北师大版九年级上册数学《相似三角形的性质》图形的相似说课教学课件复习

已知△ABC∽△ABC， 且相似比为k。
求证：△ABC、ABC周 长的比等于k
证明： ∵△ABC∽△ABC
∴
AB AB
BC BC
CA CA
k
∴ AB BC CA k AB BC CA
即△ABC、△ABC的 周长比等于相似比
相似三角形的性质
问题:两个相似三角形的面积 之间有什么关系呢？
例5:已知△ABC∽△ AB，C且相似比为k，
∵AB=15cm， B'C' 24cm
C'
∴ 15 BC 60
A' B' 24 72
∴ A' B' =18cm ，BC=20cm
∴ AC=60－15－20=25cm
A'C'=72－18－24=30cm
例1：已知：△ABC∽△ A' B'C' ，它们的周长分别
为60cm和72cm，且AB=15cm，B'C' =24cm。
BD B´D´
10 2
＝
6 B´D´
A
B´D´＝1.2
B
DC B´
答：B´D´的长为1.2。
A´ D´ C´
课堂训练
1：已知△ABC∽△DEF，BG、E
解：∵ △ABC∽△DEF
∴ BC∶EF＝BG∶E B
6∶4＝4.8∶E
E
答：E
E
A
G
C D
F
相似三角形的性质
问题： 两个相似三角形的周长比 会等于相似比吗？
1、相似三角形对应边成_比__例_,对应角__相__等__. 2、相似三角形对应边上的高、对应边上的中线、
对应角平分线的比都等于_相__似__比___. 3、相似三角形周长的比等于_相__似__比___，
相似三角形面积的比等于_相__似___比__的__平__方__.
相似多边形 也有同样的
结论
平行四边形ABCD与平行四边形 ABCD 相似，
例.如图，DE∥BC， DE = 1, BC = 4，
(1)△ADE与△ABC相似吗？如果相似， 求它们的相似比. 1∶4
(2) △ADE的周长︰△ABC的周长＝__1_∶__4__.
(3)
S ADE
1
___1_6___.
S ABC
A
D
E
(4) SADE S四边形BCED
1 15
B
C
2：如图，△ABC~△A'B'C'，它们的周长分别是 60厘米和72厘米，且AB=15厘米，B'C'=24厘 米。求：BC、AC、A'B'、A'C'。
求：BC、AC、A' B'、A'C' A
A'
解：∵△ABC∽△ A' B'C'
∴ AB BC 60
A' B' B'C' 72
B B'
（相似三角形周长的比等于相似比） C
∵AB=15cm， B'C' 24cm
C'
∴ 15 BC 60
A' B' 24 72
∴ A' B' =18cm ，BC=20cm
面积之比等于___1_:_4___。
4、两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和 18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是
36 cm2，则较小三角形的周长为___1_4____cm, 面积为__4__ cm2。
5、已知：如图△ABC中，DE∥BC，AF⊥DE
垂足为F，AF交BC于G。若AF=5，FG=3，
则 AD _k___. A
AD
A'
B
D
B' C
D' C'
结论：相似三角形对应中线
的比等于相似比.
自主思考---类似结论
问题3 :如图, ABC∽ABC,相似比为k,
其中BE、 BE分别为ABC、 ABC的角平分线,
k 则 BE ______. BE
A
E
A′ E′
B
C B′
Hale Waihona Puke C′结论：相似三角形对应角的 角平分线的比等于相似比.
∴ AC=60－15－20=25cm
A'C'=72－18－24=30cm
A 例2：如图所示，D、E分别是AC、AB上的点，
AE AD 3 已知△ABC的面积为 100cm，2 E
AC AB 5
D
求四边形BCDE的面积。
解：∵ AE AD 3 ，∠A=∠A
B
C
AC AB 5
∴ △ ADE∽△ ABC(两边对应成比例,且夹角相等,两三角形相似)
相似三角形周长的比等于相似比。
A A′
B
C B′
C′
相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似三角形周长的比等于相似比。
已知： △ABC∽△ A' B'C'
A
A′
求证： 证明：
AB BC CA AB A' B'B'C'C' A' A' B'
B ∵ △ABC∽△ A' B'C'
C B′
C′
∴ AB BC CA (相似三角形对应边成比例) A' B' B'C' C' A'
似 三
对应中线的比
都等于相似比.
角 对应角平分线的比
形 周长的比
面积的比等于相似比的平方
课堂训练
1.如果两个三角形相似,相似比为3∶5,则 对应角的角平分线的比等于_____3_∶. 5 2.相似三角形对应边的比为2:5, 那么相似比为____2_:5__, 对应角的角平分线的比为__2_:5___, 周长的比为___2_:5_____, 面积的比为___4_:2_5____.
1
3．两个相似三角形对应中线的比为 4，
1
1
则相似比为___4___,对应高的比为___4___ .
例：已知△ABC∽ △A´B ´C ´，BD和B ´D ´分 别是△ABC和△A´B´C´中线，且AB＝10，A´B´ ＝2，BD＝6。求B´D´的长。
解：∵ △ABC∽△A´B´C´
∴
AAB´B´＝
解：因为△ABC~△A'B'C'
△ABC~△A'B'C
A
A'
所以
AB
BC
60
A'B' B'C' 72
B
又 AB=15厘米 B'C'=24厘米
C B'
所以 A'B'=18厘米 BC=20厘米
C'
故 AC=60–15–20=25（厘米）A'C'=72–18–24=30（厘米）
课堂小结 相似三角形的性质
提高拓展
3、如图，AD是BC的高，点I,
AFG与ABC相似吗？为什么？
(2) 求正方形FG
相似三角形的性质
复习 定理 例题 小结
填空：
两个相似三角形的_对__应__角__相等，_对__应__边__成比例。
__相__似___三__角__形___对__应__高__的___比__、 ___相__似__三__角___形__对__应___中__线__的__比___、 _相___似__三__角___形__对__应__角___平__分__线___的__比___都等于相似比。
∴
SADE SABC
AE2 （相似三角形面积的比等于相似比的平方）
AC2
∴
SADE SABC
32 52
9 25
∵ SABC 100 cm2
∴ SADE 9 ∴ SADE 36cm2 100 25
∴ S四边形BCDE SABC SADE 100 36 64cm2
练习： 1、 已知：△ ABC∽△ A' B'C'，它们的周长分别
②相似三角形的对应边______________
想一想: 它们还有哪些性质呢?
情境引入
一个三角形有三条重要线段： _高_、__中__线_、__角_平__分__线__
如果两个三角形相似， 那么这些对应线段有什么关系呢？
探索新知 相似三角形的性质
问题1: 如图, ABC ∽ABC,相似比为k,
其中AD、 AD分别为BC、 BC边上的高, ABD与ABD相似吗？
相似三角形的性质
相 对应高的比
似
三 对应中线的比
都等于相似比.
角 对应角平分线的比
形
填一填
1.相似三角形对应边的比为2∶3,那么 相似比为_2_∶___3____,对应角的角平分线
的比为_2__∶__3_.
2．两个相似三角形的相似比为1:4,
则对应高的比为____1_:_4___,对应角的
角平分线的比为___1_:_4____.
解 :因为ABC∽ ABC, ( 已知 )
所以∠B=∠B′（ 相似三角形的对应角相）等 又ADB ADB 90.
所以ABD ∽ABD.
图 18.3.9
（ 两角对应相等,两三角形相似
）
图 18.3.9
探索新知 相似三角形的性质
问题1: 如图, ABC∽ ABC,相似比为k,
其中AD、 AD分别为BC、 BC边上的高,
第四章 图形的相似
4.7 相似三角形的性质
课前复习:
（1）什么叫相似三角形？
对应角相等、对应边成比例的 三角形,叫做相似三角形. （2）如何判定两个三角形相似？
①两个角对应相等； ②两边对应成比例，且夹角相等； ③三边对应成比例.
课前复习:
（3）相似三角形有何性质？ A/
A
B
C
B/
C/
①相似三角形的对应角_____________
则AF AG
5 8
，DE BC
5 8
，SADE SABC
25 64
。
A
AM
D
D
FE
B
C
G
B F NE
C
6、如图在 ABCD中，E是BC的中点，是BE的中点，
AE与DF交于点
交BC于N，则N
1:4
思考题：
在△ABC中，BC=m，DE∥BC，
交AB于E，交AC于D，SADE S梯形BCDE
求DE的长度。
∴ AB BC CA AB (等比性质) A' B'B'C'C' A' A' B'
相似三角形面积的比等于相似比的平方。
已知： △ABC∽△ A' B'C'
A
A′
求证：
SABC SA’B’C’
AB2 A' B'2
证明： 分别过A、A′，
B
D C B′
作AD⊥BC于D，作A' D' B'C'于D'
D′ C′
∴
SABC
1 AD BC 2
AD BC
SA’B’C’ 1 A' D'B'C' A' D' B'C'
2
∵ △ ABC∽ △A' B'C'
∴ BC AB B'C' A' B'
AD AB (相似三角形对应边成比例) A' D' A' B'
∴
SABC SA'B 'C '
AB A' B'
AB A' B'
为144cm和120cm ，且BC=48cm，
A' B' 30cm。
求：AB、AC、B 'C'、A'C'的长
2、 已知：如图，R △ABC，CD为斜边AB上的高，
AC 2 3, BC 6. C 求： SACD : SABC
A
D
B
3、三角形的一条中位线把三角形截成的一个小
三角形与原三角形的周长之比等于___1_:2____，
AB2 A' B'2
例1：已知：△ABC∽△ A' B'C' ，它们的周长分别
为60cm和72cm，且AB=15cm，B'C' =24cm。
求：BC、AC、A' B'、A'C' A
A'
解：∵△ABC∽△ A' B'C'
∴ AB BC 60
A' B' B'C' 72
B B'
（相似三角形周长的比等于相似比） C
已知AB＝5，对应边 AB＝6，平行四边形 ABCD的面积为10，求平行四边形 ABCD 的面积.
拓展训练
1、已知两个等边三角形的边长之比为 2 ：3，且它们的面积之和为26cm2，则 较小的等边三角形的面积为多少？
拓展训练
2、如图，FG//BC，AE⊥FG， AD⊥BC，E、D是垂足，FG=6， BC=15，则(1)AE：AD是多少？ (2)若AD=6，求DE=？
AD、 分A别D是△ABC、△ 对AB应C边 BC、
上的高B，C求 证： 证明：∵△ABC∽△ABC
S ABC k 2
S ABC
A
∴ AD k, BC k
AD BC
B
D
C
∴ SABC
1 AD• BC 2
k2
A'
SABC 1 AD • BC
2
B' D' C'
相似三角形的性质
相 对应高的比
由ABD ∽ABD能否得到 AD 等于什么？
AD
因为ABD∽ ABD,
所以 AD AB (相似三角形的对应边成比例)
AD AB
k
结论：相似三角形对应 高的比等于相似比. 图 18.3.9
图 18.3
自主思考---类似结论
问题2 : 如图, ABC∽ ABC,相似比为k,
其中AD、 AD分别为BC、 BC边上的中线,
A
E
D
B
C
小结：
这节课我们学习了相似三角形的 另一重要性质：相似三角形周长的比 等于相似比，相似三角形面积的比等 于相似比的平方。
作业：
教材习题