高中数学新课标人教A版必修四《1.4.1正弦函数、余弦函数的图象》课件2

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方法点评 作出正弦函数的图象后，再作直线 y＝12，找出它们 的交点及交点对应的横坐标，显然曲线在直线上方或直线上的 点的横坐标的集合即为所求．
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自学导引 1．正弦曲线、余弦曲线
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2．正弦函数图象的画法 (1)几何法——借助三角函数线； (2)描点法——五点法． 函数 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上起关键作用的点有以下五个： (0,0) ，π2，1，(π，0) ，32π，－1， (2π，0) ．
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题型二 正、余弦函数图象的应用 【例 2】 (1)方程 x2－cos x＝0 的实数解的个数是________． (2)(2012·海 淀区高一 检测 )方 程 sin x ＝lg x 的解的 个数是 ________． [思路探索] 把方程的解的问题转化为两函数图象交点的个数 问题解决．
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解析 (1)作函数 y＝cos x 与 y＝x2 的图象， 如图所示，由图象，可知原方程有两个实数解． (2)用五点法画出函数 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，再依次向左、 右连续平移 2π 个单位，得到 y＝sin x 的图象． 描出点110，－1，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到 y＝lg x 的图象，如图所示．
根据上图可得 k 的取值范围是(1,3)．
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题型三 利用三角函数图象求定义域 【例 3】 求下列函数的定义域： (1)y＝ 2sin x＋1； (2)y＝ sin x－cos x. 审题指导 写出使得函数有意义时所满足的条件 → 结合三角函数的定义域 → 求出不等式的交集即可
π
3π 2
2π
y＝1－13cos x
2 3
1
4 3
1
2 3
其图象如图所示．
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(2)由于 y＝sinx＋32π＝|cos x|，因此只需作出函数 y＝|cos x|， x∈[－2π，2π]的图象即可．而函数 y＝|cos x|，x∈[－2π，2π] 的图象可采用将函数 y＝cos x，x∈[－2π，2π]的图象在 x 轴下 方的部分翻折到 x 轴上方的方法得到，所得图象如图所示．
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3．余弦函数图象的画法 (1)要得到 y＝cos x 的图象，只须把 y＝sin x 的图象向左平移2π个单 位长度便可，这是由于 cos x＝sinx＋π2. (2)用“五点法”画出余弦曲线 y＝cos x 在[0,2π]上的图象时所取的 五个关键点分别为 (0,1) ，π2，0，(π，－1) ，32π，0， (2π，1) ．
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因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然 后用光滑的曲线将它们连接起来，就得到在相应区间内正弦函 数、余弦函数的简图，这种方法叫做五点法． 提醒 五点法作图的关键是抓好三角函数中的最值点以及与 x 轴的交点(即平衡位置点)．
名师点睛 正、余弦函数图象的画法 (1)几何法 第一步：列表．首先在单位圆中画正弦线，在直角坐标系的 x 轴上任取一点 O1，以 O1 为圆心作单位圆，从这个圆与 x 轴的 交点 A 起，把圆 O1 分为 12 等份(等份越多，作出的图象越精 确)．过圆上各分点作 x 轴的垂线，可得到对应于角 0，π6，3π，π2，…， 2π 的正弦线(这等价于描点法中的列表)．
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【题后反思】 (1)求由三角函数参与构成的函数定义域，对于 自变量必须满足： ①使三角函数有意义；②分式形式的分母不等于零；③偶次根 式的被开方数不小于零． (2)三角函数定义域的求法：求三角函数定义域时，常常归结为 解三角不等式组，这时可利用基本三角函数的图象或单位圆中 三角函数线直观地求得解集．
所以x|2kπ<x≤2kπ＋π6，k∈Z ∪x|2kπ＋56π≤x<2kπ＋π，k∈Z.
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方法技巧 数形结合思想在三角函数图象中的应用 函数图象的应用主要是数形结合思想的应用，数形结合是重要的 数学思想，它能够把抽象的数学式子转化为形象的直观图形．平 时解题时要注意运用． 【示例】 画出 y＝sin x 的简图，并根据图象写出 y≥12时 x 的集合． [思路分析] 作出 y＝sin x 的简图和直线 y＝12，明确交点坐标．
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想一想：如何由 y＝cos x(x∈R)的图象得到 y＝sin x 的图象？ 提示 sin x＝cosx－π2，故只须把 y＝cos x，x∈R 的图象向右 平移π2个单位长度即可得到 y＝sin x，x∈R 的图象．
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(3)图象变换法 该种方法主要是利用图象的平移(如把 y＝sin x 的图象向左平移 π2便可以得到 y＝cos x 的图象)．通过这种方法作图简便易行， 但函数间必须有联系．
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(2)五点法 观察正弦函数的图象可以看出，下面五个点在确定正弦函数图 象形状时起着关键作用． (0,0)，π2，1，(π，0)，32π，－1，(2π，0)这五点描出后，正弦 函数 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象的形状就基本上确定了． (0,1)，π2，0，(π，－1)，32π，0，(2π，1)这五点描出后，余弦 函数 y＝cos x，x∈[0,2π]的图象的形状就基本上确定了．
描点连线，如图
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规律方法 作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法 作图．“五点”即 y＝sin x 或 y＝cos x 的图象在一个最小正周期 内的最高点、最低点和与 x 轴的交点．“五点法”是作简图的常 用方法．
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[规范解答] (1)要使 y＝ 2sin x＋1有意义，则必须满足 2sin x＋ 1≥0 即 sin x≥－12.(2 分) 结合正弦曲线或三角函数线，如图所示：
知函数 y＝ 2sin x＋1的定义域为 x|2kπ－6π≤x≤2kπ＋76π，k∈Z.(6 分)
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【变式 3】 求函数 y＝
1 log2sin
x－1的定义域．
解 为使函数有意义，需满足log2sin1 x－1≥0， sin x>0，
即sin x≤12， 由正弦函数或单位圆，如图所示． sin x>0，
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解 (1)列表：
x
0
π 2
π
3 2π
2π
sin x 0 1 0 －1 0
sin x－1 －1 0 －1 －2 －1
描点连线，如图
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(2)列表：
x
0
π 2
π
3 2π
2π
cos x 1 0 －1 0 1
2＋cos x 3 2 1 2 3
题型一 用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象 【例 1】 用“五点法”作出下列函数的简图． (1)y＝sin x－1，x∈[0,2π]； (2)y＝2＋cos x，x∈[0,2π]． [思路探索] 在[0,2π]上找出五个关键点，用光滑的曲线连接即 可．
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1.4 三角函数的图象与性质
1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
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【课标要求】 1．了解正弦函数、余弦函数的图象． 2．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象． 【核心图象的简单运用．(难点) 3．正、余弦函数图象的区别与联系(易混点)
【变式 2】 函数 f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线 y
＝k 有且仅有两个不同的交点，求 k 的取值范围．
解 f(x)＝sin x＋2|sin x|＝3－sisninx，x， 图象如图，
x∈[0，π]， x∈π，2π].
若使 f(x)的图象与直线 y＝k 有且仅有两个不同的交点，
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解 利用“五点法”作出 y＝sin x 的简图，过点0，12作 x 轴的 平行线，在[0,2π]上直线 y＝12与正弦曲线交于6π，12，56π，12两 点．结合图形可知，在[0,2π]内，满足 y≥12时 x 的集合为 x|6π≤x≤56π. 因此，当 x∈R 时，若 y≥12，则 x 的集合为 x|6π＋2kπ≤x≤56π＋2kπ，k∈Z.
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第二步：描点．把 x 轴上从 0 到 2π 这一段分成 12 等份，把第 一步中得到的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与 x 轴 上的相应的点重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点． 第三步：连线．用光滑的曲线把这些终点连接起来，就得到正 弦函数 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象．如图
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【变式 1】 作出下列函数在[－2π，2π]上的图象：
(1)y＝1－13cos x；
(2)y＝sin
x＋32π.
解 (1)先利用五点法作出函数 y＝1－13cos x 在[0,2π]上的图象，
然后作出它关于 y 轴对称的图象即可.
x
0
π 2
由图象可知方程 sin x＝lg x 的解有 3 个．
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答案 (1)2 (2)3 规律方法 利用三角函数图象能解决求方程解的个数问题，也 可利用方程解的个数(或两函数图象的交点个数)求字母参数的 范围问题．
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(2)要使函数有意义，必须使 sin x－cos x≥0.(8 分) 利用图象．在同一坐标系中画出[0,2π]上 y＝sin x 和 y＝cos x 的图象，如图所示．(10 分)
在[0,2π]内，满足 sin x＝cos x 的 x 为4π，54π，再结合正弦、余弦 函数的图象． 所以定义域为x|4π＋2kπ≤x≤54π＋2kπ，k∈Z.(12 分)