最新人教版九年级初三数学上册小专题(七)《旋转中的计算与证明》提升练习题

小专题(七)旋转中的计算与证明
类型1基于“半角”的旋转
在很多题目中都有这样的题设条件：一个大角中有一个共顶点的小角，小角正好是大角的一半(如例1)．当面对这样的信息时，往往可以考虑使用旋转变换，并且旋转后，多半还有一对轴对称的全等三角形出现，此时，很多问题即可迎刃而解了．总结此类问题解题的思路即是：半角信息——带形旋转——轴对称的全等三角形．
【例1】如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于O.设E，F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE，BF和EF之间的数量关系，并证明．
【思路点拨】将△OFB绕点O顺时针旋转90°，得△OHA.连接HE，利用条件可证△EOH≌△EOF，从而得EH ＝EF.然后在Rt△AEH中，利用勾股定理得EH2＝AH2＋AE2，进而得出结论．
1．已知在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD′，连接D′E.
(1)如图1，当∠BAC＝120°时，∠DAE＝60°时，求证：DE＝D′E；
(2)如图2，当DE＝D′E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．
(3)如图3，在(2)的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△D′EC是等腰直角三角形？(直接写出结论，不必说明理由)
类型2基于“等边三角形”的旋转
方法归纳：将等边三角形内的一个小三角形，旋转60度，从而使小三角形的一边与原等边三角形的边重合，连接小三角形的钝角顶点，得三角形．通过旋转将不相关的线段转化到同一个三角形中，将分散的已知条件集中起来，使问题得以解决．
【例2】如图，点P为等边△ABC内一点，且PA＝2，PB＝1，PC＝3，求∠APB的度数．
【思路点拨】将△APC绕点A顺时针旋转60°，得△ADB.连接DA，DP，DB，得AD＝AP，DB＝PC＝3，∠DAP＝60°.从而可证△ADP为等边三角形，所以DP＝AP＝2，∠DPA＝60°.在△DPB中，利用勾股定理逆定理可得∠DBP＝90°，∠DPB＝60°.从而可得∠APB＝120°.
2．如图所示，点P是等边△ABC内一点，PB＝2，PC＝1，∠BPC＝150°，求PA的长．
3．如图所示，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC ＝120°的等腰三角形，以D 为顶点作一角等于60°.角的两边分别交AB 、AC 于M 、N ，连接MN ，构成一个△AMN ，求△AMN 的周长．
参考答案
【例1】 AE 2＋BF 2＝EF 2.证明：将△OFB 绕点O 顺时针旋转90°，得△OHA.连接HE ，∴OH ＝OF ，AH ＝BF ，∠BOF ＝∠AOH ，∠HOF ＝90°.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAB ＝90°，∠AOB ＝90°.∵∠EOF ＝45°，∴∠AOE ＋∠BOF ＝∠AOB －∠EOF ＝90°－45°＝45°.∴∠AOE ＋∠AOH ＝∠EOH ＝45°.∴∠EOH ＝∠EOF.在△EOH 和△EOF 中，OH ＝OF ，∠EOH ＝∠EOF ，OE ＝OE ，∴△EOH ≌△EOF(SAS)．∴EF ＝EH.∵在Rt △AEH 中，由勾股定理得EH 2＝AH 2＋AE 2，AH ＝BF ，∴AE 2＋BF 2＝EF 2.
1.(1)证明：∵△ABD 绕点A 旋转得到△ACD′，∴AD ＝AD′，∠CAD ′＝∠BAD.∵∠BAC ＝120°，∠DAE ＝60°，∴∠D ′AE ＝∠CAD ′＋∠CAE ＝∠BAD ＋∠CAE ＝∠BAC －∠DAE ＝120°－60°＝60°.∴∠DAE ＝∠D′AE.在△ADE 和△AD′E 中，AD ＝AD′，∠DAE ＝∠D′AE ，AE ＝AE ，∴△ADE ≌△AD ′E(SAS)．∴DE ＝D′E.
(2)∠DAE ＝12
∠BAC.理由如下：在△ADE 和△AD′E 中，AD ＝AD′，AE ＝AE ，DE ＝D′E ，∴△ADE ≌△AD ′E(SSS)．∴∠DAE ＝∠D′AE.∴∠BAD ＋∠CAE ＝∠CAD′＋∠CAE ＝∠D′AE ＝∠DAE.∴∠DAE ＝12
∠BAC. (3)∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ＝∠ACD′＝45°.∴∠D ′CE ＝45°＋45°＝90°.∵△D ′EC 是等腰直角三角形，∴D ′E ＝2CD ′.由(2)可得DE ＝D′E ，∵△ABD 绕点A 旋转得到△ACD′，∴BD ＝CD′.∴DE ＝2BD.
【例2】 ∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAC ＝60°.将△APC 绕点A 顺时针旋转60°，得△ADB.连接DA ，DP ，DB ，得AD ＝AP ＝2，DB ＝PC ＝3，∠DAP ＝60°.∴△ADP 为等边三角形，所以DP ＝AP ＝2，∠DPA ＝60°.在△DPB 中，DB ＝3，BP ＝1，DP ＝2，∴DP 2＋BP 2＝DB 2.∴∠DBP ＝90°，∠DPB ＝60°.∴∠APB ＝∠DPB ＋∠DPA ＝60°＋60°＝120°.
2.将△APC 绕点C 按逆时针旋转60°，使CA 移至CB 处，PC 移到P ′C ，PA 移到P′B.∵∠PCP′＝60°，∴△PCP ′是等边三角形．∴∠P′PC ＝60°，PP ′＝PC ＝1.∵∠BPC ＝150°，∴∠BPP ′＝90°.在Rt △BP ′P 中，BP ＝2，PP ′＝PC ＝1，由勾股定理得P′B ＝22＋1＝5＝PA.∴PA ＝ 5.
3.因为△ABC 为等边三角形，△DBC 为等腰三角形，∠BDC ＝120°，所以以D 为旋转中心，按顺时针方向将△DBM 旋转120°如图，且N 、C 、E 三点在同一条直线上．所以DM ＝DE ，CE ＝BM ，∠BDM ＝∠CDE.因为∠MDN ＝60°，所以∠BDM ＋∠NDC ＝60°.所以∠NDE ＝60°.在△DMN 和△DEN 中，DM ＝DE ，∠MDN ＝∠EDN ，DN ＝DN ，所以△DMN ≌△DEN.所以NE ＝MN.所以△AMN 的周长＝AM ＋MN ＋AN ＝AM ＋NE ＋AN ＝AM ＋NC ＋CE ＋AN ＝AM ＋NC ＋MB ＋AN.即△AMN 的周长＝AB ＋AC.因为AB ＝AC ＝1，故△AMN 的周长为2.
良好的学习态度能够更好的提高学习能力。

良好的学习态度应该包括：
1、主动维持学习的兴趣，不断提升学习能力。

2、合理安排学习的时间。

3、诚挚尊重学习的对象，整合知识点。

4、信任自己的学习能力，制定学习复习计划。

5、不急于求成。

做题反思。

做题的时候要学会反思、归类、整理出对应的解题思路。

遇到错的题(粗心做错也好、不会做也罢)，最好能把这些错题收集起来，每个科目都建立一个独立的错题集(错题集要归类)，当我们进行考前复习的时候，它们是重点复习对象，保证不再同样的问题上再出错、再丢分。

因此，良好的学习态度的养成，应该从养成良好的学习习惯开始。

无论是初学者，还是学有所成者，都应该有一个良好的学习态度，都应该有一个良好的学习习惯。