施秉县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

施秉县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知f （x ）=4+a x ﹣1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是（ ） A ．（1，5） B ．（1，4） C ．（0，4） D ．（4，0）
2． 已知命题p ：存在x 0＞0，使2＜1，则￢p 是（ ）
A ．对任意x ＞0，都有2x ≥1
B ．对任意x ≤0，都有2x ＜1
C ．存在x 0＞0，使2≥1
D ．存在x 0≤0，使2
＜1
3． 已知，，那么夹角的余弦值（ ）
A ．
B ．
C ．﹣2
D ．﹣
4． 函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x
关于y 轴对称，则f （x ）=（ ） A ．e x+1 B ．e x ﹣1 C ．e ﹣x+1 D ．e ﹣x ﹣1
5． 在正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为1,BC BB 的中点，则下列直线中与直线
EF 相交
的是（ ）
A ．直线1AA
B ．直线11A B C. 直线11A D D ．直线11B
C 6． 下列关系正确的是（ ）
A ．1∉{0，1}
B ．1∈{0，1}
C ．1⊆{0，1}
D ．{1}∈{0，1}
7． 已知a ，b 是实数，则“a 2b ＞ab 2”是“＜”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8． 若复数（2+ai ）2（a ∈R ）是实数（i 是虚数单位），则实数a 的值为（ ） A ．﹣2 B ．±2 C ．0 D ．2
9． =（ ） A ．2
B ．4
C ．π
D ．2π
10．函数 y=x 2﹣4x+1，x ∈[2，5]的值域是（ ）
A ．[1，6]
B ．[﹣3，1]
C ．[﹣3，6]
D ．[﹣3，+∞）
11．已知向量(,1)a t =，(2,1)b t =+，若||||a b a b +=-，则实数t =（ ）
A.2-
B.1-
C. 1
D.
2
【命题意图】本题考查向量的概念，向量垂直的充要条件，简单的基本运算能力．
12．如图，函数f （x ）=Asin （2x+φ）（A ＞0，|φ|＜）的图象过点（0，
），则f （x ）的图象的一个对
称中心是（ ）
A ．（﹣，0）
B ．（﹣，0）
C ．（，0）
D ．（，0）
二、填空题
13．已知直线5x+12y+m=0与圆x 2
﹣2x+y 2
=0相切，则m= ．
14．（若集合A ⊊{2，3，7}，且A 中至多有1个奇数，则这样的集合共有 个．
15． 17．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．
16．如图，已知m ，n 是异面直线，点A ，B m ∈，且6AB =；点C ，D n ∈，且4CD =.若M ，N 分
别是AC ，BD 的中点，MN =m 与n 所成角的余弦值是______________.
【命题意图】本题考查用空间向量知识求异面直线所成的角，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力.
17．若函数()ln f x a x x =-在区间(1,2)上单调递增，则实数的取值范围是__________.
18．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且 仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是 .（注：结果请用数字作答）
【命题意图】本题考查计数原理、排列与组合的应用，同时也渗透了分类讨论的思想，本题综合性强，难度较大.
三、解答题
19．已知函数f （x ）=a ﹣，
（1）若a=1，求f （0）的值；
（2）探究f （x ）的单调性，并证明你的结论；
（3）若函数f （x ）为奇函数，判断|f （ax ）|与f （2）的大小．
20．（本题满分14分）已知两点)1,0(-P 与)1,0(Q 是直角坐标平面内两定点，过曲线C 上一点),(y x M 作y 轴的垂线，垂足为N ，点E 满足MN ME 3
2
=，且0=⋅. （1）求曲线C 的方程；
（2）设直线l 与曲线C 交于B A ,两点，坐标原点O 到直线l 的距离为
2
3
，求AOB ∆面积的最大值. 【命题意图】本题考查向量的基本运算、轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系，本题知识交汇性强，最值的求解有一定技巧性，同时还要注意特殊情形时三角形的面积．总之该题综合性强，难度大．
21．已知函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣1（a ＞0，e 为自然对数的底数）． （1）求函数f （x ）的最小值；
（2）若f （x ）≥0对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的值．
22．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．
23．已知f（x）=x2﹣（a+b）x+3a．
（1）若不等式f（x）≤0的解集为[1，3]，求实数a，b的值；
（2）若b=3，求不等式f（x）＞0的解集．
24．已知条件
4
:1
1
p
x
≤-
-
，条件22
:q x x a a
+<-，且p是的一个必要不充分条件，求实数
的取值范围．
施秉县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：令x ﹣1=0，解得x=1，代入f （x ）=4+a x ﹣1
得，f （1）=5，
则函数f （x ）过定点（1，5）． 故选A ．
2． 【答案】A
【解析】解：∵命题p ：存在x 0＞0，使2＜1为特称命题，
∴￢p 为全称命题，即对任意x ＞0，都有2x
≥1．
故选：A
3． 【答案】A
【解析】解：∵，
，
∴
=
，||=，
=﹣1×1+3×（﹣1）=﹣4，
∴cos ＜＞=
=
=﹣
，
故选：A ．
【点评】本题考查了向量的夹角公式，属于基础题．
4． 【答案】D
【解析】解：函数y=e x 的图象关于y 轴对称的图象的函数解析式为y=e ﹣x
，
而函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x
的图象关于y 轴对称， 所以函数f （x ）的解析式为y=e ﹣（x+1）
=e ﹣x ﹣1．即f （x ）=e ﹣x ﹣1．
故选D ．
5． 【答案】D 【解析】
试题分析：根据已满治安的概念可得直线11111,,AA A B A D 都和直线
EF 为异面直线，11B C 和EF 在同一个平面内，且这两条直线不平行；所以直线11B C 和EF 相交，故选D. 考点：异面直线的概念与判断.
6． 【答案】B
【解析】解：由于1∈{0，1}，{1}⊆{0，1}，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中正确理解集合元素与集合关系的实质，即元素满足集合中元素的性质，是解答本题的关键．
7．【答案】C
【解析】解：由a2b＞ab2得ab（a﹣b）＞0，
若a﹣b＞0，即a＞b，则ab＞0，则＜成立，
若a﹣b＜0，即a＜b，则ab＜0，则a＜0，b＞0，则＜成立，
若＜则，即ab（a﹣b）＞0，即a2b＞ab2成立，
即“a2b＞ab2”是“＜”的充要条件，
故选：C
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．
8．【答案】C
【解析】解：∵复数（2+ai）2=4﹣a2+4ai是实数，
∴4a=0，
解得a=0．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．
9．【答案】A
【解析】解：∵（﹣cosx﹣sinx）′=sinx﹣cosx，
∴==2．
故选A．
10．【答案】C
【解析】解：y=x2﹣4x+1=（x﹣2）2﹣3
∴当x=2时，函数取最小值﹣3
当x=5时，函数取最大值6
∴函数y=x2﹣4x+1，x∈[2，5]的值域是[﹣3，6]
故选C
【点评】本题考查了二次函数最值的求法，即配方法，解题时要分清函数开口方向，辨别对称轴与区间的位置关系，仔细作答
11．【答案】B
【解析】由||||a b a b +=-知，a b ⊥，∴(2)110a b t t ⋅=++⨯=，解得1t =-，故选B. 12．【答案】 B
【解析】解：由函数图象可知：A=2，由于图象过点（0，），
可得：2sin φ=，即sin φ=
，由于|φ|＜
，
解得：φ=
，
即有：f （x ）=2sin （2x+）．
由2x+
=k π，k ∈Z 可解得：x=
，k ∈Z ，
故f （x ）的图象的对称中心是：（，0），k ∈Z
当k=0时，f （x ）的图象的对称中心是：（，0），
故选：B ．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin （ωx+φ ）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，属于中档题．
二、填空题
13．【答案】8或﹣18
【解析】【分析】根据直线与圆相切的性质可知圆心直线的距离为半径，先把圆的方程整理的标准方程求得圆心和半径，在利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离为半径，求得答案．
【解答】解：整理圆的方程为（x ﹣1）2++y 2
=1 故圆的圆心为（1，0），半径为1 直线与圆相切
∴圆心到直线的距离为半径
即
=1，求得m=8或﹣18
故答案为：8或﹣18 14．【答案】 6
【解析】解：集合A 为{2，3，7}的真子集有7个，奇数3、7都包含的有{3，7}，则符合条件的有7﹣1=6个．
故答案为：6 【点评】本题考查集合的子集问题，属基础知识的考查．
15．【答案】
【解析】解：∵f （x ）=a x
g （x ）（a ＞0且a ≠1），
∴
=a x ， 又∵f ′（x ）g （x ）＞f （x ）g ′（x ），
∴（）′=＞0，
∴=a x 是增函数，
∴a ＞1，
∵
+=．
∴a 1+a ﹣1
=，解得a=或a=2．
综上得a=2．
∴数列{}为{2n }．
∵数列{
}的前n 项和大于62，
∴2+22+23+ (2)
==2n+1﹣2＞62，
即2
n+1
＞64=26
，
∴n+1＞6，解得n ＞5． ∴n 的最小值为6． 故答案为：6．
【点评】本题考查等比数列的前n 项和公式的应用，巧妙地把指数函数、导数、数列融合在一起，是一道好题．
16．【答案】512
【
解
析
】
17．【答案】2a ≥ 【解析】
试题分析：因为()ln f x a x x =-在区间(1,2)上单调递增，所以(1,2)x ∈时，()'10a
f x x
=
-≥恒成立，即a x ≥恒成立，可得2a ≥，故答案为2a ≥.1
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题. 18．【答案】48 【
解
析
】
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）a=1时：f （0）=1﹣
=；
（2）∵f （x ）的定义域为R ∴任取x 1x 2∈R 且x 1＜x 2
则f （x 1）﹣f （x 2）=a ﹣
﹣a+
=．
∵y=2x
在R 是单调递增且x 1＜x 2 ∴0＜2x1＜2x2，∴2x1﹣2x2
＜0，
2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0 即f （x 1）＜f （x 2）， ∴f （x ）在R 上单调递增．
（3）∵f （x ）是奇函数∴f （﹣x ）=﹣f （x ），
即a ﹣=﹣a+
，
解得：a=1． ∴f （ax ）=f （x ）
又∵f （x ）在R 上单调递增
∴x ＞2或x ＜﹣2时：|f （x ）|＞f （2）， x=±2时：|f （x ）|=f （2）， ﹣2＜x ＜2时：|f （x ）|＜f （2）．
【点评】本题考查的是函数单调性、奇偶性等知识的综合问题．在解答的过程当中充分体现了计算的能力、单调性定义的应用以及问题转化的能力．值得同学们体会和反思．
20．【答案】
【解析】（1）依题意知),0(y N ，∵)0,32()0,(3232x x -=-==
，∴),3
1
(y x E 则)1,(-=y x QM ，)1,3
1
(+=y x …………2分
∵0=⋅PE QM ，∴0)1)(1(31=+-+⋅y y x x ，即
1322
=+y x ∴曲线C 的方程为13
22
=+y x …………4分
21．【答案】
【解析】解：（1）∵f（x）=e x﹣ax﹣1（a＞0），∴f'（x）=e x﹣a，
由f'（x）=e x﹣a=0得x=lna，
由f'（x）＞0得，x＞lna，此时函数单调递增，
由f'（x）＜0得，x＜lna，此时函数单调递减，
即f（x）在x=lna处取得极小值且为最小值，
最小值为f（lna）=e lna﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1．
（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，
等价为f（x）min≥0，
由（1）知，f（x）min=a﹣alna﹣1，
设g（a）=a﹣alna﹣1，
则g'（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna，
由g'（a）=0得a=1，
由g'（x）＞0得，0＜x＜1，此时函数单调递增，
由g'（x）＜0得，x＞1，此时函数单调递减，
∴g（a）在a=1处取得最大值，即g（1）=0，
因此g（a）≥0的解为a=1，
∴a=1．
22．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，
∴平面AEC⊥平面PDB．
（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∴O，E分别为DB、PB的中点，
∴OE∥PD，，
又∵PD⊥底面ABCD，
∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，
在Rt△AOE中，，
∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．
23．【答案】
【解析】解：（1）∵函数f （x ）=x 2﹣（a+b ）x+3a ， 当不等式f （x ）≤0的解集为[1，3]时， 方程x 2﹣（a+b ）x+3a=0的两根为1和3， 由根与系数的关系得
，
解得a=1，b=3；
（2）当b=3时，不等式f （x ）＞0可化为 x 2﹣（a+3）x+3a ＞0， 即（x ﹣a ）（x ﹣3）＞0；
∴当a ＞3时，原不等式的解集为：{x|x ＜3或x ＞a}； 当a ＜3时，原不等式的解集为：{x|x ＜a 或x ＞3}； 当a=3时，原不等式的解集为：{x|x ≠3，x ∈R}．
【点评】本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法和应用问题，是基础题目．
24．【答案】[]1,2-． 【解析】
试题分析：先化简条件p 得31x -≤<，分三种情况化简条件，由p 是的一个必要不充分条件，可分三种情况列不等组，分别求解后求并集即可求得符合题意的实数的取值范围.
试题解析：由
4
11
x ≤--得:31p x -≤<，由22x x a a +<-得()()10x a x a +--<⎡⎤⎣⎦，当12a =时，:q ∅；当12a <时，():1,q a a --；当1
2a >时，():,1q a a --
由题意得，p 是的一个必要不充分条件，
当12a =时，满足条件；当12a <时，()[)1,3,1a a --⊆-得11,2a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭
，
当12a >
时，()[),13,1a a --⊆-得1,22a ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
综上，[]1,2a ∈-． 考点：1、充分条件与必要条件；2、子集的性质及不等式的解法.
【方法点睛】本题主要考查子集的性质及不等式的解法、充分条件与必要条件，属于中档题,判断p 是的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件，二是由条件能否推得条件p .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．本题的解答是根据集合思想解不等式求解的.。