高考数学压轴专题人教版备战高考《平面解析几何》经典测试题附答案

【高中数学】《平面解析几何》知识点
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，实轴长为8，离心率为，则它的渐近线的方程为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】
试题分析：渐近线的方程为
，而
，因此渐近线的方程为
，选D.
考点：双曲线渐近线
2．如图，12,F F 是椭圆2
21:14
x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，,A B 分别是12,C C 在第
二、四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是（ ）
A 2
B 3
C ．
32
D ．
62
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由椭圆与双曲线的定义可知，|AF 2|＋|AF 1|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a(其中2a 为双曲线的长轴长)，∴|AF 2|＝a ＋2，|AF 1|＝2－a ，又四边形AF 1BF 2是矩形，∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝32，∴a 2，∴e 32
＝6
2. 考点：椭圆的几何性质．
3．已知直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，直线l 经过
2:2(0)C y px p =>的焦点，M 为C 上的一个动点，若点N 的坐标为()4,0，则MN 的
最小值为（ ）
A ．B
C ．2
D ．【答案】A 【解析】 【分析】
联立直线与抛物线方程利用弦长公式列方程，结合直线过抛物线的焦点，解方程可得
2p =，再利用两点的距离公式，结合二次函数配方法即可得结果.
【详解】
由222
24(42)02y x b
x b p x b y px
=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 12122
2,24
b p b x x x x +=-=-，
因为直线:2l y x b =+被抛物线2
:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，
125x =-，
所以()222
2
2512424b p b ⎡⎤
-⎛⎫=+-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣
⎦ （1） 又直线l 经过C 的焦点，
则,22
b p
b p -=∴=- （2）
由（1）（2）解得2p =，故抛物线方程为2
4y x =.
设()2
0000,,4M x y y x ∴=.
则()()()222
22
00000||444212MN x y x x x =-+=-+=-+，
故当02x =时，min ||MN = 故选：A. 【点睛】
本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了弦长公式以及配方法的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
4．已知抛物线x 2
＝16y 的焦点为F ，双曲线22145
x y -=的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P
是双曲线右支上一点，则|PF|＋|PF 1|的最小值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 【答案】C 【解析】
【分析】
由题意并结合双曲线的定义可得
1222(4)44PF PF PF PF PF PF FF +=++=++≥+，然后根据两点间的距离公
式可得所求最小值． 【详解】
由题意得抛物线2
16x y =的焦点为()0,4F ，双曲线22
145
x y -=的左、右焦点分别为
()()123,0,3,0F F -．
∵点P 是双曲线右支上一点， ∴124PF PF =+．
∴1222(4)44549PF PF PF PF PF PF FF +=++=++≥+=+=，当且仅当
2,,F P F 三点共线时等号成立，
∴1PF PF +的最小值为9． 故选C ． 【点睛】
解答本题的关键是认真分析题意，然后结合图形借助数形结合的方法求解．另外在解题中注意利用双曲线的定义将所求问题进行转化，考查分析理解能力和解决问题的能力，属于基础题．
5．设D 为椭圆2
2
15
y x +=上任意一点，A （0，－2），B （0，2），延长AD 至点P ，使
得|PD|＝|BD|，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．x 2＋（y －2）2＝20 B ．x 2＋（y －2）2＝5 C ．x 2＋（y ＋2）2＝20 D ．x 2＋（y ＋2）2＝5 【答案】C 【解析】 【分析】
由题意得PA PD DA DB DA =+=+=，从而得到点P 的轨迹是以点A 为圆
心，半径为 【详解】
由题意得PA PD DA DB DA =+=+，
又点D 为椭圆2
2
15
y x +=上任意一点，且()()0,2,0,2A B -为椭圆的两个焦点，
∴DB DA +=，
∴PA =
∴点P 的轨迹是以点A
为圆心，半径为 ∴点P 的轨迹方程为()2
2220x y ++=． 故选C ． 【点睛】
本题考查圆的方程的求法和椭圆的定义，解题的关键是根据椭圆的定义得到PA =然后再根据圆的定义得到所求轨迹，进而求出其方程．考查对基础知识的理解和运用，属于基础题．
6．已知点(,)P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线,PA PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，,A B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是（ ） A ．2 B
C
．D ．4
【答案】A 【解析】
圆2
2
:20C x y y ++=即2
2
(y 1)1x ++=,表示以C (0,-1)为圆心，以1为半径的圆。

由于四边形PACB 面积等于1
22
PA AC PA ⨯
⨯⨯=
，而PA =. 故当PC 最小时，四边形PACB 面积最小.
又PC 的最小值等于圆心C 到直线240x y -+=的距离d ,而
d ==
故四边形PACB 2=， 故选A.
点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：
（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；
（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形； （３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．
7．设抛物线()2
:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 与圆22
525:()416
C x y +-=
'于,A
B 两点，且AB =
C 的焦点的弦MN 的长为8，则弦MN 的中点到直线
2x =-的距离为（ ）
A ．2
B ．5
C ．7
D ．9
【答案】B 【解析】 【分析】
易得圆C '过原点，抛物线22y px =也过原点，联立圆和抛物线方程由AB 求得交点坐标，从而解出抛物线方程，根据抛物线定义即可求得弦MN 的中点到直线2x =-的距离. 【详解】
圆:2
2525:,416C x y ⎛⎫+-= ⎪⎝
⎭'即为22
52x y y +=,可得圆经过原点.
抛物线2
2y px =也过原点. 设()()0,0,,,0A B m n m >. 由5AB =可得225m n +=， 又2
25
2
m n n +=
联立可解得2,1n m ==. 把()1,2B 代人2
2y px =，解得2p =，
故抛物线方程为2
4y x =，焦点为()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.
如图，过,M N 分别作ME l ⊥于E ，NK l ⊥于K ，
可得,MF ME NK NF ==，即有MN MF NF ME KN =+=+|. 设MN 的中点为0P ，则0P 到准线l 的距离
11
(|)422
EM KNI MN +==， 则MN 的中点0P ，到直线2x =-的距离是415+=. 故选：B 【点睛】
本题考查抛物线的几何性质，考查学生的分析问题，解决问题的能力，数形结合思想.属于一般性题目.
8．已知双曲线22
21(0)2x y b b
-=>的左右焦点分别为12,F F ，其一条渐近线方程为
y x =，点0(3,)P y 在该双曲线上，则12PF PF ⋅u u u r u u u u r
=( )
A ．12-
B ．2-
C ．0
D ．4
【答案】C 【解析】
由题知，故，
∴12(23,1)(23,1)3410PF PF ⋅=-±⋅±=-+=u u u r u u u u r ，故选择C ．
9．已知双曲线2
2x a
－22y b ＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，
且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )
A ．5
B ．3
C ．3
D ．5【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1）， 即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y 2＝2px 的准线方程为2
p
x =-，则p=4， 则抛物线的焦点为（2，0）；
则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2；
点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为1
2
y x =±， 由双曲线的性质，可得b=1； 则5c =
5
故选A ．
10．已知O 为平面直角坐标系的原点，2F 为双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点，
E 为2O
F 的中点，过双曲线左顶点A 作两渐近线的平行线分别与y 轴交于C ，D 两点，
B 为双曲线的右顶点，若四边形ACBD 的内切圆经过点E ，则双曲线的离心率为（ ）
A ．2
B 2
C 3
D 23
【答案】B 【解析】 【分析】
由对称性可得四边形ACBD 为菱形，其内切圆圆心为坐标原点O ，求出圆心O 到BC 的距离d ，由四边形ACBD 的内切圆经过点E ，可得21
2
d OF =，化简得出双曲线的离心率.
【详解】
由已知可设()0A a -，
，()0B a ，，AC b k a =， 有直线点斜式方程可得直线AC 方程为()b
y x a a
=+，
令0x =，可得()0C b ，
， 由直线的截距式方程可得直线BC 方程为
1x y
a b
+=，即0bx ay ab +-=， 由对称性可得四边形ACBD 为菱形，其内切圆圆心为坐标原点O ，设内切圆的半径为r ， 圆心O 到BC
的距离为ab
d r c
=
=
=， 又∵四边形ACBD 的内切圆经过点E ， ∴
2122
ab c
OF r c ===, ∴22ab c =， ∴()2
2
244a
c
a c -=，同除以4a 得，42440e e -+=，
∴()
2
22
0e -=，
∴22e =，
∴e =
(舍)，
∴e =
故选：B. 【点睛】
本题考查求双曲线离心率的问题，通过对称的性质得出相关的等量关系，考查运算求解能力和推理论证能力，是中档题.
11．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的右焦点()(),0F c c b >，O 为坐标原点，以
OF 为直径的圆交圆222x y b +=于P 、Q 两点，且PQ OF =，则椭圆C 的离心率为
（ ） A
B ．
12
C
D
【答案】D 【解析】 【分析】
设点P 为两圆在第一象限的交点，利用对称性以及条件PQ OF =可得出点P 的坐标为
,22c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，再将点P 的坐标代入圆222x y b +=的方程，可得出2
b 与2
c 的等量关系，由此可得出椭圆的离心率的值. 【详解】
如下图所示，设点P 为两圆在第一象限的交点，设OF 的中点为点M ，由于两圆均关于x 轴对称，则两圆的交点P 、Q 也关于x 轴对称，又PQ OF c ==，则PQ 为圆M 的一
条直径，由下图可知，PM x ⊥轴，所以点P 的坐标为,22c c ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
将点P 的坐标代入圆2
2
2
x y b +=得22
222c c b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，可得2222222c b a c ==-， 所以，2
2
23a c =，因此，椭圆的离心率为22
26
33
c c e a a ==== D. 【点睛】
本题考查椭圆离心率的计算，根据题意得出a 、b 、c 的等量关系是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.
12．已知点P 是椭圆22
221(0,0)x y a b xy a b
+=>>≠上的动点，1(,0)F c -、2(,0)F c 为椭圆
的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是12F pF ∠的角平分线上的一点，且F 1M ⊥MP ，则|OM|的取值范围是( ) A ．(0,)c B ．(0,)a
C ．(,)b a
D ．(,)c a
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
解：如图，延长PF 2，F 1M ，交与N 点，∵PM 是∠F 1PF 2平分线，且F 1M ⊥MP ， ∴|PN|=|PF 1|，M 为F 1F 2中点，
连接OM ，∵O 为F 1F 2中点，M 为F 1F 2中点
∴|OM|=|F 2N|=||PN|﹣|PF 2||=||PF 1|﹣|PF 2|| ∵在椭圆
中，设P 点坐标为（x 0，y 0）
则|PF 1|=a+ex 0，|PF 2|=a ﹣ex 0，
∴||PF 1|﹣|PF 2||=|a+ex 0+a ﹣ex 0|=|2ex 0|=|ex 0| ∵P 点在椭圆上，
∴|x 0|∈（0，a]，
又∵当|x 0|=a 时，F 1M ⊥MP 不成立，∴|x 0|∈（0，a ） ∴|OM|∈（0，c ）． 故选A ．
13．已知点M 是抛物线24x y =上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：
22(1)(4)1x y -+-=上一动点，则||||MA MF +的最小值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】B 【解析】 【分析】
根据抛物线定义和三角形三边关系可知当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，根据圆的性质可知最小值为CP r -；根据抛物线方程和圆的方程可求得CP ，从而得到所求的最值. 【详解】
如图所示，利用抛物线的定义知：MP MF =
当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，且最小值为1CP r CP -=-
Q 抛物线的准线方程：1y =-，()1,4C
415CP ∴=+= ()min 514MA MF ∴+=-=
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查线段距离之和的最值的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质的应用，关键是能够找到取得最值时的点的位置，从而利用抛物线和圆的性质来进行求解.
14．过双曲线22
134x y -=的左焦点1F 引圆223x y +=的切线，切点为T ，延长1F T 交双曲
线右支于P 点，M 为线段1F P 的中点，O 为坐标原点，则MO MT -=（ ） A ．1 B ．23-
C ．13+
D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据三角形的中位线性质，双曲线的定义，及圆的切线性质，即可得到结论． 【详解】
由图象可得
()1111||MO MT MO MF TF MO MF TF -=--=-+=
()(2221111
2322322PF PF OF OT -+-=⋅-+= 故选：B. 【点睛】
本题考查圆与双曲线的综合，解题的关键是正确运用双曲线的定义，三角形的中位线性质．
15．过点(11)M ， 的直线与椭圆22
143
x y += 交于A ，B 两点，且点M 平分AB ，则直
线AB 的方程为（ ） A ．3470x y +-= B ．3410x y -+=
C ．4370x y +-=
D ．4310x y --=
【答案】A 【解析】
设1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆的方程可得2222
1122
1,14343
x y x y +=+=，
两式相减可得12121212()()()()
044
x x x x y y y y +-+-+=，
又12
1212
12
2,2,y y x x y y k x x -+=+==-， 即为12123()3
4()4
x x k y y +=-
=-+，
则直线AB 的方程为：3
1(1)4
y x -=-
-，化为3470x y +-=，故选A ． 点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，注意运用“点差法”的应用，考查了学生的推理与计算能力，试题比较基础，属于基础题，解答此类问题的关键在于把握弦的中点，恰当的选择“点差法”是解答的关键．
16．已知椭圆2
221(1)x y a a
+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 是椭圆在第一象限上的
一个动点，圆C 与1F A 的延长线，12F F 的延长线以及线段2AF 都相切，且()3,0M 为其中一个切点．则椭圆的离心率为（ ） A
B
．
3
C
．
2
D
【答案】B 【解析】 【分析】
设圆C 与1F A 的延长线相切于点N ，与2AF 相切于点T ，由切线长相等和椭圆的定义，解方程得出3a =，求出c ，进而可得离心率. 【详解】
设圆C 与1F A 的延长线相切于点N ，与2AF 相切于点T ，由切线长相等，得
AN AT =，
11F N F M =，22F T F M =，1(,0)F c -，2(,0)F c ，
由椭圆的定义可得，122AF AF a +=，
()111223+22+F N F M c AF AN a AF AN a AN AT TF ==+==-+=+-
222(3)a F M a c =-=--，
则26a =，即3a =，
又1b =，所以2222c a b =-=， 因此椭圆的离心率为22
3
c e a ==
. 故选：B.
【点睛】
本题主要考查求椭圆的离心率，熟记椭圆的定义，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.
17．已知(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ，则||PQ 的最大值为（ ） A 2 B ．2
C ．4
D ．22【答案】B 【解析】 【分析】
由两点的距离公式表示PQ ，再运用两角差的余弦公式化简，利用余弦函数的值域求得最值. 【详解】
∵(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ， ∴22||(cos cos )(sin sin )PQ αβαβ=-+-2222cos cos 2cos cos sin sin 2sin sin αβαβαβαβ=+-++-()()()2
222cos
sin cos sin 2cos cos sin sin ααββαβαβ=
+++-+22cos()αβ=--
∵cos()[1,1]αβ-∈-，∴||[0,2]PQ ∈. 故选B . 【点睛】
本题综合考查两点的距离公式、同角三角函数的平方关系、两角差的余弦公式和余弦的值域，属于中档题.
18．过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点F ，作渐近线b y x a =的垂线与双曲线左
右两支都相交，则双曲线离心率e 的取值范围为( ) A ．()1,2 B ．()
1,2
C ．
(
)
2,+∞
D ．()2,+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
设过双曲线的右焦点F 与渐近线b
y x a
=
垂直的直线为AF ,根据垂线与双曲线左右两支都相交，得AF 的斜率要小于双曲线另一条渐近线的斜率 ,由此建立关于,a b 的不等式，解之
可得22b a >，从而可得双曲线的离心率e 的取值范围 . 【详解】
过双曲线的右焦点F 作渐近线b
y x a
=
垂线，设垂足为A ， Q 直线为AF 与双曲线左右两支都相交，
∴直线AF 与渐近线b
y x a
=-
必定有交点B ， 因此，直线b
y x a
=-
的斜率要小于直线AF 的斜率， Q 渐近线b y x a =
的斜率为b a
， ∴直线AF 的斜率a k b =-
，可得b a
a b
-<-， 即
2
2,b a b a a b
>>，可得222c a >， 两边都除以2a ，得22e >，解得2e >
双曲线离心率e 的取值范围为)
+∞，故选C.
【点睛】
本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式，从而求出e 的范围.
19．已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为()0,1-，则PF PA
的最小值是（ ）
A ．
14
B ．
12
C ．
2
D 【答案】C 【解析】
由题意可得，抛物线2
4x y =的焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-．
过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PF PM =，则
sin PF PM PAM PA
PA
=
=∠，PAM ∠为锐角．
∴当PAM ∠最小时，
PF PA 最小，则当PA 和抛物线相切时，PF
PA
最小．
设切点)P a ，由21
4y x =的导数为1
2
y x '=，则PA 的斜率为12⋅==. ∴1a =，则(2,1)P .
∴2PM =，PA =
∴sin 2
PM PAM PA
∠==
故选C ．
点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化， 这样可利用三角形相似，直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题.
20．直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于M ，N 两点，若||MN ≥k 的取值范围是（ ）
A．
3
,0
4⎡
⎤
-⎢⎥
⎣⎦
B．
3
0,
4
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
C．
3
,0
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
D．
2
,0
3
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
【答案】A
【解析】
【分析】
可通过将弦长转化为弦心距问题，结合点到直线距离公式和勾股定理进行求解
【详解】
如图所示，设弦MN中点为D，圆心C(3,2),330
y kx kx y
=+⇒-+=
Q
∴弦心距
222
(1)1
CD
k k
==
+-+
，又2
||23||33
MN DN DN
厖?，∴由勾股定理可得
2
2222
2
23
1
DN CN CD
k
⎛⎫
=-=-
+
…，
222
2
3
1|31|1(31)1(43)00
4 1
k k k k k k k
k
⇒++++⇒+⇒-+
剟剟
答案选A
【点睛】
圆与直线的位置关系解题思路常从两点入手：弦心距、勾股定理。

处理过程中，直线需化成一般式。