湖南省宁乡市2022-2023学年高二上学期期末考试数学试卷及答案

2022年下学期期末考试
高二数学试卷
本试卷分选择题和解答题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

注意：所有试题均须在答题卡上作答。

一、单选题（本大题共8小题，共40分，在每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1.如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===uuu r r uuu r r uuu r r
，点M 为OA 的中点，点N 在线段BC
啥上，且2CN NB =，则MN =uuuu r A ．121233a b c
−−r r r B ．112323a b c
−++r r r
C ．211323
a b c
−+r r r D ．121233
a b c
−++r r r 2.已知圆22220x y x y a ++−+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是
A ．2
−B ．4
−C ．6
−D ．8
−3.已知在一个二面角的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并
且都垂直于棱AB ，5,3,AB AC ==4,BD CD ==A ．30o
B ．45o
C ．90o
D ．150o
4.已知方程22
152
x y m m +=−−表示焦点在y 轴上的椭圆，且焦距为2，则m 的值为
A ．4
B ．5
C ．7
D ．8
5.若数列21n a +
是等差数列，131
1,3a a ==−，则5a =
A ．7
9
−
B ．
79
C ．
35
D ．35
−
6.已知抛物线216y x =的焦点为F ，P 点在抛物线上，Q 点在园22:(6)(2)4C x y −+−=上，则PQ PF +的最小值为
A ．8
B ．10
C ．4
D ．6
7.已知()x e f x x =，若2'
0()4
e f x =，则0x =
A ．
12
B ．2
C ．
1e
D ．e
8.设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，已知112()917a a
a =<<12,1n n n n a a a a +=−+，若61
5
a =，则
A ．51
02
S <<
B ．
51
12S <<C ．5312
S <<
D ．
53
22
S <<二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9.已知点(1,1)(3,1)A B −、，直线l 经过点(1,3)C 且与线段AB 相交，则直线l 与圆2
2
(6)2
x y −+=的位置关系是
A ．相交
B ．相离
C ．相切
D ．不好确定
10.已知动点P 在左、右焦点为1F 、2F 的双曲线2
2
:13
y C x −=上，下列结论正确的是
A ．双曲线C 的离心率为2
B ．当点P 在双曲线左支时，
12
2
PF PF 的最大值为
14
C ．点P 到两渐近线距离之积为定值
D ．双曲线C 的渐近
线方程为3
y x =±
11.已知函数3
1()443
f x x x =
−+，则A ．()f x 在()0,+∞上单调递增B ．2x =−是()f x 的极大值点C ．()f x 有三个零点
D ．()f x 在[]0,3上的最大值是4
12.等比数列{}n a 中，10a <，公比01q <<，则下列结论正确的是
A ．数列{}n a 中的所有偶数项可以组成一个公比为2q 的等比数列
B ．设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，对*
12,,n n n n N S a a ∀>∈<+恒成立
C ．数列{}n a 是递增数列
D ．数列{}lg()n a −是首项和公差都小于0的等差数列
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.已知空间向量(1,1,),a λλ=+r (6,1,4)b µ=−r ，若//a b r r ，则λµ+=
14.各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2563
,124
S a a =
+=，则4S =15.若曲线ln y x =在点(,1)P e 处的切线也是曲线ax
y e =的一条切线，则a =
16.在长方体1111ABCD A B C D −中，2AB AD ==，13AA =，点P 为底面ABCD 上一点，则
1PA PC ⋅uuu r uuuu r
的最小值为______
四、解答题（本大题共6个小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步）17.（本大题满分10分）
直线l 经过两点()2,1、()6,3．（1）求直线l 的方程；
（2）圆C 的圆心在直线l 上，并且与x 轴相切于()2,0点，求圆C 的方程．
18.（本大题满分12分）
已知直线1:(2)l m x ++2
(3)40m m y −+=和直线2:22(3)l mx m +−20()y m R +=∈.
（1）当m 为何值时，直线1l 和2l 平行？（2）当m 为何值时，直线1l 和2l 重合？
19.（本大题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD −的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，
1PD DC ==，BC =M 为BC 的中点．
（1）求证：PB AM ⊥；
（2）求平面PAM 与平面PDC 所成的角的余弦值．
20.（本大题满分12分）
已知等差数列{}n a 的公差2d =，且138a a +=，数列{}n b 是首项为1
2的等比数列，且满足1b 、22b 、34b 成等差数列．
（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足1
2
n n n c a b =
，求证：数列{}n c 的前n 项和2n T <．21.（本大题满分12分）
已知椭圆22
22:1y x C a b
+=(0)a b >>的上、下两个焦点分别为F 、2F ，过点1F 与y 轴垂直
的直线交椭圆C 于M 、N 两点，2MNF V 的面积，椭圆C 的长轴长是短轴长的2倍．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知O 为坐标原点，直线:l y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于A 、B 两个
不同的点，若存在实数λ，使得144
OP OA OB λ=+uuu r uuu r uuu r
，求m 的取值范围．
22.（本大题满分12分）
已知函数
1
()ln 1,2
f x x mx =−−m R ∈．（1）若该函数在1x =处的切线与直线210x y ++=垂直，求m 的值；（2）若函数()()
g x x f x =⋅在其定义域上有两个极值点1x 、2x ．
①求m 的取值范围；②求证：2
12x x e ⋅>．
2022年下学期期末考试 高二数学参考答案
一、单选题（本大题共8小腿，共40分，在每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 答案
D B C A D A B C 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分） 题号
9 10 11 12 答案
BC AC BCD ABC
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 5 14.
15
4
15. 2e − 16. 2− 四、解答题（本大题共6个小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步） 17.（本大题满分10分）
解：(1)由已知可得，直线l 的斜率k ＝3－16－2＝1
2
，
所以直线l 的方程为x －2y ＝0. 4分 (2)因为圆C 的圆心在直线l 上，
所以可设圆心坐标为(2a ，a )． 5分 因为圆C 与x 轴相切于(2,0)点，
所以圆心在直线x ＝2上，所以a ＝1， 7分
所以圆心坐标为(2,1)，半径为1， 8分 所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1. 10分 18. （本大题满分12分） 解：（1）由题意，
， 2分
得， 4分
解得或
当
或
时，直线和平行. 6分
（2）由题意，
， 8分
得， 11分
解得，
当
时，直线和重合. 12分
19. （本大题满分12分）
解：（1）依题意，棱DA ，DC ，DP 两两互相垂直.
以点D 为原点，依次以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴， 如图，建立空间直角坐标系.
则(2,1,0)B ，(0,0,1)P ，(2,0,0)A ，2,1,02M ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
. 3分 可得(2,1,1)PB =−，2
,1,02AM ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭
.
所以221002PB AM ⎛⎫
⋅=⨯−+−= ⎪ ⎪⎝⎭
，
所以PB AM ⊥ 6分 （2）由（1）得到(2,0,0)A ，2,1,02M ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
， 因此可得2
,1,02AM ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭
，(2,0,1)AP =−.
设平面PAM 的一个法向量为1(,,)n x y z =，则由 110,0,n AM n AP ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩得2
0,220,
x y x z ⎧−
+=⎪⎨⎪−+=⎩
令22z =，解得1(2,2,22)n =. 9分 同理，可求平面PDC 的一个法向量2(1,0,0)n =. 10分 所以，平面PAM 与平面PDC 所成的锐二面角θ满足： 1212
214
cos 7141
n n n n θ⋅=
=
=⨯. 即平面PAM 与平面PDC 所成的锐二面角的余弦值为14
7
. 12分 20. （本大题满分12分） 解：(1)因为2d =，138a a +=．
所以1248a +=，解得12a =． 2分 所以()2212n a n n =+−=． 因为{}n b 为等比数列，11
2
b =
，且 1b ，22b ，34b 成等差数列．
所以21344b b b =+．
4分
设公比为q ，则24410q q −+=，所以12
q =， 所以1
111222n n
n b −⎛⎫
⎛⎫=⋅= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
， 所以2n a n =，12n
n b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭． 6分
(2)证明：由（1）得1122n
n n n c a b n ⎛⎫
==⨯ ⎪⎝⎭，
所以()2
3
1
11111123122222n n
n T n n −⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+−⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
①， 8分
()2
3
4
1
1111111231222222n
n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+−⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
②， 9分
①-②得：2
3
1
111111222222n
n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+−⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
10分
()1111122111212212
n
n n n n ++⎡⎤⎛⎫−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=−⋅=−+⋅ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭−， 所以()12222n
n T n ⎛⎫
=−+< ⎪⎝⎭
． 12分
21. （本大题满分12分）
解：(1)由题意可得F 1(0，c )，
则c 2a 2＋x 2b 2＝1，解得x ＝±b 2
a ， 2分 ∴△MNF 2的面积S ＝12×2
b 2a ×2
c ＝2b 2c
a ＝ 3.① 3分
∵椭圆C 的长轴长是短轴长的2倍，∴a ＝2b .② 4分 又∵a 2＝b 2＋c 2，③
联立①②③解得a ＝2，b ＝1，
∴椭圆C 的标准方程x 2
＋y 2
4
＝1. 6分
(2)当m ＝0时，则P (0,0)，
由椭圆的对称性得AP ―→＝PB ―→，即OA ―→＋OB ―→
＝0， ∴m ＝0时，存在实数λ，使得OP ―→＝14OA ―→＋λ4OB ―→
. 7分
当m ≠0时，得OP ―→＝14OA ―→＋λ4
OB ―→
，
∵A ，B ，P 三点共线，∴1＋λ＝4⇒λ＝3⇒AP ―→＝3PB ―→
. 8分
设A (x 1，y 1), B (x 2，y 2)，由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，
4x 2＋y 2－4＝0，
得(k 2＋4)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0，
由已知得Δ＝4m 2k 2－4(k 2＋4)(m 2－4)>0， 即k 2
－m 2
＋4>0，且x 1＋x 2＝－2km k 2＋4，x 1x 2＝m 2－4
k 2＋4
.
由AP ―→＝3PB ―→
，得x 1＝－3x 2，
即3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝0，
∴12k 2m 2(k 2＋4)2＋4(m 2－4)k 2
＋4＝0⇒m 2k 2＋m 2－k 2－4＝0, 显然m 2
＝1不成立，∴k 2
＝4－m 2m 2－1
.
∵k 2
－m 2
＋4>0，∴4－m 2
m 2－1
－m 2＋4>0，
即(4－m 2)m 2m 2－1
>0.
解得－2<m <－1或1<m <2.
综上所述，m 的取值范围为(－2，－1)∪(1,2)∪{0}． 12分 22. （本大题满分12分） (1)解：由已知得f ′(1)＝1
2，
∵f ′(x)＝1x －1
2
m ，
∴1－12m ＝1
2，∴m ＝1． 4分
(2)证明：g(x)＝xf(x)＝xln x －1
2mx 2－x ，
∴g ′(x)＝ln x －mx ．
①由已知g ′(x)＝ln x －mx ＝0有两个正数解， 即m ＝ln x
x 有两个正数解x 1，x 2．
令h(x)＝ln x
x ，则h ′(x)＝1－ln x x 2
．
由h ′(x)>0得0<x<e ，由h ′(x)<0得x>e ．
∴h(x)在(0，e)上递增，在(e ，＋∞)上递减，且h(e)＝1
e ，h(1)＝0．
x →0时，h(x)→－∞，x →＋∞时，h(x)→0．
由图可知m 的取值范围是0<m<1
e ． 8分
②由①可设0<x 1<e<x 2，且h(x 1)＝h(x 2)，
构造函数φ(x)＝h(x)－h 2
)e (x
，(x>e)．
则φ′(x)＝h ′(x)－h ′)2e (x ·)2
2e (-x ＝(1－ln x )(e 2－x 2)x 2e 2
． ∴φ(x)在(e ，＋∞)上为增函数．
∵x 2>e ，∴φ(x 2)>φ(e)，即h(x 2)－h 2)2e (x >0．∴h(x 1)>h 2
)2
e (x
∵0<x 1<e,0<e 2
x 2
<e 且h(x)在(0，e)上递增，
∴x 1>e 2
x 2
．∴x 1x 2>e 2． 12分。