例如、求前n个奇数的和

2)1(+⨯=n n s n 2
)1(+⨯=n n s
n 例如、求前n 个奇数的和。

如用S(n)表示前n 个奇数的和，则
S(1)=1,
S(2)=1+3=4,
S(3)=1+3+5=9,
S(4)=1+3+5+7=16,
S(5)=1+3+5+7+9=25。

可以看出，当n 取1，2，3，4，5时， S(n)= n2。

因此可以归纳出求前n 个奇数的和的一般规律，即S(n)= n2。

17世纪著名的德国数学家莱布尼兹曾证明，对于所有的正整数n ，数n3-n 能被3整除，数n5-n 能被5整除，数n7-n 能被7整除，因此他猜测：对所有的奇数k 和任意的自然数n ，数nk-n 能被k 整除。

29-2=510不能被9整除
要证明对所有的n 都成立，就必须使用下面介绍的数学归纳法．
1、证明当n 取第一个值n0时结论正确。

2、假设当n=k 时结论成立，证明当n=k+1时结论也成立。

证明：
１、当n=１时，左边＝１，右边＝１，此时等式成立。

２、假设当n=k 时等式成立，即１＋３＋５＋…＋（２k-1)=k2 ，
那么当n=k+1时
１＋３＋５＋…＋（２k-1）+[2(k+1)-1]
=k2+ 2(k+1)-1
=k2+ 2k+1
=(k+1)2
探索数字特征
练习1古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，根据它的规律，则第100个三角形数为
观察这一组数有以下特征：
1＝1，3＝1+2，6＝1+2+3，10＝1+2+3+4，……
由此可以猜想第100个三角形数是
1+2+3+4+……+100=5050
练习2如图1，是棱长为a 的小正方体，图2，图3由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第一层、第二层、……、第n 层，第n 层的小正方体的个数记为sn ．写出当n=10时， s10 =( ).
1 3 6 10…
2
)
1(1+⨯+=n n s n )(2)1(2)1()11(是点数n n n n n s n -⨯=-⨯-+=把边长为3的正三角形各边三等分，分别得到图①，图中含有1个边长是1的正六边形；把边长为4的正三角形各边四等分，分别得到图②，图中含有3个边长是1的正六边形；把边长为5的正三角形各边五等分，分别得到图③，图中含有6个边长是1的正六边形；……以此规律，把边长为7的正三角形各边七等分，并按同样的方法分割，得到的图形中含有____15___个边长是1的正六边形.
练习4 将Ln 定义为求在一个平面中用n 条直线所能确定的最大区域数目。

例如：当n=1时，L1=2，进一步考虑，用n 条直线，放在平面上，能确定的最大区域数目Ln 是多少？
2=1+1
4=1+1+2
7=1+1+2+3 11=1+1+2+3+4
练习5
如图所示：线段AB 上共有10个点（包括两个端点），那么这条线段上一共有多少条不同的线段？
分析:先从AB 之间只有一个点开始，再逐步增加AB 之间的点数，找出点和线段之间的规律。

AB 之间只有1个点：线段有 1+2=3条。

AB 之间只有2个点：线段有 1+2+3=6条。

AB 之间只有3个点：线段有 1+2+3+4=10条。

AB 之间只有4个点：线段有 1+2+3+4+5=15条。

……
当AB 之间有8个点时(n=10)，线段有 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45条。

练习6在 n ×n 的正方形钉子板上（n 是钉子板每边上的钉子数），求连接任意两个钉子所得到的不同长度的线段种数.
2 5 9 14
2 2 +
3 2+3+
4 2+3+4+
5 2
)2()1(-⨯-=
n n s n 9 2 5
1
2
)
1()2(-⨯+n n
42
)1()24(+-⨯++=n n f n 在平面内画五条直线和一个圆，最多能把平面分成多少部分？
4 8 13 19 26
26=4+4+5+6+7
练习8如图，有边长为1的等边三角形卡片若干张，使用这些三角形卡片拼出边长分别是2，3，4，…的等边三角形（如图所示）。

根据图形推断，每个等边三角形所用卡片总数sn 与边长n 之间的关系。

4 9 16 2
5 36…
练习9 2000个学生排成一行，依次从左到右编上1～2000号，然后从左到右按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的人离开队伍，……按这个规律如此下去，直至当队伍只剩下一人为止。

问：最后留下的这个人原来的号码是多少？
分析:我们通过前几次留在队伍中的学生的编号找出规律。

第一次留下的学生编号是：2，4，6，8，10，……； 都是2的倍数。

即21的倍数
第二次留下的学生编号是：4，8，12，16，20，……； 都是4的倍数，即22的倍数
第一次留下的学生编号是：8，16，24，32，40，……；都是8的倍数。

即23的倍数
……
由于210=1024＜2000＜211=2048；
这样可知，最后留下学生的号码一定是1024。

练习10
将一张长方形的纸对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可得到７条折痕，那么对折n 次，可得到几条折痕？
第一次对折1条折痕，第二次对折3条折痕，第三次对折7条折痕，第四次对折15条折痕，…所以我们猜想第n 次对折后的折痕条数是2n-1．
Hanoi 双塔问题
给定A 、B 、C 三根足够长的细柱，在A 柱上放有2n 个中 间有孔的圆盘，共有n 个不同的尺寸，每个尺寸都有两个相同的圆盘，注意这两个圆盘是不加区分的（下图为
n=3
2
n
s n
=
的情形）。

现要将这些圆盘移到C 柱上，在移动过程中可放在B 柱上暂存。

要求：
（1）每次只能移动一个圆盘；
（2）A 、B 、C 三根细柱上的圆盘都要保持上小下大的顺序；
任务：设An 为2n 个圆盘完成上述任务所需的最少移动次数，对于输入的n ，输出An 。

输入文件hanoi.in 为一个正整数n ，表示在A 柱上放有2n 个圆盘。

输出文件hanoi.out 仅一行，包含一个正整数，为完成上述任务所需的最少移动次数An 。

限制】
对于50%的数据，1<=n<=25
对于100%的数据，1<=n<=200
【提示】
设法建立An 与An-1的递推关系式。

解题思路:
数学归纳+高精度
Hanoi 单塔的最少移动步数是2 n - 1，现在有2层，可以将2层看作1层，便回到了单塔的问题上，每移动想象中的“单个”盘子需要两步，故Hanoi 双塔=Hanoi 单塔*2
可得公式：f(n)=2 n+1 - 2
高精度只要编个乘法就可以了，不要忘记最后-2
1、3、7、15……
2、6、14、30……。