山东省2019年中考数学同步复习重点题型训练大题加练一(含答案)

大题加练(一)
姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟
1．数学课上，张老师出示了问题：
如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？
经过思考，小明展示了一种正确的思路：
如图2，延长CB到E，使BE＝CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC＝CE，所以AC＝BC＋CD.
小亮展示了另一种正确的思路：
如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC ＝CF，所以AC＝BC＋CD.
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
(1)小颖提出：如图4，如果把“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°”改为∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝45°”，其他条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明；
(2)小华提出：如图5，如果把“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°”改为“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝30°”，其他条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，并给出证明．
2．【问题情境】在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α(0°＜α＜180°)，点P为直线BC上一动点(不与点B，C重合)，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ，旋转角为α)，连接CQ.
【特例分析】 (1)当α＝90°，点P在线段BC上时，过P作PF∥AC交直线AB于点F，如图1，易得图中与△APF全等的一个三角形是________，∠ACQ＝________°；
【拓展探究】 (2)当点P在BC延长线上，AB∶AC＝m∶n时，如图2，试求线段BP与CQ的比值；
【问题解决】 (3)当点P在直线BC上，α＝60°，∠APB＝30°，CP＝4时，请直接写出线段CQ的长．
参考答案
1．解：(1)BC ＋CD ＝2AC.
证明如下：如图，延长CD 至E ，使DE ＝BC ，连接AE.
∵∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴AB＝AD ，∠BAD＝180°－∠ABD－∠ADB＝90°. ∵∠ACB＝∠ACD＝45°，∴∠ACB＋∠ACD＝90°， ∴∠BAD ＋∠BCD＝180°，∴∠ABC＋∠ADC＝180°. ∵∠ADC＋∠ADE＝180°，∴∠ABC＝∠ADE. 在△ABC 和△ADE 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝AD ，∠ABC＝∠ADE，BC ＝DE ，
∴△ABC≌△ADE(S A S )，
∴∠ACB＝∠AED＝45°，AC ＝AE ， ∴△ACE 是等腰直角三角形， ∴CE＝2AC.
∵CE＝CD ＋DE ＝CD ＋BC ， ∴BC＋CD ＝2AC. (2)BC ＋CD ＝3AC.
证明如下：如图，延长CD 至E ，使DE ＝BC. ∵∠ABD＝∠ADB＝30°，
∴AB＝AD ，∠BAD＝180°－∠ABD－∠ADB＝120°. ∵∠ACB＝∠ACD＝30°，∴∠ACB＋∠ACD＝60°， ∴∠BAD＋∠BCD＝180°，∴∠ABC＋∠ADC＝180°. ∵∠ADC＋∠ADE＝180°，∴∠ABC＝∠ADE. 在△ABC 和△ADE 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝AD ，∠ABC＝∠ADE，BC ＝DE ，
∴△ABC≌△ADE(S A S )，
∴∠ACB ＝∠AED＝30°，AC ＝AE ， ∴∠AEC＝30°.
如图，过点A 作AF⊥CE 于F ， ∴CE＝2CF.
在Rt △ACF 中，∠ACD＝30°，CF ＝AC·cos ∠ACD＝3
2
AC ， ∴CE＝2CF ＝3AC. ∵CE＝CD ＋DE ＝CD ＋BC ， ∴BC＋CD ＝3AC.
2．解：(1)△PQC 90
(2)如图，过P 作PF∥AC，交BA 的延长线于F ，则BA AF ＝BC
CP
.
又∵AB＝BC ，∴AF＝CP.
∵∠FAP＝∠ABC＋∠APB＝α＋∠APB，∠CPQ＝∠APQ＋∠APB＝α＋∠APB， ∴∠FAP＝∠CPQ. 由旋转可得PA ＝PQ ， ∴△AFP≌△PCQ，∴FP＝CQ. ∵PF∥AC，∴△ABC∽△FBP， ∴BP BC ＝FP AC
， ∴
BP CQ ＝BP FP ＝BC AC ＝AB AC ＝m n
. (3)线段CQ 的长为2或8.理由如下： 如图，当P 在CB 的延长线上时，
∠CPQ＝∠APQ－∠APB＝60°－30°＝30°， ∴∠APC＝∠QPC.
又∵AP＝QP ，PC ＝PC ，∴△APC≌△QPC， ∴CQ＝AC.
又∵BA＝BC ，∠ABC＝60°， ∴△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，∠BAP＝∠ABC－∠APB＝30°， ∴BP＝AB ＝BC ＝1
2PC ＝2，
∴QC＝AC ＝BC ＝2.
如图，当P 在BC 的延长线上时，连接AQ.
由旋转可得AP ＝QP ，∠APQ＝∠ABC＝60°， ∴△APQ 是等边三角形， ∴AQ＝PQ ，∠APQ＝60°＝∠AQP. 又∵∠APB＝30°，∠ACB＝60°，
∴∠CAP＝30°，∠CPQ ＝90°，∴∠CAP＝∠CPA， ∴AC＝PC ，∴△ACQ≌△PCQ， ∴∠AQC＝∠PQC＝1
2∠AQP＝30°，
∴Rt △PCQ 中，CQ ＝2CP ＝8. 综上所述，线段CQ 的长为2或8.。