2018年高考数学专题6.1数列的通项公式与求和试题理

专题6.1 数列的通项公式与求和
【三年高考】
1. 【2017课标II ，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 【答案】 B
2.【2017课标II ，理15】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则
1
1
n
k k
S
==∑ 。

【答案】
21
n
n + 【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由题意有：1123
43
4102
a d a d +=⎧⎪
⎨⨯+=⎪⎩ ，解得111a d =⎧⎨=⎩ ，数列的前n 项和()()()
111111222
n n n n n n n S na d n --+=+
=⨯+⨯=,裂项有：()121
1211k S k k k k ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
，据此：11111111221......21223111n
k k n S n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 。

3. 【2017山东，理19】已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2 （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积n T .
【解析】(I)设数列{}n x 的公比为，由已知0q >.由题意得112
113
2
x x q x q x q +=⎧⎨
-=⎩，所以23520q q --=，
因为0q >,所以12,1q x ==，因此数列{}n x 的通项公式为1
2.n n x -=
（II ）过123,,,P P P ……1n P +向轴作垂线，垂足分别为123,,,Q Q Q ……1n Q +,由(I)得
111222.n n n n n x x --+-=-=记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b .由题意
1
2(1)2(21)22
n n n n n b n --++=
⨯=+⨯， 所以
123n T b b b =+++……+n b =101325272-⨯+⨯+⨯+……+32(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯
①
又012
2325272n T =⨯+⨯+⨯+……+2
1(21)2
(21)2n n n n ---⨯++⨯ ②
①-②得
121
1
32(22 (2)
)(21)2
n n n T n ----=⨯++++-+⨯=1132(12)
(21)2.212
n n n ---+
-+⨯- 所以(21)21
.2
n n n T -⨯+=
4．【2016高考浙江理数】设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *
，则a 1= ，
S 5= .
【答案】 121
5. 【2016高考山东理数】已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2
+8n ，{}n b 是等差数列，且
1.n n n a b b +=+
（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）令1
(1).(2)
n n n n
n a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n . 【解析】（Ⅰ）由题意知当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ，当1=n 时，1111==S a ，
所以56+=n a n .设数列{}n b 的公差为d ，由⎩⎨⎧+=+=322211b b a b b a ，即⎩⎨⎧+=+=d b d
b 321721111，可解得
3,41==d b ，所以13+=n b n .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知11
(66)3(1)2(33)
n n n n
n c n n +++==+⋅+，又n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321，得23413[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，345223[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，
两式作差，得
234123[22222(1)2]
n n n T n ++-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯224(21)3[4(1)2]3221
n n n n n ++-=⨯+-+⨯=-⋅-，所以2
23+⋅=n n n T
6．【2016高考江苏卷】记{}1,2,100U =…，
.对数列{}(
)*
n a n N ∈和U 的子集T ，若T =∅,
定义0T S =;若{}12,,k T t t t =…，，定义12+k T t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时，
1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S .
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ⊆…，
，求证：1T k S a +<； （3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥,求证：2C C
D
D S S S +≥.
（3）下面分三种情况证明.①若D 是C 的子集，则2C C D
C D D D D S S S S S S S +=+≥+=.
②若C 是D 的子集，则22C C
D
C C C
D S S S S S S +=+=≥.
③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集.令U E C
C D =，U F D C C =则E φ≠，
F φ≠，E F φ=.
于是C E C D S S S =+，
D F C
D S S S =+，
进而由C D S S ≥，得E F S S ≥.设k 是E 中的最大数，
为F 中的最大数，则1,1,k l k l ≥≥≠.由（2）知，1E k S a +<，于是
1133l k l F E k a S S a -+=≤≤<=，所以1l k -<，即l k ≤.又k l ≠，故1l k ≤-，从而
1
1211
31133
222
l l k E F l a S S a a a ----≤++
+=++
+==≤，
故21E F S S ≥+，所以2()1C C
D
D C D
S S S S -≥-+，即21C C
D
D S S S +≥+.综合①②③得，
2C C
D
D S S S +≥.
7．【2016高考天津理数】已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等差中项.
(Ⅰ)设2
2
*
1,n n n c b b n N +=-∈，求证：{}n c 是等差数列；
(Ⅱ)设
()
22
*
11
,1,n
n
n n k a d T b n N ===
-∈∑，求证：2111.2n
k k
T d =<∑
【解析】（I ）证明：由题意得2
1n n n b a a +=，有2
2
112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，因
此()212122n n n n c c d a a d +++-=-=，所以{}n c 是等差数列. （II ）证明：(
)(
)(
)
22
22
22
1234212n n n T b b b b b b -=-++-++-+
()()
()22224222212
n n n a a d a a a d d n n +=++
+=⋅
=+,所以
()2222
111111111111
12121212n
n n k k k k
T d k k d k k d n d ===⎛⎫⎛⎫==-=⋅-< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 8． 【2015高考新课标2，理16】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． 【答案】1
n
-
【解析】由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=⋅，两边同时除以1n n S S +⋅，得
1111n n
S S +=--，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则11(1)n S n n =---=-，所以1
n S n =-． 9.【2015江苏高考，11】数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{n
a 的前10项和为 【答案】
20
11
【解析】由题意得：112211(1)
()()()1212
n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-+
+-+=+-+
++=
，所以1011112202(),2(1),11111
n n n S S a n n n n =-=-==+++ 10. 【2015高考新课标1，理17】n S 为数列{n a }的前项和.已知n a ＞0，2
n n a a +=43n S +.
（Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设1
1
n n n b a a +=
,求数列{n b }的前项和. 【解析】（Ⅰ）当1n =时，2
11112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，当2n ≥时，
2211n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4n a ，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为
0n a >，所以1n n a a --=2，所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列，所以n a =21n +；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，n b =
1111
()(21)(23)22123
n n n n =-++++，
所以数列{n b }前n 项和为12n b b b +++=1111111
[()()(
)]23557
2123
n n -+-+
+-++ =
11
646
n -
+. 11.【2015高考山东，理18】设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233n
n S =+.
（I ）求{}n a 的通项公式；
（II ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .
【解析】（I ）因为233n
n S =+ ，所以，1233a =+ ，故13,a = 当1n > 时，11233,n n S --=+
此时，1
122233,n
n n n n a S S --=-=- 即1
3,n n a -= 所以，13,1,3,1,n n n a n -=⎧=⎨>⎩
（II ）因为3log n n n a b a = ，所以113
b = ，当1n > 时，()11133log 313n n n
n b n ---==-⋅ ，所以1113
T b ==
当1n > 时，()()1211231
1323133
n n n T b b b b n ---=++++=
+⨯+⨯++- ，所以
()()01231132313n n T n --=+⨯+⨯++-，两式相减，得
()()012122333133n n
n T n ---=+++--⋅ ()
11121313313n n n ----=+--⋅- 1363623n n +=-⨯ ，所以1363
1243n n
n T +=
+
⨯，经检验，1n = 时也适合， 综上可得：1363
1243n n
n T +=+⨯ 【2017考试大纲】 数列的概念和简单表示法
(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式). (2)了解数列是自变量为正整数的一类函数 【三年高考命题回顾】
纵观前三年各地高考试题, 对数列通项公式和求和这部分的考查，主要考查数列的概念与表示方法、数列递推关系与通项公式的联系、数列的求和方法，往往与函数、方程、不等式等知识建立联系，高考中一般会以各种形式考查．
【2018年高考复习建议与高考命题预测】
由前三年的高考命题形式可以看出 , 高考对数列概念与表示方法的考查，要深刻体会数列不光体现一种递推关系，它具有函数特征，故经常会与函数、方程、不等式等知识联系考察.对数列通项公式的考察，一般会以等差数列和等比数列具体形式出现，或者由项的递推关系或者项与前n 项的的关系得出，同时要注意从特殊到一般思想的灵活运用．对数列求和的考察，要掌握常见的数列求和方法（直接求和、倒序相加法、错位相减法、裂项相加法），往往会和不等式建立联系，会牵涉到放缩法，难度会大点，注意等价转换思想的活用．这部分试题难度属中低档的题目，小题突出“小、巧、活”，主要以通项公式、前n 项和公式为载体，结合数列的性质考查分类讨论、化归与方程等思想，要注重通性、通法；解答题“大而全”，注重题目的综合与新颖，突出对逻辑思维能力的考查．由于连续三年大题没涉及数列,故预测2018年高考将以等差数列，等比数列的定义、通项公式和前n 项和公式为主要考点，特别是错位相减法求和问题，重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力．
【2018年高考考点定位】
高考对数列的通项公式与求和的考查有三种主要形式：一是考察数列的概念与表示；二是数列通项公式；三是数列求和；其中经常与函数、方程、不等式等知识的相联系． 【考点1】数列的概念与表示 【备考知识梳理】
1．定义：按照一定顺序排列着的一列数．
2．表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法．
3．分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列．
4．n a 与n S 的关系：11(1)(2)n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥．
5．处理方法：.用函数的观点处理数列问题 【规律方法技巧】
1. 数列是定义域为正整数集或其有限子集的函数，故数列具有函数的特征（周期性、单调性等）．
2. 观察法是解决数列问题的法宝，先根据特殊的几项，找出共同的规律，横看“各项之间的关系结构”，纵看 “各项与项数n 的关系”，从而确定数列的通项公式．
【考点针对训练】
1. 【河北省冀州中学2017届高三（复习班）上学期第二次阶段考试】若数列{}n a 是正项数列，且2123n a a a n n +++=+，则
12
23
1
n
a a a n +++
=+__________. 【答案】226n n +
2.数列 ,81
7
,275,31,3
1--的一个通项公式是 A ．n n a n n 312)1(1--=+ B ．n n a n n 312)1(--= C ． n
n n n a 31
2)1(1--=+ D ． n
n n n a 31
2)1(--=
【答案】C.
【解析】根据已知分别验证各个选项即可得出答案，即当2=n 时，2
1
2-
=a ，不满足题意，所以选项A 不正确；当1=n 时，3
11-=a ，不满足题意，所以选项B 不正确；当2=n 时，
3
1
2=
a ，不满足题意，所以选项D 不正确；当4,3,2,1=n 时，均满足题意，所以选项C 正确，故应选C.
【考点2】递推关系与数列通项公式 【备考知识梳理】
在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈．数列通项公式的求解常用方法：1、定义法，直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．2、公式法， 若已知数列的前项和n S 与n
a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n n
n 求解．3、由递推式求数
列通项法，对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列．4、待定系数法（构造法），求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高．通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方
法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法． 【规律方法技巧】 数列的通项的求法： ① 公式法：
① 等差数列通项公式； ②等比数列通项公式. ⑵已知n S （即12()n a a a f n ++
+=）求n a ，用作差法：{
11,(1)
,(2)n n n S n a S S n -==
-≥.
⑶已知12
()n a a a f n =求n a ，用作商法：(1),(1)()
,(2)
(1)
n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩.
⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：
11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-+
+-1a +(2)n ≥.
⑸已知
1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：12
112
1
n n n n n a a
a a a a a a ---=⋅⋅⋅
⋅(2)n ≥.⑹已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）.特别地，（1）形如1n n a ka b -=+、1n
n n a ka b -=+（,k b
为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求n a .如(21)已知
111,32n n a a a -==+，求n a ；（2）形如1
1n n n a a ka b
--=
+的递推数列都可以用倒数法求通项.
注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解. （3）由n S 与1n S -的关系，可以先求n S ，再求n a ，或者先转化为项与项的递推关系，再求n a ． 【考点针对训练】
1. 【黑龙江、吉林两省八校2017届高三上学期期中】已知数列}{n a 的前项和为n S ，且11=a ，
21+=+n n S a ，则满足
10
1
2<n n S S 的的最小值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】A
【解析】由已知可得：当1n >时，
1
11122n n n n n n n n n n
a a S a a S S a S a +-+-=+⇒-=-=⇒
=⇒= 14181,1
1113223(21)
192101,221
n n n S S n --=⎧⎪
=•-⇒=<⎨-+
≥⎪⎩-，故选A. 2. 【河北省冀州中学2017届高三（复习班）上学期第二次阶段考试】数列{}n a 满足13a =与11
[]{}
n n n a a a +=+
（[]n a 与{}n a 分别表示n a 的整数部分与分数部分），则2014a =（ ） A ．30203+ B ．31
30202
-+
C.33018+ D ．31
30182
-+ 【答案】B
【考点3】数列求和 【备考知识梳理】
数列的求和也是高考中的热点内容，考察学生能否把一般数列转化为特殊数列求和，体现了化归的思想方法，其中错位相减和裂项相消是高考命题的热点．估计在以后的高考中不会有太大的改变．数列求和的常用方法，尤其是利用裂项法和错位相减法求一些特殊数列的和，数列求和的基本方法：1.基本公式法：()1等差数列求和公式：
()()
11122
n n n a a n n S na d +-=
=+ ()2等比数列求和公式：
()111,
11,111n n n na q S a q a a q q q
q =⎧⎪=-⎨-=≠⎪
--⎩ ()3012
2n
n n n n n C C C C +++
+=.
2.错位相消法：
一般适应于数列{}n n a b 的前向求和，其中{}n a 成等差数列，{}n b 成等比数列． 3.分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和．
4.拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，
只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有：()1若{}n a 是公差为d 的等差数列，则
111111n n n n a a d a a ++⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
； ()
2()()1
111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭
；()
31
k
=
；
()411m m m n n n C C C -+=-；()5()!1!!n n n n ⋅=+-.
5.倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的． 【规律方法技巧】
数列求和关键是研究数列通项公式，根据通项公式的不同特征选择相应的求和方式，若数列是等差数列或等比数列，直接利用公式求和；若通项公式是等差乘等比型，利用错位相减法；若通项公式可以拆分成两项的差且在累加过程中可以互相抵消，利用裂项相消法，从近年的考题来看，逐渐加大了与函数不等式的联系，通过对通项公式进行放缩，放缩为易求和的数列问题处理． 【考点针对训练】
1. 【安徽师范大学附属中学2017届高三上学期期中】用[]x 表示不超过的最大整数，例如[3]3=，[1.2]1=，[ 1.3]2-=-.已知数列{}n a 满足11a =，2
1n n n a a a +=+，则
=++++++]1
...11[
201620162211a a a a
a a _____________. 【答案】
【解析】因为21n n n a a a +=+，
所以210n n n a a a +-=>，因此数列{}n a 是递增数列，且0n a >，由2
1n n n a a a +=+得
1
1111n n n a a a +=-+，所以
12201611
1111
a a a +++
=+++
1223
2016
2017
111111a a a a a a -+-++
-
120171
1111a a a =
-<=，所以201612122016[
...]0111
a a a
a a a +++=+++． 2. 【山西省太原市2017届高三上学期阶段性测评（期中）】已知数列{}n a 的前项和为n S ，且()231
22
n S n n n N *=
-∈,数列{}n b 满足()23log 2n n a b n N *=-∈, 则数列{}n n a b 的前项和n T = _________.
【答案】1
10(35)2n n T n +=+-⋅
【应试技巧点拨】
1. 由递推关系求数列的通项公式
（1）利用“累加法”和“累乘法”求通项公式
此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方法，递推关系为1()n n a a f n +-=用累加法；递推关系为
1()n n a f n a +=用累乘法.解题时需要分析给定的递推式，使之变形为1n n a a +-、1n n
a
a +结构，然后求解.要特别注意累加或累乘时，应该为)1(-n 个式子，不要误认为个. (2)利用待定系数法，构造等差、等比数列求通项公式
求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）.把原递
推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p
q
t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解. 3.如何选择恰当的方法求数列的和
在数列求和问题中，由于题目的千变万化，使得不少同学一筹莫展，方法老师也介绍过，就不清楚什么特征用什么方法.为此提供一个通法 “特征联想法”：就是抓住数列的通项公式的特征，再去联想常用数列的求和方法.通项公式作为数列的灵魂，只有抓住它的特征，才能对号入座，得到求和方法.
特征一：....++=n n n b a C ，数列{}n C 的通项公式能够分解成几部分，一般用“分组求和法”. 特征二：n n n C a b =⋅，数列{}n C 的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积，一般用“错位相减法”. 特征三：1
n n n
C a b =
⋅，数列{}n C 的通项公式是一个分式结构，一般采用“裂项相消法”. 特征四：n
n n n C C a =⋅，数列{}n C 的通项公式是一个组合数和等差数列通项公式组成，一般采
用“倒序相加法”.
4. 利用转化，解决递推公式为n S 与n a 的关系式.
数列{n a }的前项和n S 与通项n a 的关系：11
(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥.通过纽带：
12)n n n a S S n -=-≥（，根据题目求解特点，消掉一个n n a S 或.然后再进行构造成等差或者等
比数列进行求解.如需消掉n S ，利用已知递推式，把n 换成（n+1）得到递推式，两式相减即可.若消掉n a ，只需把1n n n a S S -=-带入递推式即可.不论哪种形式，需要注意公式
1n n n a S S -=-成立的条件 2.n ≥
5.由递推关系求数列的通项公式
（1）利用“累加法”和“累乘法”求通项公式
此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方法，递推关系为1()n n a a f n +-=用累加法；递推关系为
1()n n a f n a +=用累乘法.解题时需要分析给定的递推式，使之变形为1n n a a +-、1n n
a
a +结
构，然后求解.要特别注意累加或累乘时，应该为)1(-n 个式子，不要误认为个. (2)利用待定系数法，构造等差、等比数列求通项公式
求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）.把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p
q
t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解.
1. 【2017福建三明5月质检】已知数列{}n a 的前项和为n S ，且11a =， ()
*1·2n n n a a n N +=∈，则2016S =（ ）
A. 10083?23-
B. 201621-
C. 200923-
D. 200823- 【答案】A
【解析】∵数列{a n }满足a 1=1,a n +1⋅a n =2n
(n ∈N ∗
)，∴a 2⋅a 1=2,解得a 2=2.,当n ⩾2时,
12121222n
n n n n n n n
a a a a a a +++++=⇒=，∴数列{a n }的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2.则
()()()
1008
100810082016132015242016221
21S 3232121
a a a a a a --=++
++++
+=+=⋅---.本
题选择A 选项.
2. 【2017黑龙江哈师大附中三模】已知数列{}n a 满足()
24cos πn a n n n =+，则{}n a 的前50项的和为______. 【答案】1375
【解析】因为()()2411n
n
n a n n =-+-，所以5012S S S =+，则
()()()1250
22211112150S =-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+-，即
()22211234950123501275S =-+-+⋅⋅⋅+-+=+++⋅⋅⋅+=，又
，应填答案1375。

3. 【2017江西九江三模】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数: 1,1,2,3,5,8，…，该数列的特点是：前两个数均为 ，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为斐波那契数列.则
()()222222132435465768234567a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++-+++++=（ ）
A. B. 1- C. D. 【答案】A 【解析】
()
1
2
211n n n n a a a +++-=-,则：
()()222222132435465768234567a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++-+++++= .本题选择A
选项.
4. 【河南省新乡市2017届高三上学期第一次调研】已知数列1234,,,a a a a 满足
()1411111
,1,2,322n n n n
a a a a n a a ++=-=-=，则1a 所有可能的值构成的集合为（ ）
A ．1,12⎧⎫±
±⎨⎬⎩⎭
B ．{}1,2±±
C ．1,22⎧⎫
±±⎨⎬⎩⎭
D ．1,1,22⎧⎫
±
±±⎨⎬⎩⎭
【答案】D
5. 【2017安徽阜阳二模】数列{}n a 满足113
a =
，且对任意2
11N*,,1n n n n n n a a a c a +∈=+=+，
数列{}n c 的前项和为n S ，则2017S 的整数部分是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B
【解析】解：由数列的递推公式可得： 2344526916,,19816561
a a a =
==> ，结合递推公式，当4n ≥ 时： ()11
11,
1n n n n n
a a a a a +=+>>< ，且有： ()11
1111111111n n n n n n n n a a a a a a a a ++==-⇒=-+++ ，故： 2017122320162017201711111113S a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+
+-=- ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
，据此可得：2017S 的整数部分为 .
6. 【河北省冀州中学2017届高三（复习班）上学期第二次阶段考试】在数列{}n a 中，12a =，
22a =，且21(1)()n n n a a n N ++-=+-∈，则100S =（ ）
A ．0
B ．1300 C.2600 D ．2602 【答案】C
【解析】由21(1)()n
n n a a n N ++-=+-∈，当1n =时，得0a 13=-a ，即13a a =；当2
n =时，得2a 24=-a ，由此可得，当为奇数时，1a a n =；当为偶数时，22
2
2a n a n +-⨯=，
∴)()(10042993110021100a a a a a a a a a S +++++++=+++=
[])98()4()2(5022221+++++++=a a a a a )9842(50502 ++++=a 2600=．
7. 【2017湖南娄底二模】已知各项都为整数的数列{}n a 中， 12a =，且对任意的*N n ∈，满足11
22
n n n a a +-<+， 2n n a a +- 321n >⨯-，则2017a =__________． 【答案】2017
2
【解析】由1122n n n a a +-<+
，得121122
n n n a a +++-<+，两式相加得2321n
n n a a +-<⨯+，又2n n a a +- 321n
>⨯-， n a Z ∈，所以232n n n a a +-=⨯，从而
()()()20172017201520152013311
a a a a a a a a =-+-+
+-+201520133120173(22222=⨯++
++=.
8. 【2017重庆二诊】已知数列{}n a 的前项和为n S ，若11a =， 2n n a n a =-， 211n n a a +=+，
则100S =__________．（用数字作答） 【答案】1306
【解析】由题设可得2211n n a a n ++=+，取1,2,3,,49n =⋅⋅⋅可得
23456798992,3,4,,50a a a a a a a a +=+=+=⋅⋅⋅+=，将以上49个等式两边分别相加可得
2345679899250
4912742
a a a a a a a a +++++++⋅⋅⋅++=
⨯=；又3163126251250251005012,31,65,16,2519,5031
a a a a a a a a a a a a =+==-==-==+==-==-=，所以10011274311306S =++=，应填答案1306。

9. 【2017安徽马鞍山二模】已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列， 23a =，且3a ， 5a ，
8a 成等比数列．
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设cos
2
n
n n a b a π=，求数列{}n b 的前2017项和．
【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知，
()()1111
2115383
32
{{{(271
a a d a d a a d a d a a a d +=+==⇒⇒=++==，所以1n a n =+； (Ⅱ)由(Ⅰ)可知， ()()1cos
1cos 22
n n n n a b a n ππ
+==+，所以数列{}n b 的前2017项和为 ()()123420132014201520162017b b b b b b b b b +++++++++ 50422018=⨯- 1010.=-
10. 【四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试】设数列}{n a 的前项和为n S ，已知
)(12*N n a S n n ∈-=.
（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）若对任意的*
N n ∈，不等式92)1(-≥+n S k n 恒成立，求实数的取值范围.
【解析】(1)令111121a a S n =-==，，解得11=a ．由12-=n n a S ，有1211-=--n n a S ， 两式相减得122--=n n n a a a ，化简得12-=n n a a （n ≥2），∴ 数列}{n a 是以首项为1，公比为2 的等比数列，
∴ 数列}{n a 的通项公式12-=n n a ． (2)由(1)n k S +≥29n -，整理得k ≥
n
n 2
92-，令n n n b 29
2-=，则1112211292272+++-=---=
-n n n n n n n n b b ， n=1，2，3，4，5时，022111
1>-=-++n n
n n
b b ，∴54321b b b b b <<<<． n=6，7，8，…时，02
21111<-=-++n n n n
b b ，即⋅⋅⋅>>>876b b b ． ∵
b 5=321<6436=b ， ∴n b 的最大值是6436=b ．∴实数k 的取值范围是)643
[∞+，． 11. 【2016届宁夏石嘴山三中高三下三模】数列{}n a 满足11=a ，对任意的*N n ∈都有
n a a a n n ++=+11，则
+++......1121a a =2016
1
a （ ） A ．
20162015 B ．20172016 C ．20174034 D ．2017
4032
【答案】D
【解析】由已知11+=-+n a a n n ，累加法可得2
)
1(+=
n n a n ，则
)111(2)1(21+-=+=n n n n a n ，所以
+++ (1)
121a a 2017
4032)201711(212016=-=a ． 12. 【2016届河南郑州一中高三考前冲刺一】数列{}n a 满足：11=a ，且对任意的*
∈N n m ,，
都有mn a a a n m n m ++=+，则
=+⋅⋅⋅+++2014
3211111a a a a （ ） A ．
20142013 B ．10072013 C ．20152013 D ．2015
4028
【答案】D
13. 【2016届河南郑州一中高三考前冲刺】已知数列{}n a 满足m n n a n ++-=34
5312
3，若数列{}n a 的最小项为，则实数m 的值为（ ）
A ．
41 B ．31 C ．41- D ．3
1- 【答案】B 【解析】数列m n n a n ++-=
34
5312
3，令()()1,3453123≥++-=
x m x x x f ,()x x x f 252-='，由()0>'x f ，解得2
5
>x ，此时函数()x f 单调递增；由()0<'x f ，解得25
1<<x ，此时函数()x f 单调递减．∴对于()n f 来说，
最小值只能是()2f 或()3f 中的最小值．()()0538445923>⎪⎭
⎫
⎝⎛---
=-f f ，∴()2f 最小，∴135831=++-⨯m ，解得3
1
=
m ．故选：B ． 14. 【2016年河北石家庄高三二模】数列{}n a 满足：1132,5
1
++⋅=-=
n n n n a a a a a ，则数列{}1+⋅n n a a 前10项的和为______.
【答案】
1021
【解析】令2n =,23232a a a a -=⋅,解得21
3
a =,令1n =,则12122a a a a -=⋅,解得11a =,对112n n n n a a a a ++-=⋅两边除以1n n a a +⋅,得1112n n a a +-=,故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以1
1
1a =为首项,公差为的等差数列,所以
()()111111121,,21212122121n n n n n a a a a n n n n n +⎛⎫=-=⋅==- ⎪--⋅+-+⎝⎭
,故其前10项的和为
1111
111110112335
192122121
⎛⎫⎛⎫-+-++
-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 15. 【2016届吉林四平一中高三五模】数列{}n a 的前项和为n S ，11a =，*
12()n n a S n N +=∈.
（1）求数列{}n a 的通项n a ； （2）求数列{}n na 的前项和为n T .
【解析】（1）因为12n n a S +=，所以12n n n S S S +-=，所以
1
3n n
S S +=.又因为111S a ==，所以数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列，所以*
31()n S n n N =-∈.当2n ≥时，
21223(2)n n n a S n --==⋅≥，
所以2
1,1
23
,2
n n n a n -=⎧=⎨
⋅≥⎩.
（2）12323n n T a a a na =++++，当1n =时，11T =，
当2n ≥时，01
21436323n n T n -=+⋅+⋅+
+⋅，①
12
133436323n n T n -=+⋅+⋅+⋅ ②
①-②得：12
212242(333)23n n n T n ---=-++++
+-⋅，
2213(13)22231(12)313n n n n n ----=+⋅-⋅=-+-⋅-,所以111
()3(2)22
n n T n n -=+-≥，
又因为111T a ==也满足上式，所以1*11
()3()22
n n T n n N -=+-∈.
【一年原创真预测】
1. 【2017年第三次全国大联考（新课标卷Ⅲ）】已知各项均为正数的递增数列{}n a 的前项和
为n S
满足1n a =+，
n
n n a b a t
=+（*t ∈N ），若12,,m b b b 成等差数列，则t m +=（ ） A ．8 B ．9 C ．7或8 D ．8或9 【答案】D
【解析】当1n =
时，11a =+，解得11a =；当2n ≥
时，由1n a =+，得
212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭，则22
111122n n n n n a a a S S --++⎛⎫⎛⎫
=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，整理，得
22
11220n n n n a a a a -----=，配方，得()()22
111n n a a --=+．由题意知，数列{}n a 为单调递
增数列，且0n a >，则111n n a a --=+，即12n n a a --=，所以数列{}n a 为等差数列，则
21n a n =-，所以2121n n b n t -=
-+，则由12,,m b b b 成等差数列，得3121
23121m t t m t
-⨯=+
++-+，所以431
m t =+
-．因为,*m t ∈N ，故只能取2，3，5．当2t =时，7m =；当3t =时，5m =；当5t =时，4m =，所以8m t +=或9，故选D ．
【入选理由】本题考查数列通项n a 与前项和n S 间的关系、等差数列，意在考查运算求解能力、逻辑推理能力、估算能力．表面看题，似难度重重，认真审题，找出规律，从而可解，难度
不大，有一定的技巧，故选此题.
2．数列}{n a 满足n n a n na )1(21+=+，其前项和为n S ，若211=a ，则使得n n a S 562<-最小的值为（ ） （A ）8 （B ）9 （C ）10 （D ）11
【答案】D
【解析】由n n a n na )1(21+=+得n
n a a n n 1211+⋅=+，故)12312(21112312-⨯⨯⨯=⋅⋅⋅--n n a a a a a a n n n ，即n n n n n a a )2
1(211⋅=⋅=-，所以n n n n n S )2
1()21()1()21(3)21(2)21(1132⋅+⋅-++⋅+⋅+⋅=- ，则1432)2
1()21()1()21(3)21(2)21(121+⋅+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n S ，两式相减，化简得n n n n S )21()21(21⋅--=-，故不等式n n a S 562<-即为n n n n n )2
1(56)21()21(1⋅<⋅+-，解得10>n ，故使得n n a S 5
62<-最小的值为11，故选D ． 【入选理由】本题考查数列递推关系、叠乘法求通项公式、错位相减法求和等基础知识，意在考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，以及转化思想的应用．递推关系需注意变形方法,此题难度不大，有一定的技巧，故选此题.
3. 【2017年第二次全国大联考（新课标卷Ⅱ）】设数列{}n a 的前项和为n S ，已知24a =，()1212n n n a a -++-=，则20S =_____.
【答案】140
【入选理由】本题考查数列的递推公式，前n 项和等基础知识，意在考查转化与化归思想和运算求解能力．递推关系是高考考试的重点与难点,有一定的技巧,需加强练习，故选此题.
4. 已知数列{}n a 的前项和为n S ，11S =，24S =，且当3n ≥时，132
n S -+是n S 与2n S -的
等差中项.数列{}n b 为等比数列，且2211b a =
+，3312b a =+. （Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）求数列{}n n a b ⋅的前项和n T .
【解析】（Ⅰ）因为当3n ≥时，132n S -+是n S 与2n S -的等差中项，所以1232()2
n n n S S S --+=+，即2123n n n S S S --+=+，也就是112()()3n n n n S S S S ------=，即13(3)n n a a n --=≥.而111a S ==，2213a S S =-=，显然2123a a -=≠，所以数列{}n a 从第2项起构成等差数列，公差3d =. 故当2n ≥时，2(2)3(2)333n a a n d n n =+-=+-⨯=-.故
1,133,2
n n a n n =⎧=⎨-≥⎩. 等比数列{}n b 中，221114b a ==+，331128b a ==+.故其公比3212b q b ==.所以其通项222111()422
n n n n b b q --=⋅=⨯=. （Ⅱ）令n n n c a b =⋅，由（Ⅰ）知，1,1233,22n n n n
n c a b n n ⎧=⎪⎪=⋅=⎨-⎪≥⎪⎩. 当1n =时，1112T c ==. 当2n ≥时，
1231n n n T c c c c c -=+++++23113233333(1)33322222
n n n n -⨯-⨯----=
+++++① 2311113233(2)33(1)333222222
n n n n n n n T -+⨯------=+++++② ①②，得231111233333()2222222n n n n n T -+-=+++++-23131[1()]113322122212
n n n -+--=++-- 2131331(1)422n n n -+-=+--173342n n ++=-，所以73322
n n n T +=-.显然，当1n =时，也成立.故73322n n n T +=-. 【入选理由】本题考查n a 与n S 的关系、等比数列的基本运算、数列通项公式以及数列求和等，考查基本的运算能力与逻辑推理能力等．此题是一个常规题，难度不大，符合高考考试题型,故选此题.
5. 已知正项数列{}n a 中11a =，其前项和为n S ，且
221112n n-n n-n n-S S S S S S +-+=（）（）(2n ≥)．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1
21(1)(2)n a n n n n n b a a ++=-+，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ． 【解析】（Ⅰ）当2n ≥时，因为
221112n n-n n-n n-S S S S S S +-+=（）（），所以2211120n n n-n-n n-S S S S S S -+-+=（）（），所以211(0n n-n n-S S S S --+=（）），所以
210n n n-a S S --=，所以2120n n n-n a S S S +--=，从而22n n n a a =S + ①（当1n =时，也成立），
进而21112n-n-n-a a =S +（2n ≥） ②，
①－②化简得：11()(1)0n n-n n-a a a a +--=（2n ≥），
所以正项数列{}n a 满足11n n-a a -=，所以{}n a 为等差数列，公差为1．又因为11a =，所以n a n =． （Ⅱ）1212111(1)(2)(1)[2](1)2(1)()(1)1
n a n n n n n n n n n n n b a a n n n n +++=-+=-+=-+-+++． 所以
23421221111111(222222)[(1)()()()]22334221
n n n T n n -=-+-++-++-+++-+++++ 2432211111111(22)(22)(22)(1)22334221
n n n n -=-+-++-+--++--++++ 35211111111(2222)(1)22334221
n n n -=+++++--++--++++ 2(14)1241)2(1)1421321
n n n n n --=+-+=--++（． 【入选理由】本题考查n a 与n S 的关系、等差数列的基本运算、数列通项公式以及数列求和等，考查基本的运算能力与逻辑推理能力等．此类题有一定的综合性，难度中等，有一定的解题技巧，故选此题.。