【精品】2020年高考数学一轮复习高分点拨专题10.10 定点问题(文理科通用)(学生版)

第十讲 定点问题
一．直线的斜率和截距都未知时，设直线的方程为y kx m =+，利用题意找出k 和m 的关系式，即只要截距位置和斜率位置的参数是齐次的且为同一个参数都可以求出所过的定点。

二．斜率未知时，证明的过定点的直线的斜率位置必定含有参数，只需要令含有参数部分的x 等于零即可消去参数.
三．若动直线的参数位置在截距上，则此时动直线并不是以定点为对称点转动，因此无法证明直线过定点； 注意：在圆锥曲线中证明动直线过定点，则直线方程必定含有一个或两个参数，若含有一个参数，则参数位置肯定不能只在截距上；若含有两个参数，则根据圆锥曲线中给出的条件必定可以求出两个参数之间的等量关系，因此题目的关键即为求出直线方程。

考向一 找出k 与m 得关系 【例1】已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1），P 4（1）中恰有三点在椭圆C 上.
（1）求C 的方程；
（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.
【举一反三】
1.过2
4y x =上一点(1,2)P ，作两条射线交抛物线于,A B 两点，且0PA PB ⋅=u u u r u u u r ，则证明AB 恒过一定 点。

2.已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得弦MN的长为8．
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）已知点B(－1，0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．
考向二利用直线系中参得系数为0
【例2】对于椭圆，有如下性质：若点是椭圆上的点，则椭圆在该点处的切线方程为．利用此结论解答下列问题．点是椭圆上的点，并且椭圆在点处的切线斜率为． （1）求椭圆的标准方程；
（2）若动点在直线上，经过点的直线，与椭圆相切，切点分别为，．求证：直线必经过一定点．
【举一反三】
1．已知点G 在抛物线C ：x 2=4y 的准线上，过点G 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)
（1）证明：x 1x 2+y 1y 2为定值；
（2）当点G 在y 轴上时，过点A 作直线AM ，AN 交抛物线C 于M ，N 两点，满足AM MN ⊥.问：直线MN 是否恒过定点P ，若存在定点，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
考向三 圆过定点 [例3]已知椭圆C ：22221(0,0)x y a b a b +=>>，离心率12
e =，A 是椭圆的左顶点，F 是椭圆的左焦点，1AF =，直线m ：x=-4.
（1）求椭圆C 方程；
()22
2210x y a b a b
+=>>()00,x y 00221x x y y a b +=31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
2222C :1(0)x y a b a b +=>>Q 12
-
C P 3x y +=P m n C M N MN
（2）直线l 过点F 与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线PA 、QA 分别与直线交于M 、N 两点，试问：以MN 为直径的圆是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由.
【举一反三】
1.若动圆的圆心在抛物线2
12x y =上，且与直线30y +=相切，则此圆恒过定点______________． 2.已知椭圆E 的方程为2
221x y a
+=，点A 为长轴的右端点．B 、C 为椭圆E 上关于原点对称的两点．直线AB 与直线AC 的斜率k AB 、k AC 满足：12AC AB k k ⋅=-
． （1）求椭圆E 的标准方程；
（2）若直线:l y kx t =+与圆2223
x y +=
相切，且与椭圆E 相交于M 、N 两点，求证：以线段MN 为直径的圆恒过原点．
3.已知离心率为2的双曲线的一个焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为3.
（1）求双曲线C 的方程；
（2）设A 1、A 2分别为的左右顶点，P 为C 异于一点A 1、A 2，直线A 1P 与A 2P 分别交y 轴于M 、N 两点，求证：以线段MN 为直径的圆D 经过两个定点.
1.已知椭圆
22
122
1(0)
x y
C a b
a b
+=>>
：，抛物线2
2
:4
C y x
=-的准线被椭圆C1截得的线段．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）如图，点A、F分别是椭圆C1的左顶点、左焦点直线l与椭圆C1交于不同的两点M、N（M、N都在x轴上方）．且AFM OFN
∠=∠．证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
2.已知抛物线C的焦点是椭圆
22
1
98
x y
+=的右焦点，准线方程为x=-1．
Ⅰ求抛物线C的方程；
Ⅱ若点P，Q是抛物线C上异于坐标原点O的任意两点，且满足OP OQ
⊥，求证：直线PQ过定点．
3.已知抛物线2
1:2(0)C y px p =>与椭圆22
2:143x y C +=有一个相同的焦点，过点A(2,0)且与x 轴不垂直的直线l 与抛物线C 1交于P ，Q 两点，P 关于x 轴的对称点为M.
（1）求抛物线C 1的方程；
（2）试问直线MQ 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
4.已知抛物线2
:2(0)C y px p =>，直线y=x-1与C 相交所得的长为8．
求p 的值；
过原点的直线l 与抛物线C 交于M 点，与直线x=-1交于H 点，过点H 作轴的垂线交抛物线C 于N 点，求证：直线MN 过定点．
5．在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，−√3)，(0，√3)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C。

（1）求曲线C的方程；
（2）过点(0,√3)作直线l与曲线C交于点A、B，以线段AB为直径的圆能否过坐标原点，若能，求出直线l的方程，若不能请说明理由.
6.已知椭圆C:x 2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)过点(1,√3
2
)，焦距长2√3.
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）没不垂直于坐标轴的直线l与椭圆C交于不同的两点P、Q，点N(4,0).设O为坐标原点，且∠ONP=∠ONQ.证明：动直线PQ经过定点.
7.已知椭圆C:x 2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F，A，B是其左右顶点，点P是椭圆C上任一
点，且ΔPF1F2的周长为6，若△PF1F2面积的最大值为√3.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点F2且斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两个不同点，证明：直线AM与BN的交点在一条定直线上.
8．已知离心率为2的双曲线C的一个焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为√3.
（1）求双曲线C的方程；
（2）设A1，A2分别为C的左右顶点，P为C异于A1，A2一点，直线A1P与A2P分别交y轴于M,N两点，求证：以线段MN为直径的圆D经过两个定点.
9.已知动圆P过点F2(2,0)并且与圆F1:(x+2)2+y2=4相外切，动圆圆心P的轨迹为C.
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）过点F2(2,0)的直线l1与轨迹C交于A、B两点，设直线l:x=1
2
，点D(−1,0)，直线AD交l于M,求证：直
线BM经过定点(1,0).
10．已知动圆P过点F2(2,0)并且与圆F1:(x+2)2+y2=4相外切，动圆圆心P的轨迹为C。

（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）过点F2(2,0)的直线l1与轨迹C交于A、B两点，设直线l:x=1
，设点D(−1,0)，直线AD交l于M,求证：
2
直线BM经过定点.
11．已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=√5
，虚轴长为2．
2
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若直线l:y=kx+m与双曲线C相交于A,B两点（A,B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．
12．已知点E(m,0)为抛物线y2=2x内一定点，过E作两条直线交抛物线于A,B,C,D，且M,N分别是线段AB,CD的中点．
（1）当AB⊥CD时，求△EMN的面积的最小值；
（2）若m=2且k AB+k CD=2，证明：直线MN过定点，并求定点坐标。

13．已知动圆P过定点F(1
2,0)，且和直线x=−1
2
相切，动圆圆心P形成的轨迹是曲线C，过点Q(4,−2)的直
线与曲线C交于A,B两个不同的点.
（1）求曲线C的方程；
（2）在曲线C上是否存在定点N，使得以AB为直径的圆恒过点N？若存在，求出N点坐标；若不存在，说明
理由.
14．已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点P(1,a)在此抛物线上，|PF|=2，不过原点的直线l与抛物线C交于A，B两点，以AB为直径的圆M过坐标原点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)证明：直线l恒过定点；
(3)若线段AB中点的纵坐标为2，求此时直线l和圆M的方程．
15．已知双曲线T1：x 2
a −y2
b
=1(a>0,b>0)的离心率为√2，若抛物线T2:y2=2px(p>0)的焦点到双曲线
T1的渐近线的距离为√2
4
．已知点E(2,0)为抛物线T2内一定点，过E作两条直线交抛物线T2于A,B,C,D，且M,N 分别是线段AB,CD的中点．
（Ⅰ）求抛物线T2的方程；
（Ⅱ）若k AB+k CD=2，证明：直线MN过定点．
16．已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是.
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点，且OA⊥OB(O是坐标原点），求证：直线AB过定点，并求定点坐标。