2020年湖南省岳阳市市岳化第一中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2020年湖南省岳阳市市岳化第一中学高三数学理下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. .圆上的点到直线的距离最大值是( )
(A)2 (B)1+
(C) (D)1+
参考答案：
B
略
2. 若数列的前n项的和，那么这个数列的通项公式为（）
A. B.
C. D.
参考答案：
D
略
3. 已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若=x+y，则xy的取值范围是（）
A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]
参考答案：
D
【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用；9H：平面向量的基本定理及其意义．
【分析】利用已知条件推出x+y=1，然后利用x，y的范围，利用基本不等式求解xy的最值．
【解答】解：D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若=x+y，
可得x+y=1，x，y∈[，]，则xy≤=，当且仅当x=y=时取等号，
并且xy=x（1﹣x）=x﹣x2，函数的开口向下，对称轴为：x=，当x=或x=时，取最小值，
xy的最小值为：．
则xy的取值范围是：[，]．
故选：D．
4. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）
A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53
参考答案：
A
【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．
【分析】直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差，即可．
【解答】解：由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为第15和16个数的平均值：
=46．
众数是45，极差为：68﹣12=56．
故选：A．
【点评】本题考查该样本的中位数、众数、极差，茎叶图的应用，考查计算能力．
5. 若函数在上可导，且满足，则
A． B．
C． D．
参考答案：
B
试题分析：由于，恒成立，因此在上时单调递减函数，
，即，故答案为B
考点：函数的导数与单调性的关系
6. 已知点A（3,1）和B（-4,6）在直线的两侧，则的取值范围是
A．＜－7或＞24 B．＜－24或＞
7
C．－7＜＜24 D．－24＜＜7
参考答案：
C
7. 如果实数满足条件，那么目标函数的最大值为
A．B． C． D．
参考答案：
B
做出满足条件的可行域如图，平移直线，由图可知，当直线经过点D（0，-1）时，直线的的截距最小，此时最大，所以最大值为1，选B.
8. 圆，圆，M、N分别是圆，上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值为：（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
9. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．πcm3 B．3πcm3 C．πcm3 D．πcm3
参考答案：
D
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知，此几何体为底面半径为1 cm、高为3 cm的圆柱上部去掉一个半径为1 cm的半球，据此可计算出体积．
【解答】解：由三视图可知，此几何体为底面半径为1 cm、高为3 cm的圆柱上部去掉一个半径为1 cm的半球，
所以其体积为V=πr2h﹣πr3=3π﹣π=π（cm3）．
故选D．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．
10. 设均为正数，且，
，
,则
A.
B.
C.
D.
参考答案：
A 略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知，且，则。

参考答案：
12. 设函数f （x ）=x 3[ln （e x +1）+ax]是奇函数，那么a= ．
参考答案：
﹣
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】先求出f （x ）=x 3
ln （e x
+1）+ax 4
，并求出f （﹣x ）=﹣x 3
ln （e x
+1）+（a+1）x 4
，而根据f （x ）为奇函数便可得出﹣x 3ln （e x +1）+（a+1）x 4=﹣x 3ln （e x +1）﹣ax 4，这样便可求出a 的值． 【解答】解：f （x ）=x 3ln （e x +1）+ax 4，f （x ）为奇函数； ∴f（﹣x ）=﹣f （x ）； ∵f（﹣x ）=﹣x 3
ln （e ﹣x
+1）+ax 4
=
=﹣x 3
[ln （e x
+1）﹣x]+ax 4
=﹣x 3
ln （e x
+1）+（a+1）x 4
=﹣x 3
ln （e x
+1）﹣ax 4
； ∴a+1=﹣a ； ∴
．
故答案为：
．
【点评】考查奇函数的定义，以及对数的运算，多项式相等的充要条件．
13. 函数
在
上的最小值为
，则实数的取值范围为 ．
参考答案：
14. 设
是定义在
上的函数，且
，对任意，若经过点
的直线与轴的交点为
，则称为
关于函数
的平均数，记为
，例如，当
时，可得
，即
为
的算术平均
数. （Ⅰ）当
时，
为
的几何平均数；
（Ⅱ）当时，为的调和平均数；
（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）
参考答案：
(Ⅰ) ； (Ⅱ) （或填(Ⅰ) ； (Ⅱ)，其中为正常数均可）
15. 在的展开式中，的系数等于
参考答案：
16. 若全集U ={1,2,3}，A ={1,2}，则
= ．
参考答案：
{3}
17. （5分）（2015?澄海区校级二模）定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）
=，则f （2013）的值为 ﹣3 ．
参考答案：
【考点】：函数的周期性；函数的值；对数的运算性质．
【专题】：函数的性质及应用．
【分析】：利用分段函数判断当x＞0时函数的周期性，然后利用周期性进行求值．
解：由分段函数可知，当x＞0时，f（x）=f（x﹣1）﹣f（x﹣2），
∴f（x+1）=f（x）﹣f（x﹣1）=f（x﹣1）﹣f（x﹣2）﹣f（x﹣1），
∴f（x+1）=﹣f（x﹣2），
即f（x+3）=﹣f（x），
∴f（x+6）=f（x），即当x＞0时，函数的周期是6．
∴f（2013）=f（335×6+3）=f（3）=﹣f（0）=﹣log2（8﹣0）=﹣log28=﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】：本题主要考查利用分段函数进行求值问题，利用函数的解析式确定当x＞0时，满足周期性是解决本题的关键．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
(1)求的单调区间和极值；
(2)当时，不等式恒成立，求的范围。

参考答案：
解：（1）函数的单调递减区间（-，递增区间（ln4，+。

极小值为f（ln4）=a+2-ln4，无极大值
（2）原不等式可化为：，令g(x)= 可得，令
，可得在上恒小于等于零，所以函数g(x)=
在（0，1）上递增，在（1，+）递减，所以函数g(x)在上有最大值g(1)=2-e，所求的范围是
略
19. （本小题满分13分）
已知函数，其中为常数，且．
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
（2）若函数在区间上的最小值为，求的值．
参考答案：
（13分）() 2分
（1）因为曲线在点（1，）处的切线与直线垂直，
所以，即
4分
（2）当时，在（1，2）上恒成立，这时在[1，2]上为增函数,
．
6分
当时，由得，，
对于有在[1，a]上为减函数，
对于有在[a，2]上为增函数，
．
8分
当时，在（1，2）上恒成立，这时在[1，2]上为减函数，
9分
于是，①当时，
； 10分②当时，，令，得
； 11分
③当时，
． 1 2分
综上所述，
．
13分
20. （12分）某校100位学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:、、、、.
(Ⅰ)求图中的值;
(Ⅱ)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;
(Ⅲ)若这100名学生的语文成绩某些分数段的人数()与数学成绩相应分数段的人数()之比如下表所示,求数学成绩在之外的人数.
参考答案：
(Ⅰ)由,解得……… （3分）
(Ⅱ). …….（3分）
(Ⅲ)这100位学生语文成绩在、、、的分别有5人、40人、30人、20人,按照表中所给比例,数学成绩在、、、的分别有5人、20人、40人、25人,共90人,所以数学成绩在之外的人数有10人…………… （6分）
21. 某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的2×2列联表，
（1）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；
（2）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到9号或10号的概率．
参考公式与临界值表：K2=．
【考点】独立性检验的应用．
【分析】（1）利用公式，求出K2，查表得相关的概率为99%，即可得出结论；
（2）所有的基本事件有：6×6=36个，抽到9号或10号的基本事件有7个，即可求抽到9号或10号的概率．
【解答】解：（1）假设成绩与班级无关，则K2=≈7.5
则查表得相关的概率为99%，故没达到可靠性要求．…
（2）设“抽到9或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，．
所有的基本事件有：6×6=36个．…
事件A包含的基本事件有：（3，6）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（5，5）、（4，6）、（6，4）共7个
所以P（A）=，即抽到9号或10号的概率为．…
22. 已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C 的轨迹方程；
（Ⅱ） Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．
参考答案：
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（I）设M（x，y），由题意可得：，化简可得曲线C 的轨迹方程为x2=4y 且（x≠±4）．
（II）设Q（m，﹣1），切线方程为y+1=k（x﹣m），与抛物线方程联立化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．解得x=2k．可得切点（2k，k2），由k2﹣km﹣
1=0．可得k1+k2=m，k1?k2=﹣1．得到切线QD⊥QE．因此△QDE为直角三角形，|QD|?|QE|．令切点（2k，k2）到Q的距离为d，则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=（4+m2）（k2+1），利用两点之间的距离公式
可得|QD|=，|QE|=，代入即可得出．
解答：解：（I）设M（x，y），由题意可得：，化为x2=4y．
∴曲线C 的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．
（II）设Q（m，﹣1），切线方程为y+1=k（x﹣m），
联立，化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，
由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．
∴x2﹣4kx+4k2=0，解得x=2k．可得切点（2k，k2），
由k2﹣km﹣1=0．∴k1+k2=m，k1?k2=﹣1．
∴切线QD⊥QE．
∴△QDE为直角三角形，|QD|?|QE|．
令切点（2k，k2）到Q的距离为d，
则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=4（k2﹣km）+m2+（km+2）2=4（k2﹣km）+m2+k2m2+4km+4=（4+m2）
（k2+1），
∴|QD|=，
|QE|=，
∴（4+m2）=≥4，
当m=0时，即Q（0，﹣1）时，△QDE的面积S取得最小值4．
点评：本题考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点之间的距离公式、三角形的面积计算公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。