全国通用近年高考数学大一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入课时达标23平面向量的概念及其

（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入课时达标23 平面向量的概念及其线性运算
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课时达标第23讲平面向量的概念及其线性运算［解密考纲]本考点重点考查向量的概念、线性运算，多以选择题、填空题的形式呈现,难度中等偏下．
一、选择题
1．在△ABC中，已知M是BC的中点，设错误!＝a,错误!＝b，则错误!＝（A)
A．错误!a－b B．错误!a＋b
C．a－错误!b D．a＋错误!b
解析错误!＝错误!＋错误!＝－错误!＋错误!错误!＝－b＋错误!a。

故选A．
2．已知a，b是两个非零向量，且｜a＋b|＝|a｜＋｜b|，则下列说法正确的是（D）A．a＋b＝0B．a＝b
C．a与b共线反向D．存在正实数λ,使a＝λb
解析因为a,b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋｜b｜，则a与b共线同向，故D项正确．
3．（2018·湖北襄阳四校联考)已知a，b为平面向量,若a＋b与a的夹角为π
3
，a＋b与b
的夹角为错误!,则错误!＝( B)
A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
解析如图，错误!＝a，错误!＝b，依题意,
在△OAC中，由正弦定理得|a|
｜b｜
＝错误!＝错误!＝错误!。

4．如图所示，在△ABC中,若错误!＝3错误!,则错误!＝（C）
A．错误!错误!＋错误!错误!B．错误!错误!－错误!错误!
C．1
3错误!
＋错误!错误!D．错误!错误!－错误!错误!
解析错误!＝错误!－错误!＝错误!错误!－错误!＝错误!（错误!－错误!）＋错误!＝错误!错误!＋
错误!错误!.故选C．
5．已知D为△ABC的边AB的中点，M在边DC上且满足5错误!＝错误!＋3错误!，则△ABM 与△ABC的面积比为( C）
A．错误!B．错误!
C．3
5
D．错误!
解析由5错误!＝错误!＋3错误!，得2错误!＝2错误!＋3错误!－3错误!，
即2（错误!－错误!)＝3(错误!－错误!)，
即2错误!＝3错误!，故错误!＝错误!错误!,
故△ABM与△ABC同底且高的比为3∶5，
故S△ABM∶S△ABC＝3∶5.
6．已知O是△ABC所在平面外一点且满足错误!＝错误!＋λ错误!，λ为实数，则动点P的轨迹必须经过△ABC的（B)
A．重心B．内心
C．外心D．垂心
解析如图，设错误!＝错误!，错误!＝错误!，已知错误!，错误!均为单位向量，且四边形AEDF 为平行四边形，
故▱AEDF为菱形,所以AD平分∠BAC．
由OP，→＝错误!＋λ错误!,
得错误!＝λ错误!，又错误!与错误!有公共点A，
故A,D，P三点共线，
所以点P在∠BAC的平分线上，
故动点P的轨迹经过△ABC的内心．
二、填空题
7．(2017·浙江卷)已知向量a,b满足|a|＝1，｜b｜＝2,则|a＋b｜＋|a－b｜的最小值是__4__，最大值是__2错误!__.
解析设a，b的夹角为θ，∵｜a|＝1，|b|＝2,
∴|a＋b｜＋|a－b｜＝错误!＋错误!
＝错误!＋错误!，
则y2＝10＋2错误!。

∵θ∈[0，π］,∴cos2θ∈[0，1］，∴y2∈[16，20］，
∴y∈［4,2错误!］,即（｜a＋b|＋|a－b｜）∈［4，2错误!］．
8．已知△ABC和点M满足错误!＋错误!＋错误!＝0。

若存在实数m使得错误!＋错误!＝m错误!成立，则m＝__3__。

解析由题目条件可知，M为△ABC的重心，连接AM并延长交BC于D,则错误!＝错误!错误!，因为AD为中线，则错误!＋错误!＝2错误!＝3错误!,所以m＝3.
9．设a,b是两个不共线向量，错误!＝2a＋p b，错误!＝a＋b,错误!＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为__－1__.
解析∵错误!＝错误!＋错误!＝2a－b，又A,B，D三点共线,∴存在实数λ，使错误!＝λ错误!，即错误!∴p＝－1。

三、解答题
10．在△ABC中，已知D是AB边上一点，错误!＝错误!错误!＋λ错误!,求实数λ的值．解析如图，D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，过点D作DF∥AC,交BC 于点F，连接CD,
则错误!＝错误!＋错误!。

因为错误!＝错误!错误!＋λ错误!，
所以错误!＝错误!错误!,错误!＝λ错误!。

由△ADE∽△ABC，得错误!＝错误!＝错误!，
所以错误!＝错误!＝错误!错误!,故λ＝错误!.
11．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN 的延长线与CD交于点E，若错误!＝m错误!＋错误!，求实数m的值．
解析由N是OD的中点得错误!＝错误!A错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!(错误!＋错误!)
＝错误!错误!＋错误!错误!，又因为A，N,E三点共线，
故错误!＝λ错误!,即m错误!＋错误!＝λ错误!，
所以错误!解得错误!故实数m＝错误!.
12．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，错误!＝错误!错误!，错误!＝a，错误!＝b。

（1)用a,b表示向量错误!，错误!，错误!,错误!，错误!;
（2）求证:B,E，F三点共线．
解析（1）延长AD到G，使错误!＝错误!错误!，
连接BG,CG，得到平行四边形ABGC,
所以错误!＝a＋b，错误!＝错误!错误!＝错误!(a＋b）,错误!＝错误!错误!＝错误!(a＋b),错误!＝错误!错误!＝错误!b，
错误!＝错误!－错误!＝错误!（a＋b）－a＝错误!（b－2a),错误!＝错误!－错误!＝错误!b－a＝错误!(b－2a)．
(2）证明：由(1)可知BE→＝错误!错误!,又因为错误!,错误!有公共点B，所以B，E，F三点共线．。