考研数学(数学三)模拟试卷281(题后含答案及解析)

考研数学（数学三）模拟试卷281(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x)在x=0的某邻域内连续则f(x)在x=0处
A．不可导．
B．取极小值．
C．取极大值．
D．不取极值，但f’(0)=0．
正确答案：B
解析：当x→0时,,故从而由于f(x)在x=0的某邻域内连续，故有f(0)=0，且所以A不正确．由可知在x=0的某邻域内有，即f(x)>0=f(0)，所以f(0)=0为极小值，x=0为极小值点，故选
B．
2．函数在区间[一4，4]上的最大值是
A．2
B．3
C．4
D．5
正确答案：C
解析：由题设知函数在区间[一4，4]上连续，在[一4，0)与(0，4]内可导，且从而函数在区间[一4，一1]上单调增加，在区间[一1，1]上单调减少，然后又在区间[1，4]上单调增加，故f(x)在区间[一4，4]上的左端点处不可能取得它在区间[一4，4]上的最大值，且f(1)是函数f(x)在区间(一4，4)内的极小值，故函数在区间[一4，4]上的最大值就是f(一1)与f(4)中的较大者．因为f(一1)=4，而，由此即得f(x)在区间[一4，4]上的最大值是f(x一1)=4，故应选
C．
3．曲线
A．没有渐近线．
B．只有一条渐近线．
C．共有两条渐近线．
D．共有三条渐近线．
正确答案：C
解析：由于函数．的定义域是(一∞，+∞)，故题设的曲线没有垂直渐近线．现将曲线y的表达式改写成其中故且．当x>0时y=1+g(x)，其中当x因此题设的曲线当x→一∞时有方程为y=1—2x的斜渐近线，当x→+∞时有方程为y=1的水
平渐近线．即应选
C．
4．设f(x)在[0，1]有连续导数，且f(0)=0，令则必有
A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：【分析一】考察f(x)与f’(x)的关系．设x∈[0，1]，则由牛顿一莱布尼兹公式及f(0)=0，有由积分基本性质，并考虑到有于是【分析二】同样考察f(x)与f’(x)的关系．由拉格朗日中值定理知当x∈[0，1]时f(x)=f(x)一f(0)=f’(ξ)x，ξ∈(0，x)．故选A．
5．已知η1，η2,η3，η4是齐次方程组Ax=0的基础解系，则下列向量组中也是Ax=0基础解系的是
A．η1+η2，η2一η3，η3一η4，η4一η1．
B．η1+η2，η2一η3，η3一η4，η4+η1．
C．η1+η2，η2+η3，η3一η4，η4一η1．
D．η1，η2，η3，η4的等价向量组．
正确答案：A
解析：等价向量组不能保证向量个数相同，因而不能保证线性无关．例如向量组η1，η2,η3，η4η1+η2与向量组η1，η2,η3，η4等价，但前者线性相关，因而不能是基础解系．故D不正确．B、C均线性相关，因此不能是基础解系．故B与C也不正确．注意到：(η1+η2)一(η2一η3)一(η3一η4)一(η4+η1)=0，(η1+η2)一(η2+η3)+(η3一η4)+(η4一η1)=0，唯有A，η1+η2，η2一η3，η3一η4，η4一η1是Ax=0的解，又由(η1+η2，η2一η3，η3一η4，η4一η1)=(η1，η2,η3，η4)且知η1+η2，η2一η3，η3一η4，η4一η1线性无关，且向量个数与η1，η2,η3，η4相同．所以A也是Ax=0的基础解系．故选A．
6．已知P-1AP=B，若Aα=λα，α≠0，则
A．B的特征值为λ，对应的特征向量是Pα．
B．B的特征值为，对应的特征向量是Pα．
C．B的特征值为λ，对应的特征向量是P-1α．
D．B的特征值为，对应的特征向量是P-1α．
正确答案：C
解析：因为矩阵A与B相似，所以它们有相同的特征值，故可排除B、
D．由P-1AP=B→P-1A=BP-1→P-1Aα=BP-1α，于是有B(P-1α)=P-1(Aα)=λ(P-1α)．故应选
C．
7．设总体X服从参数λ=2的指数分布，X1，X2，…，Xn是来自总体X 的简单随机样本，和S2分别为样本均值和样本方差，已知，则α的值为A．一1．
B．1
C．
D．2
正确答案：A
解析：依题意有又由题设即解得α=一1．故选A．
8．设和是取自同一正态总体N(μ，σ2)的两个相互独立且容量相同的简单随机样本的两个样本均值，则满足P{｜｜>σ}≤0．05的最小样本容量n= A．4
B．8
C．12
D．24
正确答案：B
解析：因总体服从正态分布N(μ，σ2)，则且于是故最小样本容量n=8．选B．
填空题
9．曲线y=xe-x(0≤x
解析：
10．设函数f(x)存(0，+∞)上连续，对任意的正数a与b积分的值与a无关．若已知f(1)=1，则f(x)=________．
正确答案：
解析：由的值与a无关，所以即等式f(ab)b一f(a)=0对任意正数a成立，特别对a=1亦应成立，即对任何正数b有从而验算可知，确实与a无关．
11．与曲线(y一2)2=x相切，且与曲线在点(1，3)处的切线垂直，则此直线方程为_________．
正确答案：
解析：对曲线方程求导，2(y一2)y’=1，故当y=3时，即曲线在点(1，3)处的法线斜率为一2，由，得代入曲线方程，有．所以切点坐标为．故直线方程为即
12．微分方程2x2y’=(x+y)2满足定解条件y(1)=1的特解是__________．
正确答案：
解析：题设方程可改写为这是齐次微分方程，令y=xu，则y’=xu’+u，代入即得分离变量得从而原方程的通解为．它包含定义域分别为x>0与x将y(1)=1代入前者有2arctan1=C，即得故所求的特解为
13．已知义矩阵A和B相似，A*是A的伴随矩阵，则｜A*+3E｜=___________.
正确答案：27
解析：由可知矩阵B的特征值为2，3，一2．又由矩阵A～B知矩阵A的特征值亦为2，3，一2．故｜A｜=2.3.(一2)=一12．那么，A*的特征值为6，一6，一4，从而A*+3E的特征值为9，一3，一1．于是｜A*+3E｜=9.(一3).(一1)=27．
14．一学徒工用同一台机床连续独立生产3个同种机器零件，且第i个零件是不合格品的概率p=．则三个零件中合格品零件的期望值为____________．
正确答案：
解析：以Ai表示第i个零件合格，i=1，2，3，Ai相互独立，于是有，以X 表示3个零件中合格品的个数，则
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．过点(1，0)作曲线的切线，求该切线与曲线及戈轴围成的平面图形分别绕z轴和y轴旋转所得旋转体的体积Vx和Vy．
正确答案：设切点坐标为，则切线斜率为．切线方程为又因切线过点(1，0)，所以有从而可知切点的横坐标x0=3．切线方程为
证明下列命题：
16．设f’(x0)=0，f’’(x0)>0，则存在δ>0使得y=f(x)在(x0—δ，x0]单调减少，在[x，x0δ)单调增加；
正确答案：由二阶导数定义及极限的不等式性质δ>0，当x∈(x0—δ，x0+δ)且x≠x0时故f(x)在
17．设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)二阶可导且f(0)=f(1)=0，f’’(x)0(x∈(0，1))．
正确答案：由假设条件及罗尔定理知，存在a∈(0，1)，f’(a)=0．由f’’(x)故有
18．设二元可微函数F(x，y)在直角坐标系中可写成F(x，y)=f(x)+g(y)，其中f(x)，g(y)均为可微函数．而在极坐标系中可写成，求二元函数F(x，y)．
正确答案：由题设可知，在极坐标系中F(x，y)与θ无关，于是再由F(x，y)=f(x)+g(y)得代入①式得由f’(x)=λx，g’(y)=λy分别得因此F(x，y)=f(x)+g(y)=C(x2+y2)+C0，其中C与C0为常数．
19．设函数f(x)在区间[0，4]上连续，且，求证：存在ξ∈(0，4)使得f(ξ)十f(4一ξ)=0．
正确答案：【证法一】用反证法来证明本题．由题设f(x)在[0，4]上连续即知f(4一x)在[0，4]上连续，从而其和f(x)+f(4一x)也在[0，4]上连续．若不存在ξ∈(0，4)使f(ξ)+f(4一ξ)=0，则f(x)+f(4一x)或在(0，4)内恒正，或在(0，4)内恒负，于是必有但是用换元x=4一t可得．于是．由此得出的矛盾表明必存在ξ∈(0，4)使得f(ξ)+f(4一ξ)=0．【证法二】作换元t=4一x，则x：0—4对应t=4一0，且dx=一dt，从而由此即得利用f(x)+f(4一x)在[0，4]连续，由连续函数的积分中值定理即知存在ξ∈(0，4)使得
20．求级数的收敛域．
正确答案：令问题转化为求幂级数的收敛域．先求收敛区间，再考察收敛区间的端点．求解如下：令．我们号察幂级数由知的收敛区间是由于时发散(因为发散．收敛)，而时收敛，因此的收敛域是又,对应，因此，原级数的收敛域是
已知向量β=(α1,α2,α3,α4)T可以由α1=(1，0，0，1)T，α2=(1，1，0，0)T，α3=(0，2，一1，一3)T，α4=(0，0，3，3)T线性表出．
21．求α1,α2,α3,α4应满足的条件；
正确答案：β可由α1,α2,α3,α4线性表出，即方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β有解．对增广矩阵作初等行变换，有所以向量β以由α1,α2,α3,α4线性表出的充分必要条件是：α1一α2+α3一α4=0．
22．求向量组α1,α2,α3,α4的一个极大线性无关组，并把其他向量用该极大线性无关组线性表出；
正确答案：向量组α1,α2,α3,α4的极大线性无关组是：α1,α2,α3，而α4=一6α1+6α2—3α3．②
23．把向量β分别用α1,α2,α3,α4和它的极大线性无关组线性表出．
正确答案：方程组①的通解是：x1=a1—a2+2a3—6t，x2=a2—2a3+6t，x3=a3—3t，x4=t，其中t为任意常数，所以β=(a1—a2+2a3—6t)α1+(a2—2a3+6t)α2+(a3
—3t)α3+tα4，其中t为任意常数．由②把α4代入，得β=(a1—a2+2a3)α1+(a2—2a3)α2+a3α3．
24．已知矩阵和试判断矩阵A和B是否相似，若相似则求出可逆矩阵P，使P-1AP=B，若不相似则说明理由．
正确答案：由矩阵A的特征多项式得到矩阵A的特征值是λ1=3，λ2=λ3=一1．由矩阵B的特征多项式得到矩阵B的特征值也是λ1=3，λ2=λ3=一1．当λ=一1时，由秩知(一E—A)x=0有2个线性无关的解，即λ=一1时矩阵A有2个线性尢关的特征向量，矩阵A可以相似对角化．而(一E—B)x=0只有1个线性尢关的解，即λ=一1时矩阵B只有1个线性无关的特征向量，矩阵B不能相似对角化．因此矩阵A和B不相似．
设离散型二维随机变量(X，Y)的取值为(xi，yi)(i，j=1，2)，且试求：
25．二维随机变量(X，Y)的联合概率分布；
正确答案：因X与Y独立，所以有或于是(X，Y)的联合概率分布为
26．条件概率P{Y=yj｜X=x1}，j=1，2．
正确答案：因X与Y独立，所以P{Y=y1｜X=x1}=P{Y=yi}，j=1，2，于是有
解析：依题意，随机变量X与Y的可能取值分别为x1，x2与y1，y2，且又题设于是有P{X=x1{Y=y1}=P{X=x1}，即事件{X=x1}与事件{Y=y1}相互独立，因而{X=x1}的对立事件{x=x2}与{y=y1}独立，且{X=x1}与Y=y1}的对立事件{Y=y2}独立；{X=x2}与{Y=y2}独立，即X与Y相互独立．
27．设在某一时间段内进入某大型超市的顾客人数X服从参数为λ的泊松分布，且每一顾客购买A类商品的概率为p．假定各顾客是否购买A类商品是相互独立的，求进入该超市的顾客购买A类商品的人数Y的概率分布及Y的期望EY．
正确答案：由题设知,购买A类商品的人数Y在进入超市的人数X=m的条件下服从二项分布B(m，p)，即P{Y=k｜X=m}=Cmkpkqm-k，k=0，1，2，…，m；q=1一p．由全概率公式有又因为当m由此可知Y服从参数为λp的泊松分布，故EY=λp．。