人教新课标版数学高三必修2第1章 学业分层测评6柱体、锥体、台体的表面积与体积

学业分层测评(六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( ) A.4
3π B.8π3 C ．43π
D ．323π
【解析】 设正方体边长为a ，由题意可知，6a 2＝24，∴a ＝2. 设正方体外接球的半径为R ，则
3a ＝2R ，∴R ＝3，∴V 球＝4
3πR 3＝43π. 【答案】 C
2．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．2∶3 B ．4∶9 C.2∶ 3
D.8∶27
【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫43πr 3∶⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3＝r 3∶R 3
＝8∶27，
∴r ∶R ＝2∶3，∴S 1∶S 2＝r 2∶R 2＝4∶9. 【答案】 B
3．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．12π B.32
3π C ．8π
D ．4π
【答案】 A [设正方体棱长为a ，则a 3＝8，所以a ＝2.
所以正方体的体对角线长为23，所以正方体外接球的半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2＝12π，故选A.]
4．一平面截一球得到直径是6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm ，
则该球的体积是( )
A.100π
3 cm 3 B.208π
3 cm 3 C.500π
3 cm 3
D.41613π3
cm 3
【解析】 根据球的截面性质，有R ＝r 2＋d 2＝
32＋42＝5，
∴V 球＝43πR 3＝500
3π(cm 3)． 【答案】 C
5．等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，它们的表面积的大小关系是( )
A ．S 球<S 圆柱<S 正方体
B ．S 正方体<S 球<S 圆柱
C ．S 圆柱<S 球<S 正方体
D ．S 球<S 正方体<S 圆柱
【解析】 设等边圆柱底面圆半径为r ， 球半径为R ，正方体棱长为a ，
则πr 2·2r ＝43πR 3＝a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫R r 3
＝32，⎝ ⎛⎭⎪⎫
a r 3
＝2π，
S 圆柱＝6πr 2，S 球＝4πR 2，S 正方体＝6a 2， S 球
S 圆柱＝4πR 26πr 2＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫
R r 2
＝323<1， S 正方体S 圆柱
＝6a 26πr 2＝1π·⎝ ⎛⎭⎪⎫a r 2＝34π>1，故选A.
【答案】 A 二、填空题
6．一个几何体的三视图(单位：m)如图1-3-19所示，则该几何体的体积为________m 3.
图1-3-19
【解析】 由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为3
2； 上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1， 所以V ＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫
323
×2＋1×3×6＝9π＋18.
【答案】 9π＋18
7．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6 cm ，深为1 cm 的空穴，则该球半径是________cm ，表面积是________cm 2.
【解析】 设球心为O ，OC 是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为D ，AB 为小圆D 的一条直径，设球的半径为R ，则OD ＝R －1，
则(R －1)2＋32＝R 2， 解得R ＝5 cm ，
所以该球表面积为S ＝4πR 2＝4π×52＝100π(cm 2)． 【答案】 5 100π 三、解答题
8．如图1-3-20，一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm ，瓶里所装的水深为8 cm ，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm ，求钢球的半径．
图1-3-20
【解】 设球的半径为R ，由题意可得 43
πR 3＝π×32×0.5， 解得R ＝1.5(cm)，所以所求球的半径为1.5 cm.
9．如图1-3-21所示(单位：cm)四边形ABCD 是直角梯形，求图中阴影部分绕AB 旋转一周所成几何体的表面积和体积．
图1-3-21
【解】 12S 球＝1
2×4π×22＝8π(cm 2)， S 圆台侧＝π(2＋5)
(5－2)2＋42＝35π(cm 2)，
S 圆台下底＝π×52＝25π(cm 2)， 即该几何体的表面积为 8π＋35π＋25π＝68π(cm 2)．
又V 圆台＝π
3×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm 3)， V 半球＝12×4π3×23＝16π
3(cm 3)． 所以该几何体的体积为
V 圆台－V 半球＝52π－16π3＝140π
3(cm 3)．
[能力提升]
10．如图1-3-22，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π
3，则它的表面积是( )
图1-3-22
A ．17π
B ．18π
C ．20π
D ．28π
【答案】 A [由三视图可知其对应几何体应为一个切去了18部分的球，由43πr 3×78＝28π
3，得r ＝2，所以此几何体的表面积为4πr 2×78＋3×1
4πr 2＝17π，故选A.]
11．轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积.
【解】 如图所示，作出轴截面， 因为△ABC 是正三角形， 所以CD ＝1
2AC ＝2，
所以AC ＝4，AD ＝3
2×4＝23， 因为Rt △AOE ∽Rt △ACD ， 所以OE AO ＝CD AC .
设OE ＝R ，则AO ＝23－R ， 所以R 23－R ＝12
，所以R ＝23
3.
所以V球＝4
3πR 3＝43π·
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
23
3
3
＝323π
27.
所以球的体积等于323π
27.。