2020学年高中数学第二章统计2.3变量间的相关关系练习(含解析)新人教A版必修3(最新整理)

第16课时变量间的相关关系
知识点一变量之间的相关关系与散点图
1．下列关系中，属于相关关系的是________．(填序号)
①正方形的边长与面积之间的关系；
②农作物的产量与施肥量之间的关系;
③自由落体中物体下落的距离（h)与时间（t)的关系；
④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．
答案②④
解析在①中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系,但具有相关关系;在③中，自由落体运动中，物体下落的距离(h)与时间(t)满足h＝错误!gt2（g为重力加速度），是函数关系;在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．
2．某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示．
年龄x/
123456
岁
身高
788798108115120
y/cm
（1)画出散点图；
(2)判断y与x是否具有线性相关关系．
解（1)散点图如图所示．
（2）由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为y与x有线性相关关系．
知识点二回归直线方程的求解与应用
3．由一组样本数据(x1,y1），（x2，y2），…，（x n，y n)得到回归直线方程错误!＝错误!x ＋错误!，那么下面说法不正确的是( ）
A．直线错误!＝错误!x＋错误!必经过点（错误!，错误!）
B．直线错误!＝错误!x＋错误!至少经过点(x1,y1），(x2，y2),…，(x n,y n)中的一个点
C．直线错误!＝错误!x＋错误!的斜率为错误!
D．直线错误!＝错误!x＋错误!和各点（x1，y1）,(x2，y2），…，(x n,y n)的偏差错误!y i－(b，^x i＋错误!)］2是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中偏差最小的直线答案B
解析因为错误!＝错误!，错误!＝错误!－错误!错误!，所以直线错误!＝错误!x＋错误!，必过定点（错误!,错误!)，A，C项显然正确,由回归直线方程的推导知D项也正确，只有B项不能确定直线y^＝错误!x＋错误!可能经过（x1，y1)，（x2,y2），…,（x n，y n)中的许多点，也可能都经过或都不经过．
4．对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表所示．
若已求得它们的回归直线的斜率为6．5,这条回归直线的方程为________．
答案错误!＝6．5x＋17．5
解析由题意可知错误!＝错误!＝5，
错误!＝错误!＝50．
即样本中心为（5，50)．
设回归直线方程为错误!＝6．5x＋错误!,
∵回归直线过样本中心（错误!，错误!)，
∴50＝6．5×5＋错误!,即错误!＝17．5，
∴回归直线方程为错误!＝6．5x＋17．5．
5．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤）的几组对照数据：
x3456
y 2．
5
34
4．
5
(1)请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程错误!＝错误!x＋错误!；
（3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤．
(参考数值：3×2．5＋4×3＋5×4＋6×4．5＝66．5）
解(1)散点图如图所示．
（2)错误!i y i＝3×2．5＋4×3＋5×4＋6×4．5＝66．5，
错误!＝错误!＝4．5，错误!＝错误!＝3．5，
错误!错误!＝32＋42＋52＋62＝86,
错误!＝错误!＝错误!＝0．7，
错误!＝错误!－错误!错误!＝3．5－0．7×4．5＝0．35．
故回归方程为错误!＝0．7x＋0．35．
（3)根据回归方程的预测，现在生产100吨甲产品的生产能耗为0．7×100＋0．35＝70．35(吨）标准煤，故能耗减少了90－70．35＝19．65（吨）标准煤．
易错点对相关关系的概念理解错误
6．下列变量之间的关系属于相关关系的是( )
A．圆的周长和它的半径之间的关系
B．价格不变的条件下,商品销售额与销售量之间的关系
C．家庭收入愈多,其消费支出也有增长的趋势
D．正方形面积和它的边长之间的关系
易错分析两个变量间的相关关系不同于函数关系．所谓函数关系,就是其中一个变量（自变量）的每一个值，唯一确定了另一个变量（因变量）的值；而对于相关关系,两个变量间则没有确定的关系，它们的关系相对来说是随机的．由于混淆了这两者之间的关系，而造成了误选．
正解 C 因选项A,B，D中的两个变量间都有唯一确定的关系,因而它们都是函数关系；而选项C中家庭收入会对消费支出产生一定的影响，但高收入未必有高消费，因而选项C中的关系才是相关关系．故选C．
一、选择题
1．下列两个变量之间的关系不具有相关关系的是( )
A．小麦产量与施肥量
B．球的体积与表面积
C．蛋鸭产蛋个数与饲养天数
D．甘蔗的含糖量与生长期的日照天数
答案B
解析球的体积与表面积之间是函数关系，不是相关关系．
2．已知x，y之间的一组数据：
x2468
y1537
则y与x的线性回归方程错误!＝错误!x＋错误!必过点（)
A．(20，16) B．（16，20） C．(4，5) D．(5，4）
答案D
解析x,y的两组数据的平均数分别为5，4．故回归直线必过点（5,4)．故选D．
3．设某大学的女生体重y（单位：kg)与身高x(单位：cm）具有线性相关关系．根据一组样本数据(x i，y i)（i＝1，2，…，n),用最小二乘法建立的回归方程为错误!＝0．85x－85．71,则下列结论中不正确的是（）
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(错误!,错误!）
C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0．85 kg
D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58．79 kg
答案D
解析错误!为正数，所以两变量具有正的线性相关关系，故A正确；B，C显然正确；若该大学某女生身高为170 cm，则可估计其体重在58．79 kg左右．
4．工人工资y(元)与劳动生产率x（千元)的相关关系的回归直线方程为错误!＝50＋80x，下列判断正确的是( ）
A．劳动生产率为1000元时,工人工资为130元
B．劳动生产率提高1000元时,工人工资平均提高80元
C．劳动生产率提高1000元时，工人工资平均提高130元
D．当月工资为250元时,劳动生产率为2000元
答案B
解析回归直线斜率为80，所以x每增加1，y平均增加80，即劳动生产率提高1000元时,工人工资平均提高80元．
5．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
根据上表可得回归直线方程错误!＝错误!x＋错误!，其中错误!＝0．76，错误!＝错误!－错误! x．据此估计,该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( ）
A．11．4万元 B．11．8万元
C．12．0万元 D．12．2万元
答案B
解析先求错误!，再利用回归直线方程预测．
由题意知，错误!＝错误!＝10，
错误!＝错误!＝8，
∴错误!＝8－0．76×10＝0．4．
∴当x＝15时，错误!＝0．76×15＋0．4＝11．8(万元)．
二、填空题
6．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人，体重y（kg）对身高x（cm）的回归方程为错误!＝0．72x－58．2，张红同学（20岁）身高178 cm，她的体重应该在______ kg左右．答案69．96
解析用回归方程对身高为178 cm的人的体重进行预测,当x＝178时，错误!＝0．72×178－58．2＝69．96(kg）．
7．假设学生在初中的英语成绩和高一英语成绩是线性相关的．现有10名学生的初中英语成绩(x）和高一英语成绩（y）如下：
由此得到的回归直线的斜率约为1．22,则回归方程为________．
答案错误!＝1．22x－14．32
解析将错误!＝71，错误!＝72．3，错误!＝1．22，代入错误!＝错误!－错误!错误!，得错误!＝72．3－1．22×71＝－14．32．
8．某人对一个地区人均工资x与该地区人均消费y进行统计调查得y与x具有相关关系,且回归直线方程为错误!＝0．66x＋1．562(单位：千元），若该地区人均消费水平为7．675,估计该地区人均消费额占人均工资收入的百分比约为________．（精确到0．1％)
答案82．9％
解析由题意7．675＝0．66x＋1．562，解得x＝9．262，该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7．675÷9．262＝82．9％．
三、解答题
9．某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元)的数据如下表：
(1）求y关于t的线性回归方程；
(2）利用(1)中的回归方程,分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入．
解（1）根据数据，可知，错误!＝错误!＝4，
错误!＝错误!＝4．3，
由错误!＝错误!，
得错误!＝0．5,错误!＝错误!－错误!错误!＝4．3－0．5×4＝2．3，
所以y关于t的线性回归方程为错误!＝0．5t＋2．3．
（2）因为b＝0．5>0，
所以2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入稳步增长，当t＝12时，错误!＝0．5×12＋2．3＝8．3，
所以预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为8300元．
10．有人统计了同一个省的6个城市某一年的人均国民生产总值(即人均GDP）和这一年各城市患白血病的儿童数,如下表：
(1)画出散点图,并判定这两个变量是否具有线性相关关系;
（2)通过计算可知这两个变量的回归方程为错误!＝23．25x＋102．15,假如一个城市的人均GDP为12万元,那么可以断言，这个城市患白血病的儿童一定超过380人,请问这个断言是否正确？
解（1）散点图如下：
根据散点图可以看出，在6个点中,虽然第一个点离这条直线较远,但其余5个点大致分布在这条直线的附近，所以这两个变量具有线性相关关系．
(2）上述断言是错误的，将x＝12代入错误!＝23．25x＋102．15得错误!＝23．25×12＋102．15＝381．15〉380，但381．15是对该城市人均GDP为12万元的情况下所作的一个估计，该城市患白血病的儿童可能超过380人，也可能低于380人．
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