⨯++++=；若用)5(),4(),3(),2(),1(v v v v v 近似
表示各时间区间的平均速度，得到滑行距离是
)(301)]5()4()3()2()1([1
m v v v v v s =⨯++++='。
为了使误差更小，将滑行时间10等分，用类似的方法求得过剩近似值为)(125.485.0)]5.4()4()5.1()1()5.0()0([2m v v v v v v s =⨯++++++= ；不
足近似值为)(625.355.0)]5()5.4()2()5.1()1()5.0([2m v v v v v v s =⨯++++++=' 。
按照这样的思路继续将时间分细，我们就会得到更精确的估计值，当小时间间隔长度趋于0时，这两种估计值就都趋于汽车滑行的路程。
方法归纳总结:
求曲边梯形的面积分为以下几个步骤 1. 将区间分割；
2. 近似代替(一般用不足近似和过剩近似两种代替方法)；
3. 求近似面积和；
4. 求极限，让+∞→n ，得到准确面积。
练习2：
由直线x=1,y=0和曲线3
x y =围成一个曲边梯
形，将区间[0,1]4等分，则曲边梯形面积的近似值(过剩近似)是( ).
A.191
B. 256111
C. 270110
D. 64
25
三、小结
求曲边梯形面积四步曲：
1. 分割−→−
化整为零
2.近似代替−→
−以直代曲
3.求和−→
−积零为整
4.逼近−→
−刨光磨平
四、作业：
（思考题）一根弹性系数为0.4N/cm的弹簧，
其拉力随着弹簧拉伸的长度x的和变化而不断变化，根据胡克定律可知：F=F(x)=0.4x.在不考虑摩擦的情况下，物体在力F的作用下匀速运动，从原来位移移动10cm。
估计这一过程中拉力所做的功W。
请按照分割、近似代替、求和、逼近的步骤求出该拉力在这个过程中所做的功.。