运筹学的主要内容

运筹学的主要内容
运筹学的主要内容
运筹学⼀般应包括线性规划、⾮线性规划、整数规划、动态规划、多⽬标规划、⽹络分析、排队论、对策论、决策论、存储论、可靠性理论、模型论、投⼊产出分析等等。

线性规划、⾮线性规划、整数规划、动态规划、多⽬标规划这五个部分统称为规划论，它们主要是解决两个⽅⾯的问题。

⼀个⽅⾯的问题是对于给定的⼈⼒、物⼒和财⼒，怎样才能发挥它们的最⼤效益；另⼀个⽅⾯的问题是对于给定的任务，怎样才能⽤最少的⼈⼒、物⼒和财⼒去完成它。

⽹络分析主要是研究解决⽣产组织、计划管理中诸如最短路径问题、最⼩连接问题、最⼩费⽤流问题、以及最优分派问题等。

特别在设计和安排⼤型复杂⼯程时，⽹络技术时重要的⼯具。

排队现象在⽇常⽣活中屡见不鲜，如机器等待修理，船舶等待装卸，顾客等待服务等。

它们有⼀个共同的问题，就是等待时间长了，会影响⽣产任务的完成，或者顾客会⾃动离去⽽影响经济效益；如果增加修理⼯、装卸码头和服务台，固然能解决等待时间过长的问题，但⼜会蒙受修理⼯、码头和服务台空闲的损失。

这类问题的妥善解决是排对论的任务。

对策论是研究具有厉害冲突的各⽅，如何制定出对⾃⼰有利从⽽战胜对⼿的⽃争策略。

例如，战国时代⽥忌赛马的故事便是对策论的⼀个绝妙的例⼦。

决策问题是普遍存在的，凡属“举棋不定”的事情都必须做出决策。

⼈们之所以举棋不定，是因为⼈们在着⼿实现某个预期⽬标时，⾯前出现了多种情况，⼜有多种⾏动⽅案可供选择。

决策者如何从中选择⼀个最优⽅案，才能达到他的预期⽬标，这是决策论的研究任务。

⼈们在⽣产和消费过程中，都必须储备⼀定数量的原材料、半成品或商品。

存储少了会因停⼯待料或失去销售机会⽽遭受损失，存储多了⼜会造成资⾦积压、原材料及商品的损耗。

因此，如何确定合理的存储量、购货批量和购货周期⾄关重要，这便是存储论要解决的问题。

对于⼀个复杂的系统和设备，往往是由成千上万个⼯作单元或零件组成的，这些单元或零件的质量如何，将直接影响到系统或设备的⼯作性能是否稳定可靠。

研究如何保证系统或设备的⼯作可靠性，这便是可靠性理论的任务。

⼈们在⽣产实践和社会实践中遇到的事物往往是很复杂的，要想了解这些事物的变化规律，⾸先必须对这些事情的变化过程进⾏适当的描述，即所谓建⽴模型，然后就可通过对模型的研究来了解事物的变化规律。

模型论就是从理论上和⽅法上来研究建⽴模型的基本技能。

投⼊产出分析是通过研究多个部门的投⼊产出所必须遵守的综合平衡原则来制定各个部门的发展计划，借以从宏观上控制、调整国民经济，以求得国民经济协调合理的发展。

运筹学的⽅法论包括以下⼏个部分：
(1) 提出需要解决的问题：提出需要解决的问题，确定⽬标，并分析问题所处的环境和约束条件。

抓住主要⽭盾，舍弃次要因素。

(2) 建⽴模型：选⽤合适的数学模型来描述问题，确定决策变量，建⽴⽬标函数、约束条件等，并据此建⽴相应的运筹学模型。

(3) 求解模型：确定与数学模型有关的各种参数，选择求解⽅法，求出解。

解可以是最优解、次优解、满意解。

(4) 解的检验：⾸先检查求解步骤和程序有⽆错误，然后检查解是否反映现实问题。

(5) 解的控制：通过灵敏度分析等⽅法，对所求的解进⾏分析和评价，并据此对问题的提出和建模阶段进⾏修正。

(6) 解的实施：提供决策所需的依据、信息和⽅案，帮助决策者决定处理问题的⽅针和⾏动。

另外，这六部分之间存在下图所⽰关系：
§1．1 线性规划问题举例
例1.1.1 某⼯⼚⽤3种原料321,,P P P ⽣产3种产品321,,Q Q Q 。

已知单位产品所需原料数量如表1.1.1所⽰，试制订出利润最⼤的⽣产计划。

第⼀节运输问题的模型
§1.1 问题的提出
⼀般的运输问题就是要解决把某种产品从若⼲个产地调运到若⼲个销地，在每个产地的供应量与每个销地的需求量已知，并知道各地之间的运输单价的前提下，如何确定⼀个使得总的运输费⽤最⼩的⽅案。

例2.1.1某公司从两个产地1A 、2A 将物品运往三个销地1B 、2B 、3B ，各产地的产量、
4
5
3 单位产品的利润（千元） 2000
5 2 800 4 2 0 P 2 1500 0 3 2 P 1
原料可⽤量
Q 3 Q 2 Q 1 单位产品所需产品原料数量(kg) 原料
3
P 3
各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所⽰，问：应如何调运可使总运输费最⼩？
表2.1.1
例3.4.4 （⼀维背包问题）有⼀个⼈带⼀个背包上⼭，其可携带物品重量的限度为b 。

设有n 种不同的物品可供他选择装⼊背包中，已知第j 种物品的重量为0j a >，单位价值为
0j c >（1,2,,j n = ）。

问此⼈应如何选择携带物品的⽅案，使总价值最⼤？
第三节⽬标规划问题的⼀些例⼦
例 4.3.1[2] 波德桑⼩姐是⼀个⼩学教师，她刚刚继承了⼀笔遗产，交纳税⾦后净得50,000美元。

波德桑⼩姐感到她的⼯资已⾜够她每年的⽇常开⽀，但是还不能满⾜她暑假旅游的计划。

因此，她打算把这笔遗产全部⽤去投资，利⽤投资的年息资助她的旅游。

她的⽬标当然是在满⾜某些限制的条件下进⾏投资，使这些投资的年息最⼤。

波德桑⼩姐的⽬标优先等级是：第⼀，她希望⾄少投资20,000美元去购买年息为6％的政府公债；第⼆，她打算最少⽤5,000美元，⾄多⽤15,000美元购买利息为5％的信⽤卡；第三，她打算最多⽤10,000美元购买随时可兑换现款的股票，这些股票的平均利息为8％；第四，她希望给她的侄⼦的新企业⾄少投资30,000美元，她侄⼦允诺给她7％的利息。

设：
1x ＝购买公债的投资额（美元）
2x ＝购买信⽤卡的投资额（美元）
3x ＝购买可兑换股票的投资额（美元） 4x ＝对她侄⼦企业的投资额（美元）
这个问题的线性规划模型如下：
≥≥≤≤≥≥≤++++++=0,,,30000100001500050002000050000..07.008.005.006.0max 43214322143214321x x x x x x x x x x x x x t s x x x x z
如果⽤线性规划的单纯形法求解这个问题，就会发现这个问题⽆可⾏解，或者说这个问题“不可⾏”。

只要检查⼀下第1、第2、第3和第6个约束，问题的不可⾏性是⼀⽬了然的。

简⽽⾔之，波德桑⼩姐没有⾜够的钱来实现她的愿望。

然⽽，对于波德桑⼩姐来说，⽤线性规划得出的这样⼀个答案是不能使她满意的。

⽽能够使她满意的是，她希望知道——即使不可能绝对地满⾜她的全部愿望，那么怎样才能尽可能地接近于满⾜她的愿望？在这样⼀个更为实际的许可条件下，我们假定她的⽬标优先等级是：
1P ：她的全部投资额不允许超过50,000美元，这是⼀个绝对约束；
2P ：尽可能的满⾜：⽤20,000美元购买公债，⽤5,000～15,000美元购买信⽤卡。

她
认为购买信⽤卡⽐购买公债重要2倍；
3P ：尽可能资助她的侄⼦30,000美元；
4P ：(1) 尽可能⽤10,000美元购买兑换股票，(2) 每年利息的总收⼊尽可能达到4,000
美元。

那么，可以建⽴这个问题的⽬标规划模型：
≥===-++++=-+=-+=-+=-+=-+=-++++++++++=+-+
-+-+-+
-+-+
-+-++-+
--+0)6,2,1(,),4,3,2,1(400007.008.005.006.030000100001500050002000050000..)()22(max
7743216645534423322211143214
75463432211 k d d j x d d x x x x d d x d d x d d x d d x d d x d d x x x x t s x d d P d P d d d P d P z k k j
求解这个⽬标规划问题，得到的满意解是：
1x ＝20,000美元
2x =5,000美元
3x =0
4x =25,000美元
因此，我们得到了⼀个有意义的解，这个解能够最好地满⾜（即使不能绝对地满⾜）波德桑⼩姐的全部⽬标。

事实上，在实际的决策中，决策者的某些⽬标不可能完全地达到，这本来也是很⾃然的事情。

例5.3.3 某车间需要在每⽉初供应⼀定数量的某种部件给总装车间。

由于⽣产条件的变化，该车间在各个⽉份中⽣产每单位这种部件所需消耗的⼯时不同。

各个⽉份的⽣产，除供应下个⽉的需求外，其余部分可存⼊仓库供以后⽉份的需求。

但因仓库容量的限制，库存部件的数量不能超过某⼀给定值9H =，⽽开始库存量为2，期末库存量要求为0。

已知半年期间的各个⽉份的需求量以及在这些⽉份中⽣产该部件每单位数量所需⼯时数如表 5.3.4所⽰。

现在要求制定⼀个半年逐⽉产量的⽣产计划，使得既满⾜供应需求和库容的限制，⼜
使得在这半年中⽣产这种部件的总耗费⼯时数最少。

表 5.3.4
⽉份（k）0 1 2 3 4 5 6
d）0 8 5 3 2 7 4 需求量（
k
a）11 18 13 17 20 10
单位⼯时（
k
例7.4.3某时装商店计划冬季到来之前订购⼀批款式新颖的⽪制服装。

每套⽪装进价是1000元，估计可以获得80％的利润，冬季⼀过则只能按进价的50％处理。

根据市场需求预测，该⽪装的销售量服从参数为1／60的指数分布，求最佳订货量。

具有竞争或对抗性质的⾏为称为对策⾏为．在这类⾏为中，参加⽃争或竞争的各⽅各⾃具有不同的⽬标和利益．为了达到各⾃的⽬标和利益，各⽅必须考虑对⼿的各种可能的⾏动⽅案，并⼒图选取对⾃⼰最为有利或最为合理的⽅案．对策论就是研究对策⾏为中各⽅是否存在着最合理的⾏动⽅案，以及如何找到这个合理的⾏动⽅案的数学理论和⽅法．。