河内塔超立方体二进制

河内塔超立方体二进制
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（一）河内塔
以前讲过河内塔，下图所示为一个有三个圆盘（从上到下分别为：a，b，c）的河内塔（也叫汗诺塔）。

从左侧立柱中移动到右侧立柱中，步骤可以表示为：
abacaba
（具体参见《魔法数学》一书的3-6节，本文后面会介绍这本书。

那里主要讲解了河内塔移动次数与圆盘个数之间的关系。

即2^n - 1。

而这个关系，也出现在“国际象棋棋盘上的麦粒“那个有名的问题当中。

今天这期内容则不管移动的次数，而要研究移动的模式。

）
（二）立方体
下图所示为一个立方体，它的八个顶点处均放置有不同口味的食物，一只蚂蚁想要尝遍所有顶点处的食物，它不想浪费时间和体力，也就是说，它想沿着立方体框架的棱爬到每一顶点处品尝食物而又不想走回头路。

下图是蚂蚁走过的路径。

它从左下角的顶点出发，沿着红、橙、黄、绿、青、蓝、紫的顺序，走过全部八个顶点，最终到达左上角。

蚂蚁走的路径很有规律，即先把下层四个顶点走遍，然后，沿两层之间的一条棱走到上一层中，再在这一层中尝遍所有美食。

如果把左右方向的棱用字母a表示，把前后方向的棱用字母b表示，把上下方向的棱用字母c表示，那么，蚂蚁行走的路径可以用代表棱的字母表示如下：
abacaba
（三）二进制
观察下表：
第一列是十进制数，从第二行到第八行中间三列为十进制数1到7的二进制表示。

比如十进制数1的二进制数表示为001，十进制数6的二进制数表示为110。

图中红色的“1”为每个二进制数中最后边的数字1。

如果把二进制数从右边数第一个数所在的列用a表示，第2个数用b表示，第三个数用c表示，那么，把这些红色的1所在的列的字母表示（a或b或c）再次写到表格的最右边一列中，于是，我们就得到了下面一列数：
abacaba
你发现没有，河内塔移动的前七步、蚂蚁在正方体棱上爬行的路径，都与二进制数有着相同的数学模式，也就是说两者是同构的。

这个是不是很神奇！下面还有更加神奇的呢。

（四）四维形式
如果把河内塔的圆盘数增加到4个，把正方体（三维）拓展到超
立方体（四维空间），那么，它们同样与二进制数有着相同的数学模式：
aba c aba d aba c aba
我们用超立方体来做个验证吧！
蚂蚁先在一个立方体中尝遍八个顶点的美食，然后，“跨界”，进入另一个立方体中。

蚂蚁选择的运动路径很有规律可循。

在我们所在的三维空间中，我们可以想像是有一只蚂蚁在一个立方体上沿着abacaba行走，尝遍八个顶点上的所有食物。

但在四维情况下，我们怎么也无法想像蚂蚁的行为是怎样的。

但如果我们把四维空间想像成是我们所在的三维空间再加上时间维度，那么，这里的四维空间就是四维时空。

这个四维时空，我们好像可以理解。

具体到这里，我们可以认为，蚂蚁尝遍立方体八个顶点上的食物后，停留在终点处睡觉。

过了一段时间（比如说一个小时），蚂蚁醒来，发现有人在八个项点处又放了八种不同的食物，也是蚂蚁爱吃的。

正好自己的小肚子也饿了。

于是，它又动身，先走路径a，再走b，然后是a，c，a，b，a。

又尝遍的新的八种食物。

对蚂蚁来说，第一次的立方体与一小时后的立方体是两个不同的立方体了，两者之间是靠什么联系起来的呢？是时间，时间线。

上图中的路径d，我们认为它是时间线。

我们还可以这样想：本来地球也是在运动的，一个小时后，立方体也不在原来的位置了，运动到了另一个地方，那么，每个顶点都划过时空。

这就是四维时空中的超立方体吧。

那么，我们上面那个十进制与二进制对照的表格，就需要在第1列的右侧插入一列：d列。

行数也要增加，从十进制数“8”所在行的
下面增加七行，分别对应于十进制数的9，10，11，12，13，14，15。

那么，十进制数“8”就对应于二进制数“1000”，......，十进制数“15”就对应于二进制数“1111”。

表格的最右边一列从上到下依次为：
aba c aba d aba c aba
（五）参考阅读
有关“河内塔”问题的具体内容，可以阅读《魔法数学》（第1季）一书。

这是一本电子书，可以在亚马逊的kindle上进行阅读，也可以在”微信读书“上进行阅读。

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（邵勇著）
2015年5月17日，亚马逊上线
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