2017版高考数学(江苏专用、理科)一轮复习习题：专题探究课一 含答案

一、填空题
1。

函数f（x）＝错误!＋错误!的定义域为________。

解析由题意知错误!又x＞0,解得0＜x≤2且x≠1。

答案(0，1）∪(1，2]
2。

函数f（x）＝错误!错误!的值域为________.
解析指数函数y＝错误!错误!在定义域内单调递减，而2x－x2＝－(x－1）2＋1≤1，所以f(x）＝错误!错误!≥错误!错误!＝错误!.所以函数f(x)＝错误!错误!的值域为错误!。

答案错误!
3。

设函数f(x）＝x2＋（a－2)x－1在区间(－∞,2]上是减函数，则实数a的最大值为________.
解析函数f(x)图象的对称轴x＝－错误!，
则函数f(x）在错误!上单调递减,在区间错误!上单调递增，所以2≤－错误!，解得a≤－2。

答案－2
4.设函数f（x）＝错误!若f（a)＋f(－1)＝3，则a＝________.
解析因为f(－1）＝错误!错误!＝2，
所以f（a）＝3－2＝1。

当a＞0时，｜ln a|＝1，解得a＝e或错误!；
当a＜0时，错误!错误!＝1,无解。

答案e或错误!
5.已知函数f（x)＝错误!若方程f（x）－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是________.
解析画出函数f(x）的图象如图所示，
观察图象可知，若方程f（x）－a＝0有三个不同的实数根，则函数y＝f（x）的图象与直线y＝a有3个不同的交点，此时需满足0<a〈1.
答案(0，1)
6。

（2015·南京、盐城模拟）若函数f(x）是定义在R上的偶函数,且在区间［0,＋∞）上是单调增函数.如果实数t满足f（ln t）＋f 错误!≤2f（1)，那么t的取值范围是________.
解析依题意，不等式f(ln t）＋f 错误!＝f（ln t)＋f（－ln t）＝2f(|ln t｜）≤2f(1),即f（｜ln t｜）≤f（1)，又｜ln t|≥0，函数f(x）在[0，＋∞)上是增函数，因此有｜ln t|≤1,－1≤ln t≤1，错误!≤t≤e，即实数t的取值范围是错误!。

答案错误!
7。

(2015·苏、锡、常、镇调研)已知奇函数f（x)是R上的单调函数，若函数y＝f（x2）＋f（k－x）只有一个零点，则实数k的值是________。

解析利用等价转化思想求解。

函数y＝f（x2）＋f（k－x)只有一个零点，即方程f(x2)＋f（k－x）＝0只有一解.又f（x）是R上的奇函数，且是单调函数，所以f（x2)＝－f（k－x）＝f(x－k），即x2－x＋k＝0只有一解，所以Δ＝1－4k＝0，解得k＝错误!。

答案错误!
8。

（2015·扬州调研）设函数f（x）＝（x－a)｜x－a｜＋b（a，b都是实数），则下列叙述中，正确的序号是________（请把所有叙述正确的序号都填上).
①对任意实数a，b，函数y＝f(x)在R上是单调函数；
②存在实数a，b，使得函数y＝f(x）在R上不是单调函数;
③对任意实数a，b,函数y＝f(x）的图象都是中心对称图形;
④存在实数a，b，使得函数y＝f（x）的图象不是中心对称图形.
解析结合函数图象逐个判断.函数f(x）＝错误!作出函数图象可得函数y＝f(x)是R上的递增函数.①正确，②错误；且其图象关于点（a，b)对称，③正确，④错误，故正确的序号是①③.
答案①③
二、解答题
9。

(2015·江苏模拟）某工厂生产某种商品,年产量为x（单位:百台)，成本(单位：万元)情况为固定成本为2万元，每生产1百台成本增加1万元。

该工厂在市场上每年最多可以销售此种商品9百台，至少可以销售此种商品1百台，其中销售收入R（x)(单位：万元）是x的函数：R（x）＝15ln x＋8x－x2＋5，x∈[1，9］.
（1）求该工厂销售此种商品的总利润y与年产量x的函数关系式；
（2）当总利润最大时,求年产量x的值，并求出最大总利润。

解（1）因为固定成本为2万元，每生产1百台成本增加1万元，所以生产x百台产品的成本为2＋x万元。

设总利润为y＝f（x）万元，则
f(x）＝R(x)－2－x＝15ln x＋7x－x2＋3（x∈［1，9］)。

（2）由f（x)的表达式可得f′(x)＝错误!＋7－2x,
令f′(x)＝错误!＋7－2x＝错误!＝0，
得x＝5或x＝－错误!（舍去）。

当1<x〈5时，f′(x）〉0；当5〈x〈9时，f′（x)<0,
因此当x＝5时，f（x）取最大值f(5)＝13＋15ln 5万元.
答：当产量是5百台时，总利润最大，为13＋15ln 5万元.
10。

(2016·苏北四市模拟）某种树苗栽种时高度为A(A为常数)米,栽种n年后的
高度记为f(n)。

经研究发现f（n)近似地满足f(n）＝
9A
a＋bt n
，其中t＝2－错误!,a，
b为常数，n∈N，f(0)＝A。

已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍。

(1)栽种多少年后,该树木的高度是栽种时高度的8倍；
（2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大.
解（1）由题意知f（0)＝A,f（3)＝3A。

所以错误!解得a＝1,b＝8。

所以f（n）＝
9A
1＋8×t n
，其中t＝2－错误!.
令f（n)＝8A，得错误!＝8A,解得t n＝错误!，
即2－2n
3＝错误!，所以n＝9.
所以栽种9年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍.
(2)由(1）知f（n)＝错误!.
第n年的增长高度为Δ＝f(n）－f(n－1)＝错误!－错误!。

所以Δ＝错误!＝错误!
＝错误!≤错误!
＝错误!＝错误!.
当且仅当64t n＝错误!，即2－错误!＝错误!时取等号，此时n＝5.
所以该树木栽种后第5年的增长高度最大.
11.(2015·南京调研)如图(示意），公路AM，AN围成的是
一块顶角为α的角形耕地，其中tan α＝－2.在该块土
地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN
的距离分别为3 km，错误!km。

现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园。

为尽量减少耕地占用，问如何确定B点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积。

解如图，以A为原点，AB为x轴,建立平面直角坐标系。

因为tan α＝－2，故直线AN的方程是y＝－2x.
设点P（x0，y0）。

因为点P到AM的距离为3,故y0＝3.
由P到直线AN的距离为5，
得|2x 0＋y 0｜5
＝5，解得x 0＝1或x 0＝－4(舍去)， 所以点P （1，3）。

显然直线BC 的斜率存在.
设直线BC 的方程为y －3＝k (x －1)，k ∈(－2,0),
令y ＝0，得x B ＝1－错误!，
由错误!得y C ＝错误!.
设△ABC 的面积为S ，
则S ＝错误!·x B ·y C ＝错误!＝－1＋错误!，
由S ′＝错误!＝0得k ＝－错误!或k ＝3，
当－2〈k <－错误!时，S ′〈0,S 单调递减，
当－错误!〈k 〈0时，S ′>0，S 单调递增，
所以当k ＝－错误!，即AB ＝5时，S 取最小值15.
答：当AB ＝5 km 时，该工业园区的面积最小，最小面积为15 km 2.
12.(2015·南通一检)根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p 与日产量x (件)之间近似地满足关系式p ＝错误!（日产品废品率＝错误!×100％).
已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元.（该车间的日利润y ＝日正品赢利额－日废品亏损额)
(1)将该车间日利润y （千元）表示为日产量x （件）的函数；
（2)当该车间的日产量为多少件时,日利润最大？最大日利润是几千元? 解 (1)由题意可知
y ＝2x (1－p )－px ＝错误!
（2)考虑函数f (x ）＝错误!
当1≤x ≤9时，f ′（x )＝2－错误!，令f ′(x ）＝0，得x ＝15－3错误!.
当1≤x ＜15－3错误!时，f ′（x )＞0，函数f （x )在[1,15－3错误!）上单调递增； 当15－3错误!＜x ≤9时，f ′（x ）＜0，函数f （x )在(15－3错误!,9］上单调递减。

所以当x ＝15－3错误!时，f （x ）取得极大值，也是最大值，
又x是整数，f（8）＝错误!，f（9)＝9，所以当x＝8时，f(x)有最大值错误!.
当10≤x≤20时，f′（x）＝错误!－错误!＝错误!≤0，所以函数f（x)在[10，20］上单调递减,
所以当x＝10时，f(x)取得极大值错误!，也是最大值.
由于错误!＞错误!，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大.
答：当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是错误!千元.。