石峰区高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

石峰区高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设数集M={x|m ≤x ≤m+}，N={x|n ﹣≤x ≤n}，P={x|0≤x ≤1}，且M ，N 都是集合P 的子集，如果把b ﹣a 叫做集合{x|a ≤x ≤b}的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，3}，B={0，1，4}，则（∁U A ）∪B 为（ ） A ．{0，1，2，4} B ．{0，1，3，4} C ．{2，4} D ．{4}
3． 等差数列{a n }中，已知前15项的和S 15=45，则a 8等于（ ）
A ．
B ．6
C ．
D ．3
4． 设函数f （x ）=的最小值为﹣1，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．a ≥﹣2
B ．a ＞﹣2
C ．a ≥﹣
D ．a ＞﹣
5． 已知定义在实数集R 上的函数f （x ）满足f （1）=3，且f （x ）的导数f ′（x ）在R 上恒有f ′（x ）＜2（x ∈R ），则不等式f （x ）＜2x+1的解集为（ ）
A ．（1，+∞）
B ．（﹣∞，﹣1）
C ．（﹣1，1）
D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
6． 若多项式 x 2+x 10=a 0+a 1（x+1）+…+a 8（x+1）8+a 9（x+1）9+a 10（x+1）10，则 a 8=（ ） A ．45 B ．9
C ．﹣45
D ．﹣9
7． 记集合T={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，M=，
将M 中的元素按从大到小排列，则第2013个数是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足111
22
n n n a a +=
+，则此数列的第4项是（ ）
A ．1
B ．
12 C. 34 D ．58
9． 已知a ＞0，实数x ，y 满足：，若z=2x+y 的最小值为1，则a=（ ）
A ．2
B ．1
C ．
D ．
10．若函数()y f x =的定义域是[]
1,2016，则函数()()1g x f x =+的定义域是（ ）
A ．(]
0,2016 B ．[]0,2015 C ．(]1,2016 D ．[]1,2017 11．抛物线y=﹣x 2上的点到直线4x+3y ﹣8=0距离的最小值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．3
12．已知x ，y 满足约束条件，使z=ax+y 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（ ）
A ．﹣3
B ．3
C ．﹣1
D ．1
二、填空题
13．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜色各不相同．三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表：
那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是 _______元．
14．椭圆
+
=1上的点到直线l ：x ﹣2y ﹣12=0的最大距离为 ．
15．（文科）与直线10x -=垂直的直线的倾斜角为___________．
16．已知函数()f x 2
3(2)5x =-+，且12|2||2|x x ->-，则1()f x ，2()f x 的大小关系
是 ．
17．某公司租赁甲、乙两种设备生产A B ，两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费用为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为__________元. 18．
17．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．
三、解答题
19．已知函数f（x）=（a＞0）的导函数y=f′（x）的两个零点为0和3．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）的极大值为，求函数f（x）在区间[0，5]上的最小值．
20．如图所示，在边长为的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．
21．已知函数，（其中常数m＞0）
（1）当m=2时，求f（x）的极大值；
（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；
（3）当m ∈[3，+∞）时，曲线y=f （x ）上总存在相异两点P （x 1，f （x 1））、Q （x 2，f （x 2）），使得曲线y=f （x ）在点P 、Q 处的切线互相平行，求x 1+x 2的取值范围．
22．已知p ：2x 2﹣3x+1≤0，q ：x 2﹣（2a+1）x+a （a+1）≤0
（1）若a=，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围． （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
23．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为菱形，Q P E 、、分别是棱AB SC AD 、、的中点，且⊥SE 平面ABCD .
（1）求证：//PQ 平面SAD ； （2）求证：平面⊥SAC 平面SEQ .
24．已知=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），设函数f（x）=﹣．（1）写出函数f（x）的周期，并求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在区间[π，]上的最大值和最小值．
石峰区高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：∵集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}，
P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集，
∴根据题意，M的长度为，N的长度为，
当集合M∩N的长度的最小值时，
M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，
故M∩N的长度的最小值是=．
故选：C．
2．【答案】A
【解析】解：∵U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，3}，
∴C U A={2，4}，
∵B={0，1，4}，
∴（C U A）∪B={0，1，2，4}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的交、交、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3．【答案】D
【解析】解：由等差数列的性质可得：S15==15a8=45，则a8=3．
故选：D．
4．【答案】C
【解析】解：当x≥时，f（x）=4x﹣3≥2﹣3=﹣1，
当x=时，取得最小值﹣1；
当x＜时，f（x）=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+a﹣1，
即有f（x）在（﹣∞，）递减，
则f（x）＞f（）=a﹣，
由题意可得a﹣≥﹣1，
解得a≥﹣．
故选：C．
【点评】本题考查分段函数的运用：求最值，主要考查指数函数的单调性和二次函数的值域的求法，属于中档题．
5．【答案】A
【解析】解：令F（x）=f（x）﹣2x﹣1，
则F′（x）=f′（x）﹣2，
又∵f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜2，
∴F′（x）=f′（x）﹣2＜0恒成立，
∴F（x）=f（x）﹣2x﹣1是R上的减函数，
又∵F（1）=f（1）﹣2﹣1=0，
∴当x＞1时，F（x）＜F（1）=0，即f（x）﹣2x﹣1＜0，
即不等式f（x）＜2x+1的解集为（1，+∞）；
故选A．
【点评】本题考查了导数的综合应用及利用函数求解不等式的方法应用，属于中档题．
6．【答案】A
【解析】解：a8 是x10=[﹣1+（x+1）]10的展开式中第九项（x+1）8的系数，
∴a8==45，
故选：A．
【点评】本题主要考查二项展开式的通项公式，二项展开式系数的性质以及多项恒等式系数相等的性质，属于基础题．
7．【答案】
A
【解析】
进行简单的合情推理．
【专题】规律型；探究型．
【分析】将M中的元素按从大到小排列，求第2013个数所对应的a i，首先要搞清楚，M集合中元素的特征，同样要分析求第2011个数所对应的十进制数，并根据十进制转换为八进行的方法，将它转换为八进制数，即得答案．
【解答】因为=（a1×103+a2×102+a3×10+a4），
括号内表示的10进制数，其最大值为9999；
从大到小排列，第2013个数为
9999﹣2013+1=7987
所以a1=7，a2=9，a3=8，a4=7
则第2013个数是
故选A．
【点评】对十进制的排序，关键是要找到对应的数是几，如果从大到小排序，要找到最大数（即第一个数），再找出第n个数对应的十进制的数即可．
8．【答案】B
【解析】
9．【答案】C
【解析】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）
由z=2x+y，得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y=1，
由，解得，
即C（1，﹣1），
∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，
∴﹣1=﹣2a，
解得a=．
故选：C．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
10．【答案】B
【解析】
11．【答案】A
【解析】解：由，得3x2﹣4x+8=0．
△=（﹣4）2﹣4×3×8=﹣80＜0．
所以直线4x+3y﹣8=0与抛物线y=﹣x2无交点．
设与直线4x+3y﹣8=0平行的直线为4x+3y+m=0
联立，得3x2﹣4x﹣m=0．
由△=（﹣4）2﹣4×3（﹣m）=16+12m=0，
得m=﹣．
所以与直线4x+3y﹣8=0平行且与抛物线y=﹣x2相切的直线方程为4x+3y﹣=0．
所以抛物线y=﹣x2上的一点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是=．故选：A．
【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了两条平行线间的距离公式，是中档题．
12．【答案】D
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=ax+y，得y=﹣ax+z，
若a=0，此时y=z，此时函数y=z只在B处取得最小值，不满足条件．
若a＞0，则目标函数的斜率k=﹣a＜0．
平移直线y=﹣ax+z，
由图象可知当直线y=﹣ax+z和直线x+y=1平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个，
此时﹣a=﹣1，即a=1．
若a＜0，则目标函数的斜率k=﹣a＞0．
平移直线y=﹣ax+z，
由图象可知当直线y=﹣ax+z，此时目标函数只在C处取得最小值，不满足条件．
综上a=1．
故选：D．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用z的几何意义是解决本题的关键．注意要对a进行分类讨论．
二、填空题
13．【答案】1464
【解析】【知识点】函数模型及其应用
【试题解析】显然，面积大的房间用费用低的涂料，所以房间A用涂料1，房间B用涂料3，
房间C用涂料2，即最低的涂料总费用是元。

故答案为：1464
14．【答案】
4 ．
【解析】解：由题意，设P （4cos θ，
2sin θ）
则P 到直线的距离为
d=
=
，
当sin （θ
﹣）=1时，d 取得最大值为
4，
故答案为：
4．
15．【答案】3
π 【解析】
3
π. 考点：直线方程与倾斜角．
16．【答案】12()()f x f x >] 【
解
析
】
考
点：不等式，比较大小．
【思路点晴】本题主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用. 分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置．对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点，函数图象的最高点与最低点等． 17．【答案】2300 【解析】111]
试题分析：根据题意设租赁甲设备，乙设备，则⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥+≥+≥≥140
20y 10x 506y 5x 0y 0
x ，求目标函数300y 200x Z +=的
最小值.作出可行域如图所示，从图中可以看出，直线在可行域上移动时，当直线的截距最小时，取最小值2300.
1111]
考点：简单线性规划.
【方法点晴】本题是一道关于求实际问题中的最值的题目，可以采用线性规划的知识进行求解；细查题意，设甲种设备需要生产天，乙种设备需要生产y 天，该公司所需租赁费为Z 元，则y x Z 300200+=，接下来列出满足条件的约束条件，结合目标函数，然后利用线性规划的应用，求出最优解，即可得出租赁费的最小值. 18．【答案】
【解析】解：∵f （x ）=a x
g （x ）（a ＞0且a ≠1），
∴
=a x ， 又∵f ′（x ）g （x ）＞f （x ）g ′（x ），
∴（）′=＞0，
∴=a x 是增函数，
∴a ＞1，
∵
+=．
∴a 1+a ﹣1
=，解得a=或a=2．
综上得a=2．
∴数列{
}为{2n }．
∵数列{}的前n项和大于62，
∴2+22+23+…+2n==2n+1﹣2＞62，
即2n+1＞64=26，
∴n+1＞6，解得n＞5．
∴n的最小值为6．
故答案为：6．
【点评】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，巧妙地把指数函数、导数、数列融合在一起，是一道好题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：f′（x）=
令g（x）=﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c
函数y=f′（x）的零点即g（x）=﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c的零点
即：﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c=0的两根为0，3
则解得：b=c=﹣a，
令f′（x）＞0得0＜x＜3
所以函数的f（x）的单调递增区间为（0，3），
（2）由（1）得：
函数在区间（0，3）单调递增，在（3，+∞）单调递减，
∴，
∴a=2，
∴；，
∴函数f（x）在区间[0，4]上的最小值为﹣2．
20．【答案】
【解析】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，
由已知条件，
解得，，，
∴S=πrl+πr2=10π，
∴
21．【答案】
【解析】解：（1）当m=2时，
（x＞0）
令f′（x）＜0，可得或x＞2；
令f′（x）＞0，可得，
∴f（x）在和（2，+∞）上单调递减，在单调递增
故
（2）（x＞0，m＞0）
①当0＜m＜1时，则，故x∈（0，m），f′（x）＜0；
x∈（m，1）时，f′（x）＞0
此时f（x）在（0，m）上单调递减，在（m，1）单调递增；
②当m=1时，则，故x∈（0，1），有恒成立，
此时f（x）在（0，1）上单调递减；
③当m＞1时，则，
故时，f′（x）＜0；时，f′（x）＞0
此时f（x）在上单调递减，在单调递增
（3）由题意，可得f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2）
即⇒
∵x1≠x2，由不等式性质可得恒成立，
又x1，x2，m＞0
∴⇒对m∈[3，+∞）恒成立
令，则
对m∈[3，+∞）恒成立
∴g（m）在[3，+∞）上单调递增，
∴
故
从而“对m∈[3，+∞）恒成立”等价于“”
∴x1+x2的取值范围为
【点评】运用导数，我们可解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题的关键22．【答案】
【解析】解：p：，q：a≤x≤a+1；
∴（1）若a=，则q：；
∵p∧q为真，∴p，q都为真；
∴，∴；
∴实数x的取值范围为；
（2）若p是q的充分不必要条件，即由p能得到q，而由q得不到p；
∴，∴；
∴实数a 的取值范围为
．
【点评】考查解一元二次不等式，p ∧q 真假和p ，q 真假的关系，以及充分不必要条件的概念．
23．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】
试题分析：（1）根据线面平行的判定定理，可先证明PQ 与平面内的直线平行，则线面平行，所以取SD 中点F ，连结PF AF ,，可证明AF PQ //，那就满足了线面平行的判定定理了；（2）要证明面面垂直，可先证明线面垂直，根据所给的条件证明⊥AC 平面SEQ ，即平面⊥SAC 平面SEQ . 试题解析：证明：（1）取SD 中点F ，连结PF AF ,. ∵F P 、分别是棱SD SC 、的中点，∴CD FP //，且CD FP 2
1
=. ∵在菱形ABCD 中，Q 是AB 的中点，
∴CD AQ //，且CD AQ 2
1
=
，即AQ FP //且AQ FP =. ∴AQPF 为平行四边形，则AF PQ //.
∵⊄PQ 平面SAD ，⊂AF 平面SAD ，∴//PQ 平面SAD .
考点：1.线线，线面平行关系；2.线线，线面，面面垂直关系.
【易错点睛】本题考查了立体几何中的线与面的关系，属于基础题型，重点说说垂直关系，当证明线线垂直时，一般要转化为线面垂直，证明线与面垂直时，即证明线与平面内的两条相交直线垂直，证明面面垂直时，转化为证明线面垂直，所以线与线的证明是基础，这里经常会搞错两个问题，一是，线与平面内的两条相交直线垂直，线与平面垂直，很多同学会记成一条，二是，面面垂直时，平面内的线与交线垂直，才与平面垂直，很多同学会理解为两个平面垂直，平面内的线都与另一个平面垂直，需熟练掌握判定定理以及性质定理. 24．【答案】
【解析】解：（1）∵=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），
∴f（x）=﹣=sin2x+sinxcosx﹣=（1﹣cos2x）+sin2x﹣=﹣cos2x+sin2x﹣=sin
（2x﹣），
∴函数的周期为T==π，
由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+（k∈Z）解得kπ﹣≤x≤kπ+，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）；
（2）由（1）知f（x）=sin（2x﹣），
当x∈[π，]时，2x﹣∈[，]，
∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，
故f（x）在区间[π，]上的最大值和最小值分别为1和﹣．
【点评】本题考查向量的数量积的运算，三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，此类题目的解答，关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度，属于中档题．。