【高一】《用函数模型解决实际问题》教学设计

【高一】《用函数模型解决实际问题》教学设计
学生虽然对这种函数建模问题并不陌生，但是要建立起正确的函数模型却不是一件容易的事。

这种题型题目较长，相关的内容较多，问题不是一眼就可以看出答案，需要建立的函数模型也多种多样，不少还会涉及到求二次函数的最值问题，学生往往是无从下手，对自己失去信心。

针对这种情况，我觉得直接让学生一步到位就找出解决问题的途径是很困难，老师在这里就应该发挥自己的主导地位，带领学生由问题入手，逐步分析，自己设计出一个一个的小问题，最后把这些小问题串起来，把题目中的大问题解决。

为了解决实际问题，需要建立多种功能模型。

只有根据问题的需求建立合适的功能模型，才能成功地解决问题。

在教学过程中，教师应注意分类的思想，帮助学生将函数建模问题分为若干类，以便于学生形成自己的知识体系。

一．一次函数模型的应用
为了帮助失学的孩子，一位同学每个月都会把自己的零用钱存入储蓄箱，准备在收集到足够的200元钱后一起寄出去。

两个月后，储蓄箱中原来的60元变成了90元。

（1）盒内的钱数（元）与存钱月份数的函数解析式，并画出图象。

（2）这个学生能在几个月内第一次汇款吗？
这种题型只要建立起一次函数就可以很快地解决问题，而且学生以前也有接触过，对他们而言这种问题难度不大，主要是让他们对函数建模有个感觉。

二、二次函数模型的应用
建立二次函数模型解决实际问题是整本书中出现得最多的一种方法，这种多用于根据二次函数的性质求出最值，求利润问题也多属于这种类型。

一家商店买了一批衣服，每件卖90元，每天卖30件。

在一定范围内，这批衣服的售价每下降1元，每天就多卖一件。

请写下利润（元）和售价（元）之间的函数关系。

当售价为元时，每天的最大利润是多少？
学生首次接触这种类型的题，往往是束手无策，这时教师可引导他们从他们最熟悉的问题做起：利润=单件售价×售出件数，设售价为x，则下面只需要找出售出件数即可，而售出件数又与价钱降低的幅度有关，所以设计下列相关问题让学生去找答案：
价格低于原价：90-x
售出件数比原来多了：（90－x）×1＝90－x
那么现在售出的数量是：30+（90-x）=120-x
因此，利润y=x（120－x）
只要学生们根据这些小问题逐一提问，这个问题就很容易解决。

三．分段函数模型的应用
在我国，税费、邮费和出租车费是按段收费的。

学生可以根据这些实例编写相应的函数，使学生更感兴趣，感受数学在现实生活中的广泛应用。

四．指数函数模型的应用
该函数的应用主要用于人口增长问题和银行用复利计算利息的问题。

按复利计算利息的一种储蓄，设本金为a元，每期利率为r，本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式。

如果存入本金1000元，每期利率2.25%，计算5期后的本利和是多少？（不计利息税）
这类问题涉及到指数函数模型的建立，这对学生来说比较难理解。

它可以帮助学生从第一阶段和第二阶段开始
1期后的本利和为a＋a×r＝a（1＋r）
第二期之后的本金和利息之和为a（1+R）+a（1+R）R=a（1+R）2
3期后的本利和为a（1＋r）2＋a（1＋r）2×r＝a（1＋r）3
……。