2016-2017学年上海市闸北区风华中学高三(上)期中数学试卷及解析

2016-2017学年上海市闸北区风华中学高三（上）期中数学试卷注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、选择题
U的两个子集，则图中阴影部分可表示为（）
A.∁
U
A∪（A∩B）
B.∁
U A∩∁
U
B
C.∁
U A∪∁
U
B
D.∁
U
（A∪B）∪（A∩B）
2.已知sinα=3
5，则sin(π
2
+α)的值为（）
A.±4
5 B.．−4
5 C.．4
5 D.．−3
5
3.等差数列{a
n }和等比数列{b
n
}的首项为相等的正数，若a
2n+1
=b
2n+1
，则a
n+1
与
b
n+1
的关系为（）
A.a
n+1≥b
n+1
B.a
n+1＞b
n+1
C.a
n+1＜b
n+1
D.a
n+1≤b
n+1
4.已知函数f（x）= x+1
x−1，若g（x）=f﹣1（1
x
），则g（x）（）
A.在（﹣1，+∞）上是增函数
B.在（﹣1，+∞）上是减函数
C.在（﹣∞，1）上是增函数
D.在（﹣∞，1）上是减函数
5.设函数f（x）=3sinx+2cosx+1．若实数a，b，c使得af（x）+bf（x﹣c）=1对任意实数x恒成立，则bcosc
a
的值为（）
A.﹣1
B.1
2
C.1
D.−1
2
第II卷（非选择题）
二、解答题
30天中，其销售价格P（元）和时间t（天）（t∈N）的关系如图所示
（1）写出销售价格P（元）和时间t（天）的函数解析式；
（2）若日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是Q=﹣t+40（0≤t≤30，t∈N），求该商品的日销售金额y（元）与时间t（天）的函数解析式；
（3）问该产品投放市场第几天时，日销售金额最高？最高值为多少元？
7.已知f（x）=sin（x+ π
6）+sin（x﹣π
6
）+cosx+a（a∈R，a是常数）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若a=0，作出y=f（x）在[﹣π，π]上的图象；
（3）若x∈[﹣π
2，π
2
]时，f（x）的最大值为1，求a的值．
8.设a∈R，f（x）= a⋅2x−a−2
2x+1
为奇函数．
（1）求函数F（x）=f（x）+2x﹣4
2x+1
﹣1的零点；
（2）设g（x）=2log
2（1+x
k
），若不等式f﹣1（x）≤g（x）在区间[ 1
2
，2
3
]
上恒成立，求实数k的取值范围．
9.数列{a
n }的各项均为正数，a
1
=t，k∈N*，k≥1，p＞0，
a n +a
n+1
+a
n+2
+…+a
n+k
=6•p n．
（1）当k=1，p=5时，若数列{a
n
}成等比数列，求t的值；
（2）设数列{a
n }是一个等比数列，求{a
n
}的公比及t（用p、k的代数式表示）；
（3）当k=1，t=1时，设T
n =a
1
+ a2
p
+ a3
p2
+…+ a n−1
p n−2
+ a n
p n−1
，参照教材上推导等
比数列前n项和公式的推导方法，求证：{ 1+p
p •T
n
﹣a n
p n
﹣6n}是一个常数．
三、填空题
n a
10
=30，a
20
=50，则通项a
n
=
11.设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）．
12.若集合M={0，2，3，7}，N={x|x=ab，a∈M，b∈M}，则集合N的子集最多
有个．
13.设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线x=1
2对称，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=
14.关于x的方程﹣3cos2x+5sinx+1=0的解集为．
15.数列{b
n }中，b
1
=1，b
2
=5且b
n+2
=b
n+1
﹣b
n
（n∈N*），则b
2016
=
16.在Rt△ABC中，∠C=90°，则a+b
c 的取值范围是
17.已知各项为正数的等比数列{a
n }满足：a
7
=a
6
+2a
5
，若存在两项a
m
、a
n
使得
√a m⋅a n=2√2a1，则1
m +4
n
的最小值为．
18.定义：若m﹣1
2＜x ≤m+1
2
（m∈Z），则m叫做离实数x最近的整数，
记作{x}，即m={x}，关于函数f（x）=x﹣{x}的四个命题：①定义域为R，值
域为（﹣1
2，1
2
]；②点（k，0）是函数f（x）图象的对称中心（k∈Z）；
③函数f（x）的最小正周期为1；④函数f（x）在（﹣1
2，3
2
]上是增函
数．上述命题中，真命题的序号是
19.设数列{a
n }的前n项和为S
n
，若a
1
=1，S
n
+ 1
2
=1
2
a(n∈N∗)
n+1，则{a n}的
通项公式为
参考答案
1.D
【解析】1.解：∵图中阴影部分所表示的集合中的元素为∁
U
（A∪B）∪（A∩B）故选：D
2.A
【解析】2.解：已知sinα=3
5，sin(π
2
+α)=cosα= ±√1−sin2α =
±√1−(3
5)2 = ±4
5
．
故选A．3.A
【解析】3.解：设a
1=b
1
=m＞0，a
2n+1
=b
2n+1
=t，
则，
，
∴t＞0，
则由基本不等式可得：a
n+1≥b
n+1
．
故选：A．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等差数列的通项公式（及其变式）的相
关知识，掌握通项公式：或
，以及对等比数列的通项公式（及其变式）的理解，
了解通项公式：．
4.C
【解析】4.解：∵f（x）= x+1
x−1
，
∴f﹣1（x）= x+1
x−1
，
∴g（x）=f﹣1（1
x ）= 1+x
1−x
=1+ 2x
1−x
，
∴g（x）在（﹣∞，1）上是增函数．
故选：C．
【考点精析】掌握函数单调性的判断方法是解答本题的根本，需要知道单调性
的判定法：①设x
1,x
2
是所研究区间内任两个自变量，且x
1
＜x
2
；②判定f(x
1
)
与f(x
2
)的大小；③作差比较或作商比较．
5.A
【解析】5.解：由题设可得f（x）= √13 sin（x+θ）+1，f（x﹣c）= √13
sin（x+θ﹣c）+1，其中cosθ=
√13√13（0＜θ＜π
2
），
∴af（x）+bf（x﹣c）=1可化成√13 asin（x+θ）+ √13 bsin（x+θ﹣c）+a+b=1，
即 √13 （a+bcosc ）sin （x+θ）﹣ √13 bsinccos （x+θ）+（a+b ﹣1）=0，
由已知条件，上式对任意x∈R 恒成立，故必有 ，
若b=0，则式（1）与式（3）矛盾； 故此b≠0，由（2）式得到：sinc=0， 当cosc=1时，有矛盾，故cosc=﹣1， 由①③知a=b= 1
2 ， 则
bcosc
a
=﹣1． 故选A
【考点精析】解答此题的关键在于理解两角和与差的正弦公式的相关知识，掌握两角和与差的正弦公式：． 6.
（1）解：由题意：根据图象可知该销售价格P （元）和时间t （天）分段的两条直线，
设P 1=k 1t+b 1，图象过（0，19）和（25，44）， 即得：19=k 1×0+b 1，44=k 1×25+b 1， 解得：b 1=19，k 1=1，
则P 1=t+19，（0≤t＜25）
设P 2=k 2t+b 2，图象过（25，75）和（30，70）， 即得： {
75=k 2×25+b 2
70=k 2×30+b 2
，
解得：k 2=﹣1，b 2=100，
则P 2=﹣t+100，（25≤t≤30）．
∴销售价格P （元）和时间t （天）的函数解析式为P=
{t +19,(0≤t <25)−t +100,(25≤t ≤30)
（2）解：日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系是Q=﹣t+40（0≤t≤30，t∈N），
则销售金额y=P•Q= {
(t +19)(−t +40),(0≤t <25)
(−t +100)(−t +40),(25≤t ≤30)
（3）解：由（2）可知：当0≤t＜25时，日销售金额y=﹣t 2+21t+760， 当t=10或11天时，日销售金额y 最大为870元． 当25≤t≤30时，日销售金额y=t 2﹣140t+4000， 当t=25天时，日销售金额y 最大为1125元．
∴该产品投放市场第25天时，日销售金额最高，最高值1125元
【解析】6.（1）根据图象可知该销售价格P （元）和时间t （天）分段的两条直线，设出函数解析式求解即可．（2）销售金额y=PQ 化解可得函数解析式；（3）利用二次函数的性质求解日销售金额最高值．
（1）解：∵f（x ）=sin （x+ π6 ）+sin （x ﹣ π
6 ）+cosx+a ， =sinxcos π
6 +cosxsin π
6 +sinxcos π
6 ﹣cosxsin π
6 +cosx+a ， = √3，
=2sin （x+ π
6 ）+a ，
∴函数f （x ）的最小正周期T= 2π
ω =2π
（2）解：当a=0时，y=f （x ）=2sin （x+ π
6 ）
（3）解：由x∈[﹣ π2 ， π2 ]时，由（2）可知：当x+ π6 = π2 ，即x= π
3 时，f （x ）取得最大值，最大值为2+a ， ∴a+2=1，即a=﹣1， ∴a 的值﹣1
【解析】7.（1）由题意可知：f （x ）=sin （x+ π6 ）+sin （x ﹣ π
6 ）+cosx+a ，利用两角和差的正弦公式及辅助角公式，即可求得f （x ）=2sin （x+ π
6 ）+a ，由函数f （x ）的最小正周期T= 2π
ω =2π；（2）由当a=0，y=f （x ）=2sin （x+
π
6
），采用五点作图法，即可求得y=f （x ）在[﹣π，π]上的图象；（3）由（2）可知：y=f （x ）在[﹣ π2 ， π2 ]上的图象可知，当x+ π6 = π2 ，即x= π
3
时，f （x ）取得最大值，最大值为2+a ，则a+2=1，可得a 的值﹣1．
（1）解：∵f（x ）是奇函数 ∴f（0）=0
∴a=1，f （x ）= 2x −1
2x +1
F （x ）= 2x −1
2x +1 +2x −42x
+1
−
1 = 22x +2x −61+2x
由22x +2x ﹣6=0=0，可得2x =2，所以，x=1， 即F （x ）的零点为x=1
（2）解：f ﹣1（x ）= log 21+x
1−x ，在区间[ 12,2
3 ]上，由f ﹣1（x ）≤g（x ）恒成立，
∴ log 21+x
1−x
≤2log 21+x k 恒成立，即 1+x
1−x
≤
(1+x k )2
恒成立
即k 2≤1﹣x 2，x∈[ 12,2
3 ]，
∴ k 2
≤59 ，k ＞0，
所以0＜k≤ √5
3
【解析】8.由f （x ）是奇函数，可得f （0）=0，可求a ，进而可求f （x ）（1）令F （x ）=0可求函数F （x ）的零点（2）由f ﹣1（x ）≤g（x ）恒成立，可得
log 21+x
1−x ≤2log 2
1+x
k
恒成立，可得k 2≤1﹣x 2 ， x∈[ 12,2
3 ]恒成立，只要
k 2≤（1﹣x 2）min 即可求解
【考点精析】本题主要考查了函数奇偶性的性质和函数的零点的相关知识点，需要掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇；函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点才能正确解答此题． 9.
（1）解：a n +a n+1=6•5n ， a n+1+a n+2=6•5n+1，
设等比数列（a n }的公比是q ， 则a n +a n+1=6•5n •5， ∴q=5，
n=1时，t+5t=30，∴t=5
（2）解：a n +a n+1+a n+2+…+a n+k =6p n ， a n+1+a n+2+a n+3+…+a n+1+k =6p n+1，
数列{a n }是一个等比数列，所以求出公比为p ， ∴t（p n ﹣1+p n +…+p n+k ﹣1）=6p n ，
项数为n+k ﹣1﹣（n ﹣1）十1=k+1项， 当p=1时，t （k+1）=6，
∴t=
6
k+1
， 当p≠1，且p ＞0时，t p n−1(1−p k+1)1−p
=6p n
，
∴t= 6p(1−p)
1−p k+1
（3）证明：∵n 是任意的正整数，当n=1时， a 1+a
2p =6P 1=6， 依此类推，当n 取n ﹣1项时，
a n−1+a n p n−1 = 6p n
p n−1
=6， ∴T n =a 1+ a 2p + a 3p 2 +…+ a n−1p n−2 + a n
p n−1 ， 1p T n = a 1p + a 2p 2 + a 3p 3 +…+ a n−1p n−2 + a n p n =a 1+ a 1+a 2p + a 2+a 3p 2 +…+ a n−1+a n p n−1 + a n p n
， ∴（1+ 1p ）T n =2a 1+ a 1+2a 2p + a 2+2a 3p 2 +…+ a n−1+a n p n−1 + a n p n =a 1
+6n ﹣6+ a n
p n
， ∴ 1+p p T n ﹣ a
n p n
﹣6n=a 1﹣6=﹣5
【解析】9.（1）由a n +a n+1=6•5n ， a n+1+a n+2=6•5n+1 ， 得到等比数列（a n }的公比q=5，由此能求出t 的值．（2）a n +a n+1+a n+2+…+a n+k =6p n ，
a n+1+a n+2+a n+3+…+a n+1+k =6p n+1 ， 数列{a n }是一个等比数列，所以求出公比为p ，由
此能求出t ．（3）由T n =a 1+ a 2p + a 3p 2 +…+ a n−1
p n−2 + a n p n−1
， 1
p T n =a 1+ a 1+a 2
p
+ a 2+a 3p 2 +…+ a n−1+a n p n−1 + a n p n ，由此能够证明 1+p p T n ﹣ a n
p n
﹣6n=a 1﹣6=﹣5． 【考点精析】本题主要考查了等比数列的通项公式（及其变式）和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握通项公式：；如果数列a n 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题． 10.2n+10
【解析】10.解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 10=30，a 20=50， ∴a 1+9d=30，a 1+19d=50， 联立解得a 1=12，d=2．
则通项a n =12+2（n ﹣1）=2n+10． 所以答案是：a n =2n+10． 所以答案是：2n+10．
【考点精析】本题主要考查了等差数列的通项公式（及其变式）的相关知识点，需要掌握通项公式：
或
才能正确解答此题．
11.充分不必要
【解析】11.解：q ：2x ＞1⇔q ：x ＞0， 又p ：1＜x ＜2，
∴p 是q 充分不必要条件， 所以答案是：充分不必要．
12.128
【解析】12.解：由集合M={0，2，3，7}，N={x|x=ab ，a∈M，b∈M}，得 集合N={0，6，14，21，4，9，49}， 则集合N 的子集有：2n =27=128个． 故答案是：128．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用子集与真子集的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握任何一个集合是它本身的子集；n 个元素的子集有2n 个,n 个元素的真子集有2n －1个,n 个元素的非空真子集有2n －2个． 13.0
【解析】13.解：f （x ）是定义在R 上的奇函数，且y=f （x ）的图象关于直线
x =1
2
对称，
∴f（﹣x ）=﹣f （x ）， ， ∴f（﹣x ）=f （1+x ）=﹣f （x ）f （2+x ）=﹣f （1+x ）=f （x ）， ∴f（0）=f （1）=f （3）=f （5）=0，f （0）=f （2）=f （4）=0， 所以f （1）+f （2）+f （3）+f （4）+f （5）=0 所以答案是：0
14.{x|x=arcsin 1
3 +2kπ，或x=π﹣arcsin 1
3 +2kπ，k∈Z}
【解析】14.解：方程﹣3cos 2x+5sinx+1=0可化为：方程3sin 2x+5sinx ﹣2=0， 解得：sinx= 1
3 ，或sinx=﹣2（舍去），
∴x=arcsin 1
3 +2kπ，或x=π﹣arcsin 1
3 +2kπ，k∈Z，
所以答案是：{x|x=arcsin 1
3 +2kπ，或x=π﹣arcsin 1
3 +2kπ，k∈Z}
15.-6
【解析】15.解：∵b 1=1，b 2=5且b n+2=b n+1﹣b n （n∈N *）， ∴b 3=4，b 4=﹣1，b 5=﹣5，b 6=﹣4，b 7=1，b 8=5，…， ∴b n+6=b n ．
则b 2016=b 335×6+6=b 6=﹣4． 所以答案是：﹣6．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的通项公式(如果数列a n 的第n 项
与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式)． 16.（1， √2 ）
【解析】16.解：∵Rt△ABC 中，∠C=90°，可得：sinB=cosA ，sinC=1， ∴
a+b c = sinA+sinB
sinC
=sinA+cosA= √2 sin （A+45°）， ∵A∈（0°，90°），
∴A+45°∈（45°，135°），
∴sin（A+45°）∈（ √2
2 ，1），
∴ a+b
c
= √2 sin（A+45°）∈（1，√2）．
所以答案是：（1，√2）．
【考点精析】通过灵活运用正弦定理的定义，掌握正弦定理:
即可以解答此题．
17.11
6
【解析】17.解：设等比数列的公比为q，则由 a
7=a
6
+2a
5
，可得到 a
6
q=a
6
+2
a6
q
，
由于 a
n ＞0，所以上式两边除以a
6
得到q=1+ 2
q
，解得q=2或q=﹣1．
因为各项全为正，所以q=2．
由于存在两项 a
m ， a
n
使得√a m⋅a n=2√2a1，所以，a m•a n=8 a12，
即a1q m−1• a1q n−1 =8 a12，∴q m+n﹣2=8，∴m+n=5．
当 m=1，n=4时，1
m +4
n
=2；当 m=2，n=3时，1
m
+4
n
= 11
6
；当 m=3，n=2
时，1
m +4
n
= 7
3
；
当 m=4，n=1时，1
m +4
n
= 17
4
．
故当 m=2，n=3时，1
m +4
n
取得最小值为11
6
，
所以答案是11
6．
【考点精析】本题主要考查了基本不等式和等比数列的基本性质的相关知识点，需要掌握基本不等式：,（当且仅当时取到等
号）；变形公式：；{a
n}
为等比数列，则下标成等
差数列的对应项成等比数列;{an}既是等差数列又是等比数列== {a
n}
是各项不为零的常数列才能正确解答此题．
18.①③
【解析】18.解：①中，令x=m+a，a∈（﹣1
2，1
2
]
∴f（x）=x﹣{x}=a∈（﹣1
2，1
2
]
所以①正确；
②中，∵f（2k﹣x）=（2k﹣x）﹣{2k﹣x}=（﹣x）﹣{﹣x}=
，
∴点（k，0）（k∈Z）不是y=f（x）的图象的对称中心；故②错；
③中，∵f（x+1）=（x+1）﹣{x+1}=x﹣{x}=f（x）
所以周期为1，故③正确；
④中，x=﹣1
2
时，m=﹣1，
f（﹣1
2）= 1
2
x= 1
2
时，m=0，
f（1
2）= 1
2
所以f（﹣1
2）=f（1
2
）
所以④错误．
所以答案是：①③．
【考点精析】认真审题，首先需要了解命题的真假判断与应用(两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系)．
19.a n=3n−1,n∈N∗
【解析】19.解：∵数列{a
n }的前n项和为S
n
， a
1
=1，S
n
+ 1
2
=1
2
a(n∈N∗)
n+1，
∴当n≥2时，a
n =S
n
﹣S
n﹣1
= 1
2
a n+1−1
2
a n，
即3a
n =a
n+1
，
∴{a
n
}是首项为1，公比为3的等比数列，
∴ a n=3n−1,n∈N∗．
所以答案是：a n=3n−1,n∈N∗．
【考点精析】通过灵活运用数列的通项公式，掌握如果数列a
n
的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．。