一轮复习—平面几何中的中点问题几何专题

B C A E
F H D Q
M
N
P D
A
C
E
B
C A B
D
E C O
B A D
E
平面几何中的中点问题
一、导入 学习目标：
1.能正确识别出垂径分弦定理、 等腰三角形三线合一、三角形中位线定理、平行四边形对角线平分；
2.能应用垂径分弦、等腰三角形三线合一、三角形中位线定理、平行四边形对角线平分解决简单问题；
3.能体会这些知识之间的联系，并且综合运用这些知识，适当添加辅助线解决与中点有关的综合性问题。

二、自学与点拨 1、中点 （1）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为点E ，连结OC ，若5OC =，8CD =，
则AE = ．
（1）题图 （2）题图
（2）如图，AB 为O ⊙的直径，弦CD AB ⊥，E 为弧BC 上一点，若28CEA ∠=°，则ABD ∠= °． 2、中线
（1）如图，已知△ABC 中，AB=5，B C=12，AC=13，那么AC 边上的中线BD 的长为 .
（1）题图 （2）题图 （3）题图
（2）如图，在△ABC 中，BE 是AC 边上的高，CF 是AB 边上的高，D 是BC 边上的中点，连接EF ，点H 是EF 的中点，则DF DE ，DH EF （填位置关系）
（3）D 是△ABC 边BA 延长线上一点，AD=BA ，E 是边AC 上一点，且DE=BC ，
∠DEA ∠C. 3、中位线
（1）如图，O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点，若AB=5，AD=12，则四
边形ABOM 的周长为 .
（1）题图 （2）题图 （2）如图，AB 是半圆O 的直径，OD ⊥AC ，OD=2，则弦BC 的长为_______.
（3）四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，△ADE 和△BCE 都是等边三角形，P 、Q 、M 、N 分
M
D
A
F
E
C H
B
别为AB、BC、CD、DA的中点，则AC BD，四边形PQMN为（填图形形状）点拨：
1、知识框架
2、方法指导
(1)给出一个中点，一般、、
；
（2）给出两个中点，一般与有关；
（3）有时候题目给出一个中点，要想办法第二个中点，构造中点（即添加辅助线的方法）的依据有：、、；（4）中点一般和、等知识联系在一起。

三、典型例题
例题1：如图，四边形ABCD和ECHF都是正方形，连接AF，M是AF中点，连接DM 和EM. 点B、C、H在一条直线上. 求证：DM=EM.
例题2：如图1，四边形中，，分别是的中点，连结并延长，分别与的延长线交于点，则（不需证明）．
（温馨提示：在图1中，连结，取的中点，连结，根据三角形中位线定理，证明，从而，再利用平行线性质，可证得．）
问题一：如图2，在四边形中，与相交于点，，分别是的中点，连结，分别交于点，判断的形状，请直接写出结论．
问题二：如图3，在中，，点在上，，分别是的中点，连结并延长，与的延长线交于点，若，连结，判断的形状并证明．
ABCD AB CD =E F 、BC AD 、EF BA CD 、M N 、BME CNE ∠=∠BD BD H HE HF 、HE HF =12∠=∠BME CNE ∠=∠ADBC AB CD O AB CD =E F 、BC AD 、EF DC AB 、M N 、OMN △ABC △AC AB >D AC AB CD =E F 、BC AD 、EF BA G 60EFC ∠=°GD AGD
△
B
E
F
D C B
A
课堂检测：
1、如图，在⊿ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5,AC=2,则DF= .
2、已知，如图，△ABC中，D为BC边中点，BE垂直经过点A的射线于E,CF⊥AE 于F，连接DE、DF，BE+EF=FC.
求证：DE=DF。