上海西林中学必修一第二单元《函数》测试卷(包含答案解析)

一、选择题
1．已知函数()32f x x =-，2()2g x x x =-，(),()()()(),()()g x f x g x F x f x f x g x ≥⎧=⎨
<⎩，则（ ） A ．()F x 的最大值为3，最小值为1
B ．()F x
的最大值为2
C ．()F x
的最大值为7-，无最小值
D ．()F x 的最大值为3，最小值为-1
2．以下说法正确的有（ ）
（1）若(){},4A x y x y =+=，(){},21B x y x y =-=，则{}3,1A
B =； （2）若()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =； （3）函数1y x =
的单调区间是()(),00,-∞⋃+∞； （4）在映射:f A B →的作用下，A 中元素(),x y 与B 中元素()1,3x y --对应，则与B 中元素()0,1对应的A 中元素是()1,2
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．已知函数(2)f x 的定义域为3(0,)2，则函数(13)f x -的定义域是（ ）
A ．21
(,)33- B ．11(,)63-
C ．(0,3)
D ．7(,1)2- 4．对任意[]1,1a ∈-，函数()()2442f x x a x a =+-+-的值恒大于零，则x 的取值范
围是（ ）
A ．13x <<
B ．1x <或3x >
C ．12x <<
D ．1x <或2x >
5．如果函数()()()2121f x a x b x =-+++（其中2b a -≥）在[]1,2上单调递减，则
32a b +的最大值为（ ）
A ．4
B ．1-
C ．23
D ．6
6．已知函数2()(3)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任意实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．(1,9)
B ．(3,+)∞
C ．(,9)-∞
D ．(0,9)
7．若函数22,2()13,22x ax x f x a x x
⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．115,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．4,215⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．41,152⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．152,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
8．已知()f x 在[],x a b ∈的最大值为M ，最小值为m ，给出下列五个命题：（ ） ①若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],m -∞.
②若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],M -∞.
③若关于x 的方程()p f x =在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是[],m M .
④若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],m -∞. ⑤若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],M -∞. A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
9．已知函数()f x 的定义域为R ，()0f x >且满足()()()f x y f x f y +=⋅，且
()112
f =，如果对任意的x 、y ，都有()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，那么不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为（ ）
A ．(][),12,-∞+∞
B ．[]1,2
C ．()1,2
D ．(],1-∞ 10．已知53()1f x ax bx =++且(5)7,f =则(5)f -的值是（ ） A ．5-
B ．7-
C ．5
D ．7 11．已知偶函数()f x 在 [0,)+∞上是增函数，且(2)0f =，则不等式 (1)0f x +<的解集是（ ）
A ．[0,2)
B ．[]3,1-
C ．(1,3)-
D ．(2,2)- 12．已知函数()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，且()21f =，
()()()f xy f x f y =+，则不等式()()23f x f x +-≤（ ）
A ．()1,2
B ．[)1,3
C ．()2,4
D ．(]2,4
二、填空题
13．已知函数()31f x ax bx =-+，若()25f =，则()2f -=______．
14．函数1,1()32,12x a x f x a x x ⎧+>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝
⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 取值范围为________.
15．()f x 为定义在R 上的偶函数，2()()2=-g x f x x 在区间[0,)+∞上是增函数，则不等
式()
1246()f x f x x +-+>--的解集为___________. 16．已知函数f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，则f (x )＝________．
17．定义域为R 的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，
2 1.5,[0,1)()0.5
,[1,2)x x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若[4,2)x ∈--时，1()42t f x t ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是______．
18．已知函数()2()10f x x ax a =++>，若“()f x 的值域为[)0,+∞”为真命题，则
()3f =________.
19．已知(6)4,(1)(),(1)
a x a x f x ax x --<⎧=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的增函数，则实数a 的取值范围是 _________.
20．定义在R 上的函数()f x 满足(3)()1f x f x +=+，且[0,1]x ∈时，()6x f x =，(1,3)x ∈时，(1)()f f x x
=，则函数()f x 的零点个数为__________. 三、解答题 21．已知函数()21f x x =
- （1）证明函数()f x 在()0,∞+上是减函数．
（2）求函数()f x 在[)2,x ∈+∞时的值域．
22．定义：满足()f x x =的实数x 为函数()f x 的“不动点”，已知二次函数
()()20f x ax bx a =+≠，()1f x +为偶函数，且()f x 有且仅有一个“不动点”．
（1）求()f x 的解析式；
（2）若函数()()2
g x f x kx =+在()0,4上单调递增，求实数k 的取值范围； （3）是否存在区间[](),m n m n <，使得()f x 在区间[],m n 上的值域为[]3,3m n ？若存在，请求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．
23．已知函数()()k f x x x R x =+
∈，且()()12f f =. （1）求k ；
（2）用定义证明()f x 在区间)
+∞上单调递增. 24．已知函数2()3f x x ax =+-．
（1）若不等式()4f x >-的解集为R ，求实数a 的取值范围；
（2）若不等式()26f x ax ≥-对任意[]1,3x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．
25．已知函数()()20,,f x ax bx c a b c R =++>∈满足1
(0)()1f f a
==. （1）求()f x 表达式及其单调区间（不出现b ，c ）；
（2）设对任意[]12,1,3x x ∈，()()128f x f x -≤恒成立，求实数a 的取值范围.
26．设函数()()2288f x x x ax a R x x
=++-+∈. （1）若函数()f x 为偶函数，求实数a 的值；
（2）若关于x 的不等式()16f x x ≤-在区间0,上有解，求实数a 的取值范围.
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值．
【详解】
在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，如图
然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值．
由图象可知，当0x <时，()y F x =取得最大值，
所以由232||2x x x -=-得27x =+或27x =-．
结合函数图象可知当27x =-时，函数()F x 有最大值727-，无最小值．
故选：C ．
【点睛】
关键点睛：本题主要考查了函数的图象，以及利用函数求最值，解答本题的关键是在同一坐标系中画出()f x 与()g x 的图象，根据图象得出函数的最值，由232||2x x x -=-得27x =+或27x =-.
2．B
解析：B
【分析】
根据A B 为点集，可判断（1）的正误；根据奇函数的性质，可判断（2）的正误；分解反比例函数的单调性，可判断（3）的正误；根据映射的概念，可判断（4）的正误.
【详解】
（1）若(){},4A x y x y =
+=，(){},21B x y x y =-=，则{}(3,1)A B =，所以（1）错误；
（2）若()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =，所以（2）正确；
（3）函数1y x
=的单调区间是(),0-∞和()0,∞+，所以（3）错误； （4）设A 中元素为(,)x y ，由题意可知1031x y -=⎧⎨-=⎩，解得12
x y =⎧⎨=⎩，所以A 中元素是()1,2，所以（4）正确；
所以正确命题的个数是2个，
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：该题考查的是有关命题的真假判断，在解题的过程中，关键点是要熟练掌握基础知识，此类题目综合性较强，属于中档题目.
3．A
解析：A
【分析】
先求出函数()f x 的定义域(0,3)，再求出函数(13)f x -的定义域.
【详解】
函数(2)f x 的定义域为3
(0,)2，则302
x <<，所以023x << 所以函数()f x 的定义域为(0,3)，则0133x <-<解得2133x -
<< 函数(13)f x -的定义域为21(,)33
-
故选:A
【点睛】
对于抽象函数定义域的求解方法： (1)若已知函数()f x 的定义域为[]a b ，，则复合函数()()
f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出；
(2)若已知函数()()
f g x 的定义域为[]a b ，，则()f x 的定义域为()g x 在[]x a b ∈，上的
值域．
4．B
解析：B
【分析】
将函数()f x 的解析式变形为()2
()244f x x a x x =-+-+，并构造函数()2
()244g a x a x x =-+-+，由题意得出()()1010g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩，解此不等式组可得出实数x 的取值范围
【详解】
对任意[]1,1a ∈-，函数()()2
442f x x a x a =+-+-的值恒大于零 设()()2
244g a x a x x =-+-+，即()0g a >在[]1,1a ∈-上恒成立. ()g a 在[]1,1a ∈-上是关于a 的一次函数或常数函数，其图象为一条线段.
则只需线段的两个端点在x 轴上方，即()()
2215601320g x x g x x ⎧-=-+>⎪⎨=-+>⎪⎩ ，解得3x >或1x < 故选：B
【点睛】
关键点睛：本题考查不等式在区间上恒成立问题，解答本题的关键是构造函数
()()2244g a x a x x =-+-+，将问题转化为()0g a >在[]1,1a ∈-上恒成立，从而得到()()1010g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩
，属于中档题. 5．C
解析：C
【分析】
分10a -=、10a -<、10a ->，根据题意可得出关于a 、b 的不等式组，由此可解得32a b +的最大值.
【详解】
分以下几种情况讨论：
（1）当10a -=时，即当1a =时，()()21f x b x =++在[]1,2上单调递减，可得20b +<，
解得2b <-，12b a b -=-≥，可得3b ≥，不合乎题意；
（2）当10a -<时，即当1a <时，
由于函数()()()2121f x a x b x =-+++在[]1,2上单调递减，则()
2121b a +-≤-， 可得222b a +≤-，即20a b +≤，可得2b a ≤-，由2b a -≥，可得2a b ≤-，
所以，()()323222436a b b a a b +≤-+⨯-=-+-，
当且仅当22b a a b =-⎧⎨=-⎩时，即当2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
时，等号成立， 则2423232333a b ⎛⎫+≤⨯-+⨯= ⎪⎝⎭
； （3）当10a ->时，即当1a >时，
由于函数()()()2121f x a x b x =-+++在[]1,2上单调递减，则()
2221b a +-≥-，可得42a b +≤，即24b a ≤-，
2b a -≥，即2b a ≥+，224a b a ∴+≤≤-，解得0a ≤，不合乎题意.
综上所述，32a b +的最大值为
23
. 故选：C.
【点睛】
关键点点睛：根据首项系数为变数的二次函数在区间上的单调性求参数，要对首项系数的符号进行分类讨论，在首项系数不为零的前提下，要根据函数的单调性确定对称轴与区间的位置关系，构建不等式（组）求解. 6．D
解析：D
【分析】
根据所给条件，结合二次函数的图像与性质，分类讨论，即可得解.
【详解】
当0m <时，二次函数2()(3)1f x mx m x =--+的图像开口向下，()g x mx =单调递减，故存在x 使得()f x 与()g x 同时为负，不符题意；
当0m =时，()31f x x =-+，()0g x =显然不成立；
当0m >时，2109m m ∆=-+，
若∆<0，即19m <<时，显然成立，
0∆=，1m =或9m =，则1m =时成立，9m =时，13
x =-时不成立， 若0∆>，即01m <<或9m >，由(0)1f =可得：
若要()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，如图，
则必须有302m m
->，解得01m <<， 综上可得：09m <<，
故答案为：D.
【点睛】
本题考查了二次函数和一次函数的图像与性质，考查了分类讨论思想和计算能力，属于中档题.解决此类问题的关键主要是讨论，涉及二次函数的讨论有：
（1）如果平方项有参数，则先讨论；
（2）再讨论根的判别式；
（3）最后讨论根的分布.
7．D
解析：D
【分析】
若函数()f x 在R 上递减，则必须满足当(],2x ∈-∞时，函数22y x ax =-递减，且
()2,x ∈+∞时132y a x =
-也递减，且端点处的函数值必须满足条件． 【详解】 易知函数132y a x
=
-在(2,)+∞上单调递减，要使函数()f x 在R 上单调递减， 则函数22y x ax =-在(,2]-∞上单调递减，所以2a ≥， 当2x =时，2244x ax a -=-，
113324a a x -=-，要使()f x 在R 上单调递减， 还必须14434a a -≥
-，即154a ≤，所以1524
a ≤≤. 故选：D ．
【点睛】
解答本题时，首先要保证原函数在每一段上都递减，另外，解答时容易忽略掉端点的函数值的大小关系. 8．B
解析：B
【分析】
这是一个对不等式恒成立，方程或不等式解集非空的理解，概念题．对各个选项分别加以判断，在①②中，得出①正确②错误，④⑤中得出⑤正确④错误，而不难发现③是一个真命题，由此可得正确答案.
【详解】
对任何x ∈[a ，b]都有()p f x ≤，说明p 小于等于()f x 的最小值，①是正确的; 由于①正确，所以②是一个错误的理解，故不正确;
关于x 的方程p =f (x ）在区间[a ，b ]上有解，说明p 应属于函数f (x ）在[a ，b ]上的值域[m ，M ]内，故③是正确的;
关于x 的不等式p ≤f (x ）在区间[a ，b ]上有解，说明p 小于或等于的最大值，所以④是错误的，而⑤是正确的
正确的选项应该为①③⑤
故选： B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查了命题的真假判断与应用，属于基础题．不等式或方程解集非空，只要考虑有解;而不等式恒成立说明解集是一切实数，往往要考虑函数的最值了． 9．B
解析：B
【分析】
计算出()24f -=，并由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦可得出函数()y f x =在R 上为减函数，再由()()234f x f x -⋅≥，可得出()()232f x x f -≥-，再由函数()y f x =在R 上的单调性可得出232x x -≤-，解出该不等式即可.
【详解】
由于对任意的实数x 、y ，()()()f x y f x f y +=⋅且()0f x >.
令0x y ==，可得()()()000f f f =⋅，且()00f >，解得()01f =.
令y x =-，则()()()01f x f x f ⋅-==，()()1f x f x -=，()()
1121f f -==. ()()()211224f f f ∴-=-⋅-=⨯=.
设x y <，则0x y -<，由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，得()()f x f y >.
所以，函数()y f x =在R 上为减函数，由()()2
34f x f x -⋅≥，可得()()232f x x f -≥-.
所以232x x -≤-，即2320x x -+≤，解得12x ≤≤.
因此，不等式()()2
34f x f x
-⋅≥的解集为[]1,2. 故选B.
【点睛】
本题考查抽象函数的单调性解不等式，解题的关键就是将不等式左右两边转化为函数的两
个函数值，并利用函数的单调性进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 10．A
解析：A
【解析】
()()53531,1f x ax bx f x ax bx =++∴-=--+，
()()()()2,552f x f x f f +-=∴+-=，()5275f -=-=-，故选A.
11．B
解析：B
【详解】
由()f x 在[0,)+∞上是增函数，且(2)0f =
当0x >时，()0f x <的解集[0,2]； 当时()f x 为减函数，(2)0f -=，()0f x <的解集[2,0]-．
综上()0f x <的解集[2,2]-，
所以(1)0f x +<满足212,31x x -≤+≤∴-≤≤．
故选：B ．
12．D
解析：D
【分析】
根据()()()f xy f x f y =+且()21f =可得()42f =，83f ，则
()()23f x f x +-≤可化为()()28f x x f -≤⎡⎤⎣⎦，然后根据单调性求解.
【详解】
根据()()()f xy f x f y =+可得，()()23f x f x +-≤可转化为()23f x x -≤⎡⎤⎣⎦， 又()()()()422222f f f f =+==，
所以()()()842213f f f =+=+=，即()()28f x x f -≤⎡⎤⎣⎦，
因为()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，所以只需满足()28020x x x x ⎧-≤⎪>⎨⎪->⎩
，解得：24x <≤.
故选：D.
【点睛】
本题考查抽象函数的应用，考查利用函数的单调性解不等式，难度一般，根据题目条件将问题灵活转化是关键.
二、填空题
13．【分析】根据题意令从而得到得到为奇函数整理得到将代入求得的值【详
解】设则即为奇函数故即即【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数值的求解问题解题方法如下：（1）构造奇函数；（2）利用奇函数的性质得到进 解析：3-
【分析】
根据题意，令()()3
1g x f x ax bx =-=-，从而得到()()3
g x ax bx g x -=-+=-，得到
()g x 为奇函数，整理得到()()2121f f --=--⎡⎤⎣⎦，将()25f =代入求得()2f -的值.
【详解】
设()()3
1g x f x ax bx =-=-，
则()()3
g x ax bx g x -=-+=-，
即()g x 为奇函数，
故()()22g g -=-，即()()2121f f --=--⎡⎤⎣⎦， 即()()222523f f -=-+=-+=-. 【点睛】
方法点睛：该题考查的是有关函数值的求解问题，解题方法如下： （1）构造奇函数()()3
1g x f x ax bx =-=-；
（2）利用奇函数的性质得到()()22g g -=-，进而求得()()222f f -=-+，得到结果.
14．【分析】根据指数函数和一次函数的性质得出关于的不等式组即可求解【详解】由题意函数是上的单调递增函数可得解得即实数取值范围故答案为：【点睛】利用函数的单调性求解参数的取值范围：根据函数的单调性将题设条
解析：8[,6)3
【分析】
根据指数函数和一次函数的性质，得出关于a 的不等式组，即可求解. 【详解】
由题意，函数1,1()32,12x a x f x a x x ⎧+>⎪
=⎨⎛⎫
-+≤ ⎪⎪⎝
⎭⎩是R 上的单调递增函数， 可得1302
1322a a a a ⎧
⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪
+≥-+⎪⎩
，解得863a ≤<，即实数a 取值范围8[,6)3.
故答案为：8
[,6)3
.
【点睛】
利用函数的单调性求解参数的取值范围：
根据函数的单调性，将题设条件转化为函数的不等式（组），即可求出参数的值或范围； 若分段函数是单调函数，则不仅要保证在各区间上单调性一致，还要确保在整个定义域内是单调的.
15．；【分析】根据题意判断出为偶函数且在上先减再增把转化为进行求解即可【详解】由为偶函数可知也为偶函数且在上先减再增由可知即可知解得故答案为：【点睛】关键点睛利用函数的性质得到的单调性通过化简把问题转化
解析：3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
； 【分析】
根据题意，判断出()g x 为偶函数，且在R 上先减再增，把(1)(2)46f x f x x +-+>--转化为(1)(2)g x g x +>+，进行求解即可 【详解】
由()f x 为偶函数，可知()g x 也为偶函数，且在R 上先减再增， 由(1)(2)46f x f x x +-+>--，
可知2
2
(1)2(1)(2)2(2)f x x f x x +-+>+-+，即(1)(2)g x g x +>+， 可知12x x +>+，解得32
x <-. 故答案为：3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
【点睛】
关键点睛，利用函数的性质，得到()g x 的单调性，通过化简把问题转化为
(1)(2)g x g x +>+，进而利用()g x 的单调性求解，属于中档题
16．【分析】因为2f(x)＋f(－x)＝3x①所以将x 用－x 替换得2f(－x)＋f(x)＝－3x②解上面两个方程即得解【详解】因为2f(x)＋f(－x)＝3x①所以将x 用－x 替换得2f(－x)＋f(x) 解析：3x
【分析】
因为2f (x )＋f (－x )＝3x ，①,所以将x 用－x 替换，得2f (－x )＋f (x )＝－3x ，②,解上面两个方程即得解. 【详解】
因为2f (x )＋f (－x )＝3x ，①
所以将x 用－x 替换，得2f (－x )＋f (x )＝－3x ，② 解由①②组成的方程组得f (x )＝3x . 故答案为3x 【点睛】
本题主要考查函数的解析式的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
17．【分析】由分段函数根据单调性求得在的最小值根据求出的最小值将问题转化为解不等式即可得出结果【详解】根据已知当时则当时在处取到最小值当时在处取到最小值所以在时在处取到最小值又因为可知当时在时取到最小值 解析：(,2](0,1]-∞-⋃
【分析】
由分段函数根据单调性求得()f x 在[0,2)x ∈的最小值，根据(2)2()f x f x +=求出
[4,2)x ∈--，()f x 的最小值，将问题转化为min 1
()42t f x t
≥
-解不等式即可得出结果． 【详解】 根据已知，
当[0,2)x ∈时，2 1.5
,[0,1)
()0.5
,[1,2)x x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩， 则当[0,1)x ∈时，()f x 在0.5x =处取到最小值(0.5)0.25f =-， 当[1,2)x ∈时，()f x 在 1.5x =处取到最小值(1.5)1f =-， 所以()f x 在[0,2)x ∈时在 1.5x =处取到最小值(1.5)1f =-， 又因为(2)2()f x f x +=， 可知当[4,2)x ∈--时， ()f x 在 2.5x =-时取到最小值，
且(1.5)2(0.5)4( 2.5)f f f =-=-， 则1
( 2.5)(1.5)0.254
f f -=
⨯=-． 为使[4,2)x ∈--，1
()42t f x t
≥-恒成立， 需
11424
t t -≤-， 当0t >时，
可整理为220t t +-≤， 解得(0,1)t ∈； 当0t <时，
可整理为220t t +-≥， 解得(,2]t ∈-∞-． 故答案为(,2](0,1]-∞-⋃. 【点睛】
本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键，属于中档题．
18．16【分析】二次函数的值域为得到求得值得解【详解】因为的值域为所以则又所以故答案为：16【点睛】二次函数的值域为得到是解题关键
解析：16 【分析】
二次函数()f x 的值域为[)0,+∞得到240a ∆=-=求得a 值得解 【详解】
因为()2
()10f x x ax a =++>的值域为[0,)+∞，所以240a ∆=-=，
则2a =±.又0a >，所以2,a =.
22()21,(3)323116f x x x f ∴=++∴=+⨯+=
故答案为：16 【点睛】
二次函数()f x 的值域为[)0,+∞得到0∆=是解题关键.
19．【分析】根据分段函数的单调性在各个分段上递增且在衔接点处也要递增列式即可得解【详解】由是上的增函数则：解得故答案为：【点睛】本题考查了分段函数单调性问题考查了一次函数的单调性属于中档题求分段函数递增 解析：[1,6)
【分析】
根据分段函数的单调性，在各个分段上递增，且在衔接点处也要递增，列式即可得解. 【详解】
由(6)4,(1)(),(1)a x a x f x ax x --<⎧=⎨
≥⎩是(),-∞+∞上的增函数， 则：60065a a a a ->⎧⎪
>⎨⎪-≤⎩
，解得16a ≤<，
故答案为：[1,6). 【点睛】
本题考查了分段函数单调性问题，考查了一次函数的单调性，属于中档题. 求分段函数递增（递减）要注意以下两点： （1）在各个分段上分别递增（递减）；
（2）在衔接点处也要递增（递减），此处为易错点.
20．【分析】由题意首先结合所给的关系式画出函数图象结合函数图象即可确定函数图象与横轴交点个数可得函数零点的个数【详解】解：由题意可得：（1）时即：结合绘制函数图象如图所示：由图可得函数图象与横轴交点有9 解析：9
【分析】
由题意首先结合所给的关系式画出函数图象，结合函数图象即可确定函数图象与横轴交点个数，可得函数零点的个数． 【详解】
解：由题意可得：f （1）166==，
∴(1,3)x ∈时，(1)6
()f f x x x
=
=， 即：6,01
()6,13x x f x x x
⎧⎪
=⎨<<⎪⎩，
结合(3)()1f x f x +=+绘制函数图象如图所示：
由图可得，函数图象与横轴交点有9个， 所以函数()f x 的零点个数为9． 故答案为：9． 【点睛】
本题主要考查函数的零点，数形结合的数学思想，函数图象的绘制等知识，函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程
()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点．
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）(]1,0-. 【分析】
（1）在()0,∞+上任意取两个实数1x ，2x ，且12x x <，然后怍差
()()()
211212
2x x f x f x x x --=判断其符号即可.
（2）根据（1）知()f x 在[)2,+∞上是减函数，由2x =取得最大值，再由2
0x
>确定值域. 【详解】
（1）在()0,∞+上任意取两个实数1x ，2x ，且12x x <， 则有()()()21121212
222
11x x f x f x x x x x --=
--+=， 又因为120x x <<，所以210x x ->，120x x >， 所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >， 所以()f x 在()0,∞+上是减函数．
（2）由（1）知()f x 在[)2,+∞上是减函数， 所以当2x =时()max 0f x =， 又因为
20x
>，所以2
11x ->-，
所以函数()f x 在()0,∞+上的值域为(]1,0-． 【点睛】
方法点睛：判断函数单调性的常用方法：(1)定义法和导数法，注意证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
22．（1）21()2f x x x =-+（2）3,8⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
（3）4,0m n =-=，证明见解析
【分析】
（1）根据二次函数的对称性求出2b a =-，再将()f x 有且仅有一个“不动点转化为方程
()f x x =有且仅有一个解，从而得出()f x 的解析式；
（2）当102k -
=时，由一次含函数的性质得出1
2k =满足题意，当102
k -≠时，讨论二
次函数()g x 的开口方向，根据单调性确定1
12x k
=-与区间()0,4端点的大小关系得出实数k 的取值范围； （3）由2111()(1)222f x x =-
-+得出1
6
m n <，结合二次函数的单调性确定()f x 在区间[],m n 上是增函数，从而得出()3()3f m m
f n n =⎧⎨=⎩
，再解方程2132x x x -+=得出m ，n 的
值.
（1）
22(1)(1)(1)(2)f x a x b x ax a b x a b +=+++=++++为偶函数
20,22a b
b a a
+∴
=∴=-- 2()2f x ax ax ∴=-
f x 有且仅有一个“不动点”
∴方程()f x x =有且仅有一个解，即[](21)0ax x a -+=有且仅有一个解
211
210,,()22
a a f x x x ∴+==-=-+
（2）2
21()()2g x f x kx k x x ⎛
⎫=+=-
+ ⎪⎝⎭，其对称轴为112x k
=- 函数()()2g x f x kx =+在()0,4上单调递增
∴当12k <
时，
1412k -，解得3182
k < 当1
2
k =时，()g x x =符合题意 当1
2k >
时，
1012k
<-恒成立 综上，3
,8
k ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
（3）221111
()(1)2222
f x x x x =-
+=--+ f x 在区间[],m n 上的值域为[]3,3m n ，113,26n
n ∴，故16
m n < ()f x ∴在区间[],m n 上是增函数
()3()3f m m f n n =⎧∴⎨=⎩，即2
2132
132
m m m n n n ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩
∴,m n 是方程21
32
x x x -+=的两根，解得0x =或4x =-
4,0m n ∴=-=
【点睛】
关键点睛：已知函数21()2g x k x x ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭在具体区间上的单调性求参数k 的范围时，关
键是讨论二次项系数的值，结合二次函数的单调性确定参数k 的范围. 23．（1）2；（2）证明见解析.
（1）由题得122
k
k +=+
，解方程即得解； （2
）利用定义法证明函数在区间)
+∞上单调递增. 【详解】
（1）由()()12f f =得122
k k +=+， 解得2k =，所以()2f x x x
=+ （2
）21x x ∀>>
()()21212122f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫
-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()()()1221212112222x x x x x x x x x x -⎛⎫
=-+-=-+ ⎪⎝⎭
()
()
122112
2x x x x x x -=-，
∵21x x >>，∴210x x ->，212x x >， ∴()()210f x f x ->，即()()21f x f x >， 所以函数()f x
在区间)
+∞上单调递增.
【点睛】
方法点睛：用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设12,x x D ∈，且12x x <；②作差，求12()()f x f x -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判
断
12()()f x f x -的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.
24．（1）(2,2)-；（2
）(
,-∞． 【分析】
（1）由已知得210x ax ++>的解集为R ，只需∆<0可得答案；
（2）由已知得230x ax -+≥对任意[]1,3x ∈恒成立，可分别讨论对称轴的位置，然后利用单调性和二次函数的性质可得答案. 【详解】
（1）()4f x >-即234x ax +->-， 即210x ax ++>，
由不等式()4f x >-的解集为R ， 可得∆<0，即240a -<，
解得22a -<<， 故a 的取值范围是(2,2)-．
（2）()26f x ax ≥-即2326x ax ax +-≥-， 即230x ax -+≥，
由不等式()26f x ax ≥-对任意[]1,3x ∈恒成立， 可得当12
a
≤，即2a ≤时，10f ≥（）
，即40a -≥，得4a ≤，从而2a ≤； 当132
a
<
<，即26a <<时，0∆≤，即2120a -≤，
得a -≤≤2a <≤ 当
32
a
≥，即6a ≥时，(3)0f ≥，即1230a -≥，得4a ≤，此时无解．
综上，a 的取值范围是(
,-∞． 【点睛】
对于一元二次不等式的恒成立的问题，可结合二次函数图象，利用函数的单调性和二次函数的性质处理，也可以利用参数分离求最值．
25．（1）()2
1f x ax x =-+，减区间为1,
2a ⎛-∞⎫ ⎪⎝⎭
，递增区间为1,2a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭；（2）
50,4⎛⎤
⎥⎝⎦
. 【分析】 （1）由()101a f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
==，整理得()2
1f x ax x =-+，结合二次函数的性质，即可求解；
（2）把“对任意[]12,1,3x x ∈，()()128f x f x -≤恒成立”转化为()()max min 8f x f x -≤在
[]1,3上恒成立，结合二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解.
【详解】 （1）由()101a f f ⎛⎫
⎪⎝⎭
==，可得()11(0)()f x a x x a -=--， 整理得()2
1f x ax x =-+，
因为0a >，则函数()2
1f x ax x =-+开口向上，对称轴方程为1
2x a
=
， 所以()f x 单调递减区间为1,2a ⎛-∞⎫ ⎪⎝
⎭，()f x 单调递增区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）因为“对任意[]12,1,3x x ∈，()()128f x f x -≤恒成立”，
即()()max min 8f x f x -≤在[]1,3上恒成立，
由（1）知函数()2
1f x ax x =-+，
①当1
2
a ≥
时，函数()f x 在区间[]1,3上单调递增 可得()()()()max min 31828f x f x f f a -=-=-≤，解得54
a ≤，即1524a ≤≤；
②当1
06
a <≤
时，函数()f x 在区间[]1,3上单调递减 可得()()()()max min 13288f x f x f f a -=-=-≤，解得34a ≥-，即106
a <≤； ③当
1162a <<时，函数()f x 在区间11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
单调递减，在区间1,32a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦单调递增， 可得()()(){}
max max 1,3f x f f =，()min 1124f x f a a ⎛⎫
==-
⎪⎝⎭
则()()1121182431139328
24f f a a a f f a a a ⎧⎛⎫
-=-+≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩
，解得1162a <<，
综上所述：实数a 的取值范围是50,4
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
.
【点睛】
由 恒成立求参数取值范围的思路及关键：
一般有两个解题思路：一时分离参数法；二是不分离参数，采用最值法；
两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否能分离，两种思路的依据为：()a f x ≥恒成立max ()a f x ⇔≥，()a f x ≤恒成立max ()a f x ⇔≤. 26．（1）0；（2
）1a ≤-. 【分析】
（1）由()f x 为偶函数有()(11)f f -=即可求a 的值；
（2）由绝对值不等式及函数不等式在区间有解，讨论2,02x x ><≤，应用参变分离将问题转化为不等式能成立问题即可求a 的取值范围. 【详解】
（1）因为()f x 为偶函数，则有()(11)f f -=，即1616a a -=+，解得0a =. （2）①当2x >时，()16f x x ≤-有解，即2216x ax x +≤-有解，
16
21a x x
≤--
+
，所以max 16211a x x ⎛⎫≤--+=- ⎪⎝⎭
当且仅当x =
②当02x <≤时，()16f x x ≤-有解，即1616ax x x
+≤-有解， 216161a x x
≤--+，所以2max 1616111a x x ⎛⎫≤--+=- ⎪⎝⎭当2x =时等号成立； 综上，实数a
的取值范围是1a ≤-.
【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的有解问题，可按如下规则转化：一般地，将函数不等式转化为()a f x ≤或()a f x ≥在区间能成立.
（1）()a f x ≤即在相应区间内仅需()max a f x ≤即可.
（2）()a f x ≥即在相应区间内仅需()min a f x ≥即可.。