9.卷2-备战2021年中考数学【名校地市好题必刷】全真模拟卷(解析版)

备战2021年中考扬州【名校、地市好题必刷】全真模拟卷·2月卷
第二模拟
注意事项：
本试卷满分130分，考试时间120分钟，试题共28题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（2020秋•雨花区校级月考）暑期爆款国产动漫《哪吒之降世魔童》票房已斩获4930000000，开启了国漫
市场崛起新篇章，4930000000用科学记数法可表示为（）
A．49.3×108B．4.93×109C．4.93×108D．493×107
【答案】B
【解答】解：4930000000＝4.93×109．
故选：B．
【知识点】科学记数法—表示较大的数
2.（2020•江都区四模）已知实数x、y满足：x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0．则﹣y2的值为（）
A．0B．C．1D．
【答案】D
【解答】解：∵x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0，
∴x＝y+3，y2+﹣＝0，
∴y2﹣＝﹣
∴﹣y2
＝
＝1+
＝1﹣（﹣）
＝1+
＝，
故选：D．
【知识点】分式的化简求值
3.（2019秋•思明区校级月考）已知﹣m＜2＜m，若有理数m在数轴上对应的点为M，则点M在数轴上可
能的位置是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解答】解：∵﹣m＜2＜m，
∴m＞﹣2且m＞2，
即：m＞2，
∴点M在数轴上可能的位置是：
故选：A．
【知识点】数轴
4.（2019春•长兴县期中）有一组数据：x1，x2，x3，…，x n它的平均数是，中位数是x，众数是x i，方差
是S2，则关于另一组数据：7x1﹣3，7x2﹣3，7x3﹣3，…，7x n﹣3的说法正确的是（）
A．平均数是7x﹣3，标准差是7S﹣3
B．中位数是7x i﹣3，方差是49S2﹣9
C．众数是7x i﹣3，标准差是7S
D．中位数是7x i，方差是7S2﹣3
【答案】C
【解答】解：∵数据：x1，x2，x3，…，x n它的平均数是，中位数是x，众数是x i，方差是S2，∴7x1﹣3，7x2﹣3，7x3﹣3，…，7x n﹣3的平均数是7，中位数是7x i﹣3，众数是7x i﹣3，方差
是49S2，标准差是7S，
其中说法正确的是C；
故选：C．
【知识点】众数、标准差、中位数、算术平均数、方差
5.（2019春•陈仓区期中）下列图形中∠1与∠2不相等的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：A、根据对顶角相等可知，∠1＝∠2，本选项不符合题意．
B、∵∠1+∠2＝90°，∠1与∠2不一定相等，本选项符合题意．
C．根据平行线的性质可知：∠1＝∠2，本选项不符合题意．
D、根据等角的余角相等，可知∠1＝∠2，本选项不符合题意．
故选：B．
【知识点】对顶角、邻补角、平行线的性质、余角和补角
6.（2019•临颍县一模）抛物线y＝x2+4x+5﹣m与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（）
A．m＜﹣1B．0＜m≤1C．m＜1D．m＞1
【答案】D
【解答】解：∵抛物线y＝x2+4x+5﹣m与x轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，即16﹣4（5﹣m）＞0，
解得m＞1，
故选：D．
【知识点】二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点
7.（2020•宝山区一模）已知，为非零向量，如果＝﹣5，那么向量与的方向关系是（）
A．∥，并且和方向一致
B．∥，并且和方向相反
C．和方向互相垂直
D．和之间夹角的正切值为5
【答案】B
【解答】解：∵知，为非零向量，如果＝﹣5，
∴∥，与的方向相反，
故选：B．
【知识点】垂线、解直角三角形、*平面向量
8.（2019•海珠区一模）对于二次函数y＝﹣2x2﹣4x+1，下列说法正确的是（）
A．当x＜0，y随x的增大而增大
B．当x＝﹣1时，y有最大值3
C．图象的顶点坐标为（1，3）
D．图象与x轴有一个交点
【答案】B
【解答】解：∵y＝﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+1）2+3，
∴开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，顶点为（﹣1，3），当x＝﹣1时，y，有最大值3，
当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
故A、C、D错误，B正确，
故选：B．
【知识点】二次函数的最值、抛物线与x轴的交点、二次函数的性质
9.（2019秋•福田区校级期末）正比例函数的图象如图所示，将这条直线向右平移一个单位长度，它所表示
函数的解析是（）
A．B．y＝﹣x+1C．D．
【答案】B
【解答】解：设直线OP的解析式为y＝kx，
把P（1，﹣1）代入得k＝﹣1，
则直线OP的解析式为y＝﹣x，
所以该图象向右平移一个单位长度，直线与x轴的交点坐标为（1，0），
则平移后得到的函数图象的解析式为y＝﹣x+1．
故选：B．
【知识点】一次函数图象与几何变换、正比例函数的图象
10.（2020春•镇海区期末）如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E是正方形ABCD的边AD上的一点，
点A关于BE的对称点为F，若∠DFC＝90°，则EF的长为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：如图，延长EF交CD于M，连接BM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠BCD＝90°，
∵将△ABE沿直线BE对折得到△BEF，
∴∠BFE＝∠BFM＝90°，AB＝BF＝BC
在Rt△BFM与Rt△BCM中，
，
∴Rt△BFM≌Rt△BCM（HL），
∴MF＝MC，
∴∠MFC＝∠MCF，
∵∠MFC+∠DFM＝90°，∠MCF+∠FDM＝90°，
∴∠MFD＝∠MDF，
∴MD＝MF＝MC，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴MF＝MC＝DM＝1，
设AE＝EF＝x，
∵DE2+DM2＝EM2，
即（2﹣x）2+12＝（x+1）2，
解得：x＝．
故选：B．
【知识点】轴对称的性质、正方形的性质
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11.（2020春•西湖区校级月考）约分：＝﹣．
【答案】﹣
【解答】解：原式＝＝﹣．
故答案是：﹣．
【知识点】约分
12.（2020春•芝罘区校级月考）当x时，是二次根式．
【答案】
【解答】解：由被开方数是非负数，得
1﹣2x≥0，
解得x，
故答案为：．
【知识点】二次根式的定义
13.（2019秋•北辰区校级月考）如图，∠BDC＝130°，∠A＝40°，∠B+∠C的大小是．
【答案】90°
【解答】解：延长BD交AC于H，
∵∠BDC＝∠DHC+∠C，∠DHC＝∠A+∠B，
∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C，
∵∠BDC＝130°，∠A＝40°，
∴∠B+∠C＝130°﹣40°＝90°
故答案为90°．
【知识点】三角形内角和定理、三角形的外角性质
14.（2020•崇明区一模）如果梯形两底分别为4和6，高为2，那么两腰延长线的交点到这个梯形的较大底
边的距离是．
【答案】6
【解答】解：在梯形BCED中，作AG⊥BC于G，交DE于F，如图所示：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝，
解得：AF＝4，
∴AG＝AF+GF＝4+2＝6．
故答案为：6．
【知识点】相似三角形的性质、梯形
15.（2020春•平湖市校级期末）两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD（不完全重合），
则四边形ABCD面积的最大值为．
【答案】15
【解答】解：如图1，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形的宽都是3，
∴AE＝AF＝3，
∵S四边形ABCD＝AE•BC＝AF•CD，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
如图2，
，
设AB＝BC＝x，则BE＝9﹣x，
∵BC2＝BE2+CE2，
∴x2＝（9﹣x）2+32，
解得x＝5，
∴四边形ABCD面积的最大值是：5×3＝15．
故答案为15．
【知识点】矩形的性质、菱形的判定与性质
16.（2019•大邑县模拟）有五张正面分别写有数字﹣4，﹣3，0，2，3的卡片，五张卡片除了数字不同外其
余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为n，则抽取的n既能使关于x的方程（n+3）x2+（n+1）x+＝0有实数根，又能使以x为自变量的反比例函数y＝的图象在每个象限内y随x的增大而增大的概率为．
【答案】
【解答】解：∵关于x的方程（n+3）x2+（n+1）x+＝0有实数根，
∴当n＝﹣3时，关于x的方程（n+3）x2+（n+1）x+＝0有实数根，
当n≠﹣3时，（n+1）2﹣4（n+3）×＝n2﹣5≥0，
∴n2≥5，
∵反比例函数y＝的图象在每个象限内y随x的增大而增大，
∴n2﹣16＜0，
∴n2＜16，
∴5≤n2≤16，
∴n＝0，2，3，
∴概率为，，
故答案为：．
【知识点】根的判别式、一元二次方程的定义、反比例函数的性质、反比例函数的图象、概率公式
17.（2020•抚顺）如图，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度，
在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N处，测得塔尖点A在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB为45°，则电视塔AB的高度为米（结果保留根号）．
【答案】100
【解答】解：如图，
连接AN，由题意知，BM⊥AA'，BA＝BA'
∴AN＝A'N，
∴∠ANB＝∠A'NB＝45°，
∵∠AMB＝22.5°，
∴∠MAN＝∠ANB﹣∠AMB＝22.5°＝∠AMN，
∴AN＝MN＝200米，
在Rt△ABN中，∠ANB＝45°，
∴AB＝AN＝100（米），
故答案为100．
【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题
18.（2019秋•川汇区期中）如图，经过抛物线y＝x2+x﹣2与坐标轴交点的圆与抛物线另交于点D，与y轴
另交于点E，则∠BED＝．
【答案】45°
【解答】解：连接AD，作DM⊥AB于M，
在抛物线y＝x2+x﹣2中，令y＝0，则x2+x﹣2＝0，解得x＝﹣2或x＝1，
∴A（1，0），B（﹣2，0），
令x＝0，则y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣，
∴D（﹣1，﹣2），
∴M（﹣1，0），
∵DM＝2，AM＝2，
∴∠BAD＝∠ADM＝45°，
∵∠BED＝∠BAD，
∴∠BED＝45°．
故答案为45°．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点
三、解答题（本大题共10小题，共76分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19.（2020秋•曲阜市校级期中）规律探究
计算：1+2+3+4+…+99+100．
如果一个个顺次相加显然太繁杂，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的运算律，可简化计算，提高计算速度．
1+2+3+4+…+99+100＝（1+100）+（2+99）+…+（50+51）＝5050．
计算：
（1）（﹣1）+（﹣2）+（﹣3）+（﹣4）+…+（﹣50）．
（2）2+4+6+8+…+98+100．
（3）（a+2m）+（2a+3m）+（3a+4m）+…+（100a+101m）．
【解答】解：（1）原式＝（﹣1﹣50）×＝﹣1275；
（2）原式＝（2+100）×＝2550；
（3）原式＝（a+2m+100a+101m）×100＝（101a+103m）×100＝10100a+10300m．
【知识点】有理数的混合运算、整式的加减、规律型：数字的变化类
20.（2019秋•江岸区期末）用分式方程解决问题：
元旦假期有两个小组去攀登一座高h米的山，第二组的攀登速度是第一组的a倍．
（1）若h＝450，a＝1.2，两小组同时开始攀登，结果第二组比第一组早15min到达顶峰求两个小组的攀登速度．
（2）若第二组比第一组晚出发30min，结果两组同时到达顶峰，求第二组的攀登速度比第一组快多少？
（用含a，h的代数式表示）
【解答】解：（1）设第一组的速度为xm/min，则第二组的速度为1.2xm/min，
由题意得，﹣＝15，
解得：x＝5，
经检验：x＝5是原分式方程的解，且符合题意，
则1.2x＝6．
答：第一组的攀登速度5m/min，第二组的攀登速度6m/min；
（2）设第一组的平均速度为ym/min，则第二组的平均速度为aym/min，
由题意得，﹣＝30，
解得：y＝，
经检验：y＝是原分式方程的解，且符合题意，
则ay﹣y＝﹣＝，
答：第二组的平均攀登速度比第一组快m/min．
【知识点】分式方程的应用
21.（2019春•南海区期末）已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠
B＝60°；求∠AEC的度数．
【解答】解：∵AD⊥BC，∠B＝60°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝80°﹣30°＝50°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠DAC＝×50°＝25°，
∴∠BAE＝30°+25°＝55°，
∴∠AEC＝∠BAE+∠B＝55°+60°＝115°．
22.（2019•十堰）第一盒中有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其
他差别．
（1）若从第一盒中随机取出1个球，则取出的球是白球的概率是．
（2）若分别从每个盒中随机取出1个球，请用列表或画树状图的方法求取出的两个球中恰好1个白球、1个黄球的概率．
【解答】解：（1）若从第一盒中随机取出1个球，则取出的球是白球的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图为：
，
共有6种等可能的结果数，取出的两个球中恰好1个白球、1个黄球的有3种结果，
所以取出的两个球中恰好1个白球、1个黄球的概率为．
【知识点】概率公式、列表法与树状图法
23.（2020秋•蜀山区校级期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE、BC的延长线相交于
点F，且EF•DF＝CF•BF．求证：△CAB∽△DAE．
【解答】证明：∵EF•DF＝CF•BF．
∴，
∵∠EFC＝∠BFD，
∴△EFC∽△BFD，
∴∠CEF＝∠B，
∴∠B＝∠AED，
∵∠CAB＝∠DAE，
∴△CAB∽△DAE．
24.（2019秋•泰兴市校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，AB：BD＝．
（1）求tan∠DAC的值；
（2）若BD＝4，求S△ABC．
【解答】解：（1）过D作DE⊥AB于E，
∴∠BED＝∠C＝90°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE＝DC，
∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝，
∵AB：BD＝，
∴tan∠DAC＝＝；
（2）∵tan∠DAC＝，
∴∠DAC＝30°，
∴∠ADC＝60°，∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠B＝30°，
∴AD＝BD＝4，
∴CD＝AD＝2，AC＝AD＝2，
∴BC＝6，
∴S△ABC＝AC•BC＝6×＝．
【知识点】解直角三角形、角平分线的性质
25.（2020春•南京期中）某批足球的质量检测结果如下：
抽取足球数n1002004006008001000
合格的频数m93192384564759950
合格的频率0.930.960.960.94
（1）填写表中的空格；（结果保留0.01）
（2）画出合格的频率的折线统计图；
（3）从这批足球任意抽取的一只足球是合格品的概率是多少？并说明理由．
【解答】解：（1）完成表格如下：
抽取足球数n1002004006008001000
合格的频数m93192384564759950
合格的频率0.930.960.960.940.950.95
（2）如图所示：
（3）从这批足球任意抽取的一只足球是合格品的概率估计值0.95，
因为从折线统计图中可知，随着实验次数的增大，频率逐渐稳定到常数0.95附近，
所以从这批足球任意抽取的一只足球是合格品的概率估计值0.95．
【知识点】频数（率）分布折线图、利用频率估计概率、频数（率）分布表
26.（2020秋•袁州区校级期中）我们学过圆内接三角形，同样，四个顶点在圆上的四边形是圆内接四边形，
下面我们来研究它的性质．
（I）如图（1），连接AO、OC，则有，．∵∠1+∠2＝360°∴
，同理∠BAD+∠BCD＝180°，即圆内接四边形对角（相对的两个角）互补．
（II）在图（2）中，∠ECD是圆内接四边形ABCD的一个外角，请你探究外角∠DCE与它的相邻内角的对角（简称内对角）∠A的关系，并证明∠DCE与∠A的关系．
（III）应用：请你应用上述性质解答下题：如图（3）已知ABCD是圆内接四边形，F、E分别为BD、AD延长线上的点，如果DE平分
∠FDC，求证：AB＝AC．
【解答】（II）解：∠DCE＝∠A．
证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠DCE+∠BCD＝180°，
∴∠DCE＝∠A；
（III）证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠2＝∠ABC，
∵∠1＝∠ADB，∠ADB＝∠ACB，
∴∠1＝∠ACB，
∵DE平分∠FDC，
∴∠1＝∠2，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC．
【知识点】圆内接四边形的性质、圆周角定理
27.（2019•北碚区校级一模）某班数学兴趣小组对函数y＝|x2﹣2x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，
请补充完整：
（1）自变量x的取值范围取足全体实数，x与y的几组对应值列表如下：其中m＝．
x……﹣1﹣0.500.51 1.52 2.53……
y……3m00.7510.750 1.253……
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出函数的一条性质；
（4）进一步探究函数图象解决问题：
①方程|x2﹣2x|＝有个实数根；
②在（2）问的平面直角坐标系中画出直线y＝﹣x+1，根据图象写出方程|x2﹣2x|＝﹣x+1的一个正数根
约为．（精确到0.1）
【答案】【第1空】1.25
【第2空】当x＞2时，y随x的增大而增大
【第3空】4
【第4空】0.5
【解答】解：（1）把x＝﹣0.5代入y＝|x2﹣2x|，
得y＝|0.52﹣2×（﹣0.5）|＝1.25，
即m＝1.25，
故答案为：1.25；
（2）如图所示；
（3）由函数图象知：当x＞2时，y随x的增大而增大；
（4）①由函数图象知：函数图象与x＝有4个交点，所以对应的方程|x2﹣2x|＝4个实数
根．
故答案为4；
②如图，
由图象和表格可知方程|x2﹣2x|＝﹣x+1的一个正数根约为0.5，
故答案为0.5．
【知识点】根的判别式、抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、图象法求一元二次方程的近似根
28.（2019秋•碑林区校级月考）问题探究
（1）如图①，在△ABC中，∠B＝30°，E是AB边上的点，过点E作EF⊥BC于F，则的值为．
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ABC，点E是对角线BD上一点，求AE+BE的最小值．
问题解决
（3）如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别于x轴，y轴交于点A、B，点P为直线AB上的动点，以OP为边在其下方作等腰Rt△OPQ且∠POQ＝90°．已知点C（0，﹣4），点D（3，0）连接CQ、DQ，那么DQ+CQ是否存在最小值，若存在求出其最小值及此时点P的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】
【解答】解：（1）∵∠B＝30°，EF⊥BC，
∴BC＝2EF，
∴＝，
故答案为；
（2）过点A作AF⊥BC，交BD于点E，
∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，
∴EF＝BE，
∴AE+BE＝AE+EF，
当A、E、F三点共线时，AE+BE的值最小，
在Rt△ABF中，AB＝6，
∴AF＝3，
∴AE+BE的最小值3；
（3）∵等腰Rt△OPQ且∠POQ＝90°，P点在直线y＝﹣x+4上，
∴Q点在直线AC上，
∵A（4，0），C（0，﹣4），
∴直线AC的解析式为y＝x﹣4，
作D点关系直线AC的对称点D'，过点D'作D'H⊥y轴，交直线AC于点Q，则HD'即为所求；
∵∠BCA＝45°，
∴HQ＝CQ，
由对称性可得：DQ＝D'Q，
∴DQ+CQ＝D'Q+HQ＝HD'即为最小；
∵D（3，0），
∴D'（4，1），
∴HD'＝4，
∴DQ+CQ的最小值为4；
此时Q（3，1），
设P（x，x﹣4），
则有x2+（x﹣4）2＝10，
∴x＝1或x＝3，
∴P（1，3）或P（3，1）（舍）；
综上所述：DQ+CQ的最小值为4，此时P（1，3）．
【知识点】一次函数综合题。