求解行列式的若干方法

求解行列式的若干方法
一、矩阵的行列式的基本定义
行列式是以n阶方阵A=[a1,a2,a3,…an] 为参数，为定义a1,a2,a3,…an 线性相关性的函数。

它称为行列式又称为阵列式，记作|A|或det A。

二、行列式的四则运算法
以n阶方阵A，B为例，记|A|=a，|B|=b，行列式满足下面的法则：
（1）交换行（列）：|A|= -|A'| ；
（4）把存在因子分解：|A|= |A'| * |A''|。

三、行列式解法法
（1）基本思想：
用行列式的四则运算法把行列式分割成较小的子矩阵，最终分解成只有一项的1x1的方阵，此时，行列式的值就求得了。

（2）实施步骤：
1. 找出行列式某行（列）的第一项不为零的行列(r,s)，将这两项的所在的行（列）和其余的行（列）外的元素全部给"抹去"成新的矩阵；
2. 令，行列式的记号变成，其中，为原行列式A中第r行（列）抹去后元素组成的矩阵，为原行列式A第r行（列）第s个元素；
3. 如果新行列式A1的阶数>1，则重复第一步，令A1的矩阵的行列式变成。

令A1的第一行（列）第一个非零元素的行（列）及其余列（行）外的元素成新的矩阵，及抹去后原矩阵A1的第一行（列）第一个非零元素；
4. 如此反复，最终，A1,A2,A3,…,An可以减少到一项元素，行列式的值就可求出；
设有A为3阶方阵：[1,2,-3;2,1,3;3,2,1]
步骤1：A的第一列第一个非零元素为1，第一行第一个非零元素的行=1，把第一行与第一列的行和元素外的元素抹去，有：
A1=|-3|= -3
步骤2：A1的值令为A[1]=-3，则A的值：
四、Gauss-Jordan 消去法
将一个n阶方阵A，转换为 n阶单位方阵
1. 首先将一个方阵A与单位方阵合并成一个新的方阵H；
2. 使用行列式的基本四则运算法，把H分解成上三角A1和下三角A2矩阵的叠加；
3. 把A1及A2的元素分别乘以一个常数因子，使得所有非零元素都变成1；
4. 将A1和A2叠加起来，即可得到一个n阶单位方阵，此时的A的行列式的值就求
出来了。

五、其他解法
（1）拆解法
用n阶方阵A的n-1阶行列式来计算n阶矩阵A的行列式，它是由如下：
1. 令，其中，表示由A的删除i行后的（n-1）阶行列式。

2. 依据行列式的交换行（列）公式：
|A|=σ (-1)i+j Ai。

（2）模重复相乘法
1. 令A=P*S*Q，其中，P和Q为余子式矩阵，S为简化矩阵。

2. 根据行列式的把简化后的矩阵乘以余子式矩阵公式：|A|=|P||S||Q|=det P det S det Q
3. 计算伴随矩阵，模重复相乘:|A|= (det P) (det S) (det Q)
（3）Lyons 等式
记A=[a1, a2,… ,an] 为n阶方阵，|A|=a，且为ai第1位到an第n位的任意变量，Lyons 等式
|A|=a (1- a1 + a2 - a3 + a4 -… + an)
免去求行列式的化简步骤，只需要用上面的等式计算出a的值即可。